Контрольная работа по математике. 4

Вариант 2

1. Что называется приращением  аргумента х и  приращением функции f(x) в точке xo ? Раскройте геометрический смысл этих приращений и сформулируйте соответствующее определение непрерывности функции.

 

    При сравнении значения функции f в некоторой  фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».

    Пусть x – произвольная точка, ледащая  в некоторой окрестности фиксированной  точки x₀. разность x – x₀ называется приращение независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x –x₀, откуда следует, что x = x₀ + Δx.

    Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).

    Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀), откуда f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

    При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .

    

    Рассмотрим  график функуии y=f(x). Геометрический смысл приращений Δx и Δf (приращение Δf обозначают также Δy) можно понять посмотрев на рисунок.

    Прямую l, проходящую через любые две  точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (x₀; y₀) и (x; y), равен (y-y₀)/(x-x₀). Его удобно выразить через приращения Δx и Δy.

    

    C помощью введённых обозначений  приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀;t₀+Δt]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

    

    Аналогично  выражение 

    

    называют  средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x₀ и x₀+Δx 

    Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента  и функции. Функция является непрерывной  в точке x = a, если справедливо равенство , где 

2. Вычислите:

 

а)  

б) 

 

в)  

3. Наибольшее  и наименьшее значения функции на отрезке.

 

    Наибольшим  значением функции  y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого, справедливо неравенство .

    Наименьшим  значением функции  y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

    Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции –  это самое большое (маленькое) принимаемое  значение на рассматриваемом интервале  при абсциссе .

    Стационарные  точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

    Для чего нам стационарные точки при  нахождении наибольшего и наименьшего  значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция  имеет экстремум (локальный минимум  или локальный максимум) в некоторой  точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто  принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

    Алгоритм  нахождения наибольшего  и наименьшего  значения непрерывной  функции на отрезке  [a; b].

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].
2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
3. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

4. Найти производную

а) y = √2x – sin 2x

 

б) y = e  
 

в) y = 1/3 x³ · cos x/3 
 
 

г) y = 3^x · log₂ (x-1) 
 

5. Исследовать функцию и построить  ее график

 

      а)  f(x) = x³/3  +  x²                                       б)  f(x) = x³ – 6x² + 2x – 6 
 
 

1. Область определения
2. Проверим на четность-нечетность

  – функция ни четная ни нечетная

Функция не периодическая

 

4. Найдем  точки пересечения с осями

С осью Оy точка (0;0)

C осью Ox

Точки

5. Определим промежутки знаков функции

      

6. Найдем  интервалы возрастания и убывания

 
 
 
      

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

 
 
      

8. Построим  график

 
 
 
 
 
 

1. Область определения
2. Проверим на четность-нечетность

  – функция не четная не нечетная

Функция не периодическая

 

4. Найдем  точки пересечения с осями

С осью Оy точка (0;-6)

C осью Ox 5,84

Точка

5. Определим промежутки знаков функции

      

6. Найдем  интервалы возрастания и убывания

 
 
 
      

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

 
 
      

8. Построим  график

 
 
 
 
 
 
 

6. Вычислить:

 

а)  ∫ (x⁴ + +3 +1/х²+1/х) dx

 
 

б) (2/1 + x² – 3/ ) dx 

в) x(3 – x) dx 
 

7. Дифференциальные  уравнения с разделяющими переменными.

 

    Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение  .

    .

    Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

    .

    Последнее равенство означает, что малые  приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также  равны. Предположим что при x = x₀ y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

    .

    Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем  выразить y(x).

    Значения  x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

    .

    Следует отметить, что у дифференциального  уравнения с разделяющимися переменными  могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю). 
 
 
 
 
 

8. Свойства  операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.

 

       Свойства  операций над множествами

       1)          Коммутативность.

       

       

       2)          Ассоциативность.

       

       3)          Дистрибутивность.

       

       4)          Закон поглощения.

       

       5)          Идемпотентность.

       

       6)          Инволютивность.

       

       7)          Свойство нуля.

       А Ø=А

       А Ø= Ø

       8)          Свойство единицы.

       

       9)           Закон де Моргана

       

       Отношения на множествах

       Когда говорят о родстве двух человек, Маша и Саша, то подразумевают, что  есть некая семья, к членам которой  они относятся. Упорядоченная пара (Маша, Саша) отличается от других упорядоченных  пар людей тем, что между Машей  и Сашей есть некое родство (кузина, отец, и т. д.). В математике среди  всех упорядоченных пар декартового произведения А´В двух множеств А и В тоже выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других.

       В качестве примера рассмотрим множество  S студентов какого-нибудь техникума и множество D изучаемых там дисциплин. В декартовом произведении S´D можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, d), обладающих свойством: студент s изучает дисциплину d. Построенное подмножество отражает отношение «изучает», естественно возникающее между множествами студентов и дисциплин.

       Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения, которое часто появляется как в математике, так и в информатике. Отношения между элементами нескольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных.

       Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения  

       Отношения в дальнейшем будем обозначать

         

       (читается   отношение из A в B)

       Если  ,   и , то говорят,  что a находится в отношении с b. Используется также запись 

       

Бинарные отношения  могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность: .
• Антирефлексивность (иррефлексивность): .
• Симметричность: .
• Антисимметричность: .
• Транзитивность: .
• Асимметричность:

1. Численное интегрирование. Способы  представления функции  в виде прямоугольников  и трапеций.

 

Численное интегрирование квадратура) — вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы значений в узлах некоторой расчётной сетки.
2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f = exp.

В этих двух случаях  невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также  возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный  случай

Одномерный определённый интеграл как площадь криволинейной  трапеции под графиком

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более  простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол. Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

    Метод прямоугольников

Пусть требуется  определить значение интеграла функции  на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной . Обозначим через значение функции в точках . Далее составляем суммы . Каждая из сумм — интегральная сумма для и поэтому приближённо выражает интеграл  

Если заданная функция — положительная и  возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также  называемая формулой левых прямоугольников, а формула выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит  рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:  

Учитывая априорно большую точность последней формулы  при том же объеме и характере  вычислений её называют формулой прямоугольников

    Метод трапеций

Если функцию  на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке: 

Полная формула  трапеций в случае деления всего  промежутка интегрирования на отрезки  одинаковой длины h: