Контрольная работа по "Матиматике"

СОДЕРЖАНИЕ

 

Задание на контрольную работу………………………………………………...	3
Задача 1…………………………………………………………………………...	5
Задача 2…………………………………………………………………………...	7
Задача 3…………………………………………………………………………...	9
Задача 4…………………………………………………………………………...	16
Библиографический список…………………………………………………...	19

 

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Вариант №3

 

1. Найти минимальное и максимальное  значение целевой функции графическим  методом

 

2. Решить  задачу графическим методом

Фирма  изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 т краски		Суточный запас, т
	Краска Н	Краска В
Пигмент	3	2	12
Олифа	1	2	6

 

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных  работ никогда не превышает 3,5 т. в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ – 1  ден.ед., для внутренних работ – 4 ден.ед. Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

 

3. Решить транспортную задачу, заданную  распределительной таблицей:

bj ai	200	400	100	200
200	1	7	12	2
100	2	3	8	4
200	3	5	4	6
400	4	4	3	8

 

4. На основании  заданных коэффициентов прямых  материальных затрат и объемов  конечной продукции в межотраслевом  балансе для трех отраслей  требуется:

а) проверить продуктивность матрицы,

б) рассчитать коэффициенты полных материальных и прямых материальных затрат;

в) найти объем валовой продукции отраслей;

г) восстановить схему межотраслевого баланса.

Отрасль	Коэффициенты затрат			Конечная продукция Уj
1	0,2	0,3	0,1	240
2	0,3	0,1	0,2	20
3	0,1	0,2	0,3	60

 

 

ЗАДАЧА 1

 

1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

2. Обозначим границы области многоугольника решений.

3. Рассмотрим целевую функцию задачи Z = 2x1+3x2 → min.

Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = 2x1+3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. Область допустимых решений представляет собой одну точку.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в ходе выполнения условия задачи , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x2=0

x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 0

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

Z(X) = 2*0 + 3*0 = 0

 

4. Рассмотрим целевую функцию задачи Z = 2x1+3x2 → max. 

Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = 2x1+3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.

Задача не имеет допустимых решений. Область допустимых решений представляет собой бесконечное множество (не ограничена)

 

Ответ: Z(X)min=0, Z(X)max →+∞

 

ЗАДАЧА 2

 

Решение:

1. В качестве  параметров, характеризующих процесс  планирования производства выберем x1– количество краски H (краска для наружных работ) и x2– количество краски В (краска для внутренних работ).

Выразим через выбранные неизвестные суммарную прибыль фирмы от продажи краски:

 

Z(X)=x1+4x2,

 

где коэффициенты перед переменными – это цена продажи 1 т каждого вида краски.

2. Сформулируем  ограничения.

Ограничения будут двух видов. Первый – это не превышение расхода исходных продуктов для изготовления краски их суточных запасов. Второй – это не превышение продажи краски для наружных Н работ ее суточного спроса.

Получаем следующую систему ограничений:

Кроме указанных ограничений должно в обязательном порядке (и это определяется постановкой самой задачи) должно выполняться условие неотрицательности производства краски. Итак, получаем полную систему ограничений для нашей задачи:

3. Найдем  Z(X)=x1+4x2→max графическим методом:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

 

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи Z = x1+4x2 → max. 

Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых x1+2x2≤6 и x2≥0, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x1+2x2=6

x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

Z(X) = 1*0 + 4*3 = 12

Отсюда следует, что для получения максимального дохода, фирме следует отказаться от производства краски для наружных работ (Н) и производить 3 т краски для внутренних работ (В).

Ответ: х1=0, х2=3

 

ЗАДАЧА 3

 

Решение:

1. Проверка на сбалансированность:

Общее число по столбцу а=900, общее число по строке b=900.

Задача является сбалансированной (закрытой).

 

2. Поиск начального решения. Используем метод северо-западного угла:

Введем вспомогательные строку и столбец, в которых будем отмечать оставшиеся нераспределенные запасы и соответственно потребности (остатки). Изначально их содержимое равно исходным запасам и потребностям, так как еще ничего не распределялось.

Выберем клетку в которую будем распределять продукцию на следующей итерации, это левая верхняя клетка (северо-западный угол).

	b1= 200	b2= 400	b3= 100	b4= 200
a1= 200	X				200
a2= 100					100
a3= 200					200
a4= 400					400
	200	400	100	200

Итерация: 1 Заполним клетку a1,b1. Сравним значения остатков для a1 и b1.

Они равны, запишем значение остатка в клетку a1,b1 и обнулим соответствующие клетки остатков. Исключим столбецb1 и строку a1 из дальнейшего рассмотрения.

	b1= 200	b2= 400	b3= 100	b4= 200
a1= 200	200				0
a2= 100		X			100
a3= 200					200
a4= 400					400
	0	400	100	200

Итерация: 2 Заполним клетку a2,b2. Сравним значения остатков для производителя a2 и потребителя b2. Нераспределенных остатков по запасам для a2 меньше, запишем меньшее число в клеткуa2,b2 одновременно вычитая его из обеих клеток остатков. При этом клетка остатков по запасам обнулится указывая, что все запасы производителя a2 использованы. Поэтому исключим строку a2 из дальнейшего рассмотрения. 

Ненулевое значение остатка по потребностям для b2 показывает, сколько единиц продукции ему еще требуется.

	200	400	100	200
200	200				0
100		100			0
200		X			200
400					400
	0	300	100	200

Итерация: 3

	200	400	100	200
200	200				0
100		100			0
200		200			0
400		X			400
	0	100	100	200

Итерация: 4

	200	400	100	200
200	200				0
100		100			0
200		200			0
400		100	X		300
	0	0	100	200

Итерация: 5

	200	400	100	200
200	200				0
100		100			0
200		200			0
400		100	100	X	200
	0	0	0	200

Итерация: 6

	200	400	100	200
200	200				0
100		100			0
200		200			0
400		100	100	200	0
	0	0	0	0

Получено допустимое начальное решение (опорный план), удовлетворенны нужды всех потребителей и использованы все запасы производителей.

	200	400	100	200
200	200
100		100
200		200
400		100	100	200

3. Проверим  полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=i+j-1 . В нашем случае N=6, i+j=4+4=8 , план является вырожденным. Прежде чем двигаться дальше выберем одну незаполненную клетку и запишем в нее число ноль, осуществив нуль-загрузку.

	200	400	100	200
200	200	0
100		100
200		200
400		100	100	200

 

4. Совместим найденный опорный план с величинами издержек

	200	400	100	200
200	200     1	0     7
100		100     3
200		200     5
400		100     4	100     3	200     8

Перемножим числа стоящие в одной клетке (для всех клеток) затем полученные произведения сложим. Получим значение суммарных затрат, для данного начального решения.

Рнач=200*1+0*7+100*3+200*5+100*4+100*3+200*8=3800

 

5. Проведем поэтапное улучшение  начального решения, используя метод  потенциалов.

Итерация: 1 Составим вспомогательную рабочую матрицу. Она строится из исходной матрицы издержек путем переноса только тех ячеек Pij которые соответствуют заполненным клеткам транспортной таблицы. Остальные ячейки остаются пустыми. Кроме того, введем вспомогательный столбец в который внесем значения неизвестных U1 ... U4 (4,это i) и вспомогательную строку в которую внесем значения неизвестных V1 ... V4 (4,это j). Эти n+m неизвестных должны для всех (i,j), соответствующих загруженным клеткам, удовлетворять линейной системе уравнений

Ui+Vj=Pij

Эту систему всегда можно решить следующим способом: На первом шаге полагают V4=0. Если на k-м шаге найдено значение неизвестной, то в системе всегда имеется еще не определенная неизвестная, которая однозначно может быть найдена на (k+1)-м шаге из уравнения Ui+Vj=Pij, так как значение другой неизвестной в этом уравнении уже известно. То какую неизвестную можно найти на (k+1)-м шаге, определяют методом проб. Переменные Ui и Vj называются потенциалами.

Рабочая матрица затрат с рассчитанными потенциалами:

	b1	b2	b3	b4
a1	1	7			u1= 11
a2		3			u2= 7
a3		5			u3= 9
a4		4	3	8	u4= 8
	v1= -10	v2= -4	v3= -5	v4= 0

 

Порядок вычисления потенциалов:

1) Пусть  V4 = 0;

2) U4 = P4,4 - V4 ;

3) V2 = P4,2 - U4 ;

4) V3 = P4,3 - U4 ;

5) U1 = P1,2 - V2 ;

6) U2 = P2,2 - V2 ;

7) U3 = P3,2 - V2 ;

8) V1 = P1,1 - U1 ;

Теперь для всех свободных клеток рабочей матрицы затрат вычислим оценки Sij, по формуле Sij = Pij – Ui - Vj. Каждая такая оценка показывает на сколько изменятся общие транспортные затраты при загрузке данной клетки единицей груза. Таким образом, если среди оценок имеются отрицательные (затраты уменьшаются) то данный план можно улучшить переместив в соответствующую клетку некоторое количество продукции. Если же среди оценок нет отрицательных - план является оптимальным.

Рабочая матрица затрат с заполненными оценками:

	b1	b2	b3	b4
a1	1	7	6	-9	u1= 11
a2	5	3	6	-3	u2= 7
a3	4	5	0	-3	u3= 9
a4	6	4	3	8	u4= 8
	v1= -10	v2= -4	v3= -5	v4= 0