Контрольная работа по «Методы моделирования производственных систем»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАНИЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

 

КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ НА ПРЕДПРИЯТИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Методы моделирования производственных систем»

 

 

 

Выполнил: студент группы  Э – 121     Василишина Г.А.                

Проверил:  доц. Шкарупета Е.В.                                     

Защищена _______________Оценка _____________

                               Дата

 

 

 

Воронеж, 2015

 

 

Содержание

 

Замечания руководителя……………………………………………………….3

1 Теоретические положения моделирования производственных систем…..………………………………………………………………………4

2 Практическое применение методов моделирования производственных систем…..……………………………………………………………………...10

Список литературы…………………………………………………………...22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечания руководителя

 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Теоретические  положения моделирования производственных систем

Приведите основные этапы моделирования производственных систем?

В процессе моделирования производственных систем можно выделить следующие укрупненные этапы (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Этапы процесса моделирования систем

 

1. Разработка концептуальной модели. На первом этапе, при постановке задачи необходимо определить главное в анализируемой системе (S), выделить её характерные черты. Качественный анализ экономической проблемы позволит правильно сформулировать цель исследования, т.к. от этого зависит качество полученных результатов. Степень адекватности модели реальной системе зависит от понимания исследователями сущности моделируемой производственно-экономической системы. Поэтому постановку задачи должны проводить экономисты - специалисты в данной конкретной области, а не чисто математики.

Здесь необходимо четко сформулировать суть проблемы, принимаемые допущения (предпосылки) и те вопросы, на которые требуется получить ответы; обосновывается необходимость машинного моделирования, выбирается методика решения задачи с учетом имеющихся ресурсов, определяется возможность разделения задачи на подзадачи. Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; определение требований к исходной информации и ее сбор (от качества исходной информации об объекте моделирования зависит как адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования); формулирование гипотез (хотя бы предварительных) и предположений, объясняющих поведение и развитие объекта; определение параметров и переменных модели; обоснование выбора показателей и критериев эффективности системы; составление содержательного описания модели.

Реальные возможности получения исходной информации ограничивают выбор моделей, предназначенных для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики (организация выборочных обследований, оценка достоверности данных, определение вероятных значений параметров и т.п.).

При определении параметров и переменных составляется перечень входных, выходных и управляющих переменных, а также внешних и внутренних параметров системы.

Выбранные показатели и критерии эффективности системы должны отражать цель функционирования системы и представлять собой функции переменных и параметров системы.

Разработка концептуальной модели завершается составлением содержательного описания, которое используется как основной документ, характеризующий результаты работы на первом этапе.

2. Построение экономико-математической модели и ее математический анализ.

На втором этапе исследования выбирается или строится модель (М), наиболее подходящая для описания исследуемой системы. Это – этап формализации экономической проблемы (ситуации), выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.п.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели и изучаются возможности ее применения, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Устанавливаются количественные соотношения между элементами системы, определяются ограничения и функция цели.

Переменными в модели являются экономические величины, которые могут принимать любое значение из некоторого множества допустимых величин. Различают экзогенные переменные, которые принимаются независимыми, и эндогенные – которые получают свое значение в результате решения задачи на модели при заданных значениях экзогенных переменных.

Целью математического анализа модели является выяснение общих свойств модели. При аналитическом исследовании модели выясняется: существует ли решение в сформулированной модели (в противном случае следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации); единственно ли решение; какие переменные (неизвестные) могут входить в решение; каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются; каковы тенденции их изменения и т.д.

3. Проведение машинных экспериментов на модели системы.

 Этап включает численное  решение поставленной задачи  с помощью модели и получение  новых знаний (R) об объекте-оригинале. При проведении  "модельных"  экспериментов сознательно  изменяются  условия  функционирования модели и  систематизируются данные о ее "поведении".

Численное решение предполагает разработку алгоритмов для решения задачи, составление программ для ЭВМ и непосредственное проведение расчетов.

Прежде всего выбираются тип ЭВМ и язык программирования. Создание программы по детально разработанному алгоритму может осуществить программист без участия и помощи разработчика модели. После составления программы производится проверка ее достоверности на контрольном примере.

Перед проведением рабочих расчетов на ЭВМ должен быть составлен план проведения эксперимента с указанием комбинаций переменных и параметров, для которых должно проводиться моделирование системы. Задача заключается в разработке оптимального плана эксперимента реализация которого позволяет при сравнительно небольшом числе испытаний модели получить достоверные данные о закономерностях функционирования системы.

Результаты моделирования могут быть представлены в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т. п. В большинстве случаев наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы. Целесообразно предусмотреть вывод результатов на экран дисплея и на принтер.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер, отличаются большой размерностью задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Высокое быстродействие ЭВМ позволяет проводить многочисленные “модельные” эксперименты, изучая “поведение” модели при различных изменениях некоторых условий.

4. Реализация результатов моделирования – применение полученных знаний при организации управления объектом.

На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и о степени их практической применимости. Математические методы проверки могут выявить некорректные построения моделей (доказывается неразрешимость модели или не подтверждаются принятые статистические гипотезы). Анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых при моделировании, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, использовавшейся информации.

Проверка адекватности модели реальной действительности заключается в сопоставлении полученных результатов решения с характеристиками системы, которые при тех же исходных данных имели место в прошлом.

В случае неадекватности модели, ее приходится корректировать, что может потребовать дополнительных исследований системы, уточнения структуры модели, изменения переменных модели. Модель считается адекватной, если она способна обеспечить достаточно надежное предсказание поведения системы.

Точность, корректность модели зависит от состава, объема и качества исходной информации.

В случае адекватности модели, следует практическая реализация результатов исследования. Полученное математическое решение в форме рекомендаций, инструкций, методических указаний используется для совершенствования организации управления производственно-экономической системой.

Интерпретация результатов моделирования имеет целью переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью, к выводам, касающимся процесса функционирования объекта-оригинала.

На основании анализа результатов моделирования принимается решение о создании условий, при которых система будет функционировать с наибольшей эффективностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Практическое  применение методов моделирования производственных систем

Задание 1. Рассмотрев предложенную организационную структуру проанализируйте её эффективность с использованием методов моделирования производственных систем:

 

 

Для описания графа G построим матрицу смежности (табл. 1), которая для неориентированного графа имеет вид А = ||аij||, где аij - элементы матрицы смежности, определяемые следующим образом:

1 - при наличии связи между  элементами i и j,

аij       0 - при отсутствии связи.

 

Таблица 1

Матрица смежности

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	pi	pi²	ri
1		1	1										2	4	0,091
2	1												1	1	0,045
3	1			1	1								3	9	0,136
4			1			1							2	4	0,091
5			1				1						2	4	0,091
6				1				1	1				3	9	0,136
7					1					1			2	4	0,091
8						1							1	1	0,045
9						1							1	1	0,045
10							1				1	1	3	9	0,136
11										1			1	1	0,045
12										1			1	1	0,045

 

 

1. По матрице  смежности определим ранг каждого  элемента

Чем выше ранг элемента, тем более сильно он связан с другими элементами и тем более тяжёлыми будут последствия при потере качества его функционирования. В рассматриваемом случае наиболее высокий ранг (0,136) имеют 3 элемента структуры.

2. Проверим связность структуры. Для связных структур (не имеющих обрывов и висячих элементов) должно выполняться условие

 

Для нашего случая n (количество структурных элементов) равно 12 и условие (½)·22 = 12–1 выполняется, т.е. структура является связной.

3. Проведем оценку структурной избыточности R, отражающей превышение общего числа связей над минимально необходимым:

   

Система с большей избыточностью R потенциально более надёжна, но менее экономична. Возможны три варианта: если R<0, то система несвязная; R = 0, система обладает минимальной избыточностью; R > 0, система имеет избыточность; чем выше R, тем выше избыточность.

Для рассматриваемого случая R = [(½)·22∕ (12–1)] – 1 = 0, т.е. структура имеет минимальную избыточность.

4. Определим неравномерность  распределения связей - Е. Данный показатель характеризует недоиспользование возможностей данной структуры, имеющей m рёбер и n вершин, в достижении максимальной связности. Величина Е определяется по формуле

где - вес i-го элемента, или количество связей i- го элемента со всеми остальными.

Для рассматриваемого случая

Однако для сравнения различных структур по неравномерности связей используют относительную величину:

Еотн= Е ∕ Еmax,

где Еmах - максимальное значение неравномерности связей, которое достигается в системе, имеющей максимально возможное число вершин, имеющих одну связь.

Величину Е определяют по эмпирической формуле

где  y = m – n ; 

 Для рассматриваемого  случая

y = 11 – 12 = –1; 

 

Тогда

Определим величину Е для рассматриваемого случая.

Еотн = 2,76 ∕ 8,58 = 0,322.

Величина Е для различных типов структур изменяется от 0 (для структур с равномерным распределением связей) до 1.

В рассматриваемом случае распределение связей в структуре довольно равномерное.

5. Определим структурную компактность структуры Q, которая отражает общую структурную близость элементов между собой. Для этого используется формула

где dij - расстояние от элемента i до элемента j, т.е. минимальное число связей, соединяющих элементы i и j.

Для определения величины общей структурной компактности построим матрицу расстояний D = ||dij|| - (табл. 2). По таблице определяем Q = 456.

Таблица 2

Матрица расстояний D

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Ʃ
1		1	1	2	2	3	3	4	4	4	5	5	34
2	1		2	3	3	4	4	5	5	5	6	6	44
3	1	2		1	1	2	2	3	3	3	4	4	26
4	2	3	1		2	1	3	2	2	4	5	5	30
5	2	3	1	2		3	1	4	4	2	3	3	28
6	3	4	2	1	3		4	1	1	5	6	6	36
7	3	4	2	3	1	4		5	5	1	2	2	32
8	4	5	3	2	4	1	5		2	6	7	7	46
9	4	5	3	2	4	1	5	2		6	7	7	46
10	4	5	3	4	2	5	1	6	6		1	1	38
11	5	6	4	5	3	6	2	7	7	1		2	48
12	5	6	4	5	3	6	2	7	7	1	2		48
													456

 

 

Однако для количественной оценки структурной компактности и возможности объективного сравнения различных организационных структур чаще используют относительный показатель определяемый по формуле:

где Qmin = n · (n –1) - минимальное значение компактности для структуры типа «полный граф» (каждый элемент соединен с каждым).

Для нашей структуры Qmin = 11 · (11 – 1) = 110. Тогда

Qотн = 456 ∕ 110 – 1 = 4,1.

Структурную компактность можно характеризовать и другой характеристикой - диаметром структуры: d = mах dij, равным максимальному значению расстояния dij в матрице расстояний. Для рассматриваемой структуры d = 7.

С увеличением Qотн и d увеличиваются средние временные задержки при обмене информацией между подразделениями, что вызывает снижение общей надёжности. С этой точки зрения, структура исследуемого предприятия имеет надёжность ниже среднего уровня (максимальную надёжность имеет полный граф, для которого Qотн= 0, а d =1).

6. Для характеристики степени централизации системы используется показатель центральности структурного элемента:

который характеризует степень удаленности i-го элемента от других элементов структуры.

Чем меньше удален i-й элемент от других, тем больше его центральность и тем большее количество связей осуществляется через него. В рассматриваемом случае наиболее центральным является третий элемент, для которого Σdij = 26 = min, то есть он обладает максимальным коэффициентом центральности Zmах= 456 ∕ (2 · 26) = 8,77≈9.

Степень центральности в структуре в целом может быть охарактеризована индексом центральности:

Значение степени центральности находится в диапазоне 1≥δ≥0, при этом для структур с равномерным распределением связей δ = 0, для структур, имеющих максимальную степень централизации, δ = 1.

Для рассматриваемого случая высокое значение степени центральности структуры (δ = 0,87) предъявляет высокие требования к пропускной способности центра (элемент 3), через который устанавливается большое число связей по приему и переработке информации, и надёжности его функционирования, так как отказ центрального элемента ведет к полному разрушению структуры.

Данная методика оценки может быть использована при сравнительной оценке свойств структур ПС. С точки зрения топологии внутренних связей, выделяют следующие основные виды структур (рис. 6): а) последовательная; б) кольцевая; в) радиальная; г) древовидная; д) типа «полный граф»; е) несвязная.

Рассмотрим применение количественных характеристик к анализу свойств этих структур. Результаты вычислений представлены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты сравнительного анализа

Рис. 3. Основные виды моделей структур

 

Из табл. 3 видно:

1) для несвязных структур R < 0; для структур без избы- точности (последовательное, радиальная, древовидная) R = 0; для структур с избыточностью по связям (кольцевая, полный граф) – R > 0;

2) наибольшую близость  элементов (показатель Q) имеет структура типа «полный граф»; наименьшую - последовательная; радиальная и кольцевая структуры, неразличимые по показателю d, имеют различные значения Q;

3) радиальная и древовидная  структуры, имеющие одинаковые или  близкие значения R, Q, d, значительно отличаются по показателю δ, что соответствует физическому смыслу, ибо отход от полной централизации, характерной для радиальной структуры, ведет к большей равномерности распределения связей по элементам;

4) наивысшую неравномерность  распределения связей (Е=1) имеет радиальная структура, а наименьшую (Е = 0) - кольцевая структура и полный граф.

Анализируя значения структурных параметров, полученных в результате структурной диагностики, можно выявить основные недостатки структуры организации и внести некоторые коррективы в организационную структуру предприятия.

Задание 2

Вариант 7

В таблице приведены данные по выработке на одного работающего и фондовооружённость. Определить уравнение связи и корреляционное отношение.

Предприятие	Фондовооруженность, ден.ед./чел	Выработка на 1 работающего, ден.ед./чел
1	1,9	3,3
2	2	4,6
3	2,2	3,4
4	2,3	5,5
5	2,4	4
6	2,4	5,1
7	2,6	3
8	2,6	4,2
9	2,6	3,8
Ʃ	21	36,9
среднее	2,3	4,1

 

 

Требуется определить зависимость фондовооруженности предприятия  от выработки на 1 работающего, составив соответствующее уравнение регрессии. По исходным данным построим в системе координат точки, соответствующие значениям переменных х и у. Проведем линию теоретической зависимости между показателями (рис.4).

Рис. 4. Линия регрессии

 

К моделям регрессии, нелинейным по факторным переменным, относятся полиномиальные функции.

Наиболее часто из полиномиальных функций используется полином второго порядка, или параболическая функция:

yi = b0 + b1 xi + b2 xi2 + ei..

Для определения неизвестных коэффициентов данной модели регрессии b0, b1 и b2 применяется метод наименьших квадратов.

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следующий вид:

Y = -39,727+39,133x-8,6262x²

Коэффициент корреляции: r=0,5546

 

Задача 3

Исходные данные для своего варианта задания каждый студент формирует самостоятельно по следующему алгоритму:

1) обращение к таблице, содержащей выборку из таблицы  случайных чисел, и извлечение  из нее трёх чисел подряд (а1, а2, а3), начиная с числа, соответствующего в таблице номеру варианта.

 

Таблица 5

Таблица случайных чисел

 

2) замена в задаче переменных в1, в2, в3 числами, полученными по зависимостям

Примечание. ] с [ - означает целую часть от с.

а1 = 0,3; а2=0,9; а3=0,7

Фирма выпускает два вида продукции А и В. Суточные ресурсы фирмы следующие:

в1 = 610 единиц производственного оборудования;

в2 = 1020 единиц сырья;

в3 = 720 единиц электроэнергии.

Расходы каждого вида ресурсов на единицу продукции каждого типа представлены в табл. 6:

Таблица 6

Ресурсы	Тип продукции
	А	В
Оборудование	2	4
Сырьё	1	5
Э/ ресурсы	3	2

 

 

Цена единицы продукции первого вида равна 8 ден. ед., а второго вида - 6 ден. ед.

Сколько единиц продукции каждого вида необходимо произвести в сутки, чтобы выручка от реализации готовой продукции была максимальной?

Решение:

W= 8x1+6x2

При ограничениях:

2x1+4x2 ≤ 610

x1+5x2 ≤ 1020

3x1+2x2 ≤ 720

 

Геометрическое решение задачи:

В системе координат (x1,0,x2) cтроим график линейной зависимости полученной переходом от первого неравенства к равенству:

2x1+4x2 = 610, x2 = 152,5-0,5x1

По аналогии получаем выражения для двух других линейных зависимостей:

X2=204-0,2x1;

X2=240-1,5x1.

Изображаем графики данных зависимостей в той же системе координат и штриховкой выделяем область определения рассматриваемой задачи.

Затем на том же рисунке (рис. 5) изображаем прямую, полученную с использованием целевой функции для случая

Координаты данной вершины (точка А) и соответствуют оптимальному решению задачи.

В этой точке пересекаются линии (1) и (3). Решая совместно систему из двух уравнений, соответствующих этим линиям, получаем координаты точки А:

x2 = 152,5-0,5x1

x2=240-1,5x1.

Получаем:

X1 = 87,5; x2 = 108,75

Подставляя значения переменных в целевую функцию, получим

W = 8·87,5 + 6·108,75 = 1352,5.

Выводы: продукции первого вида должно быть произведено 87,5 единиц, второго вида – 108,75. Максимальная выручка от реализации продукции составит 1352,5 ден.ед.

Задание 4.

Определить надёжность системы, представленной на рис. 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8. Производственная система из семи элементов

 

Варианты вероятностей безотказной работы элементов

Варианты	е1	е2	е3	е4	е5	е6	е7
7	0,75	0,8	0,85	0,9	0,95	0,9	0,85

 

 

Элементы е1 и е2 соединены последовательно, тогда:

Тогда по правилу умножения вероятностей независимых событий надёжность Р системы равна

Р=0,8*0,75 = 0,6

Элементы е3 и е4 соединены параллельно, тогда:

.

Р=1-(1-0,85)(1-0,9)=0,985

Р=0,6*0,985 = 0,591

Элементы е6 и е7 соединены параллельно, с элементом е5 - последовательно:

Р=1-(1-0,9)(1-0,85)=0,985

Р=0,95*0,985=0,936

 

Р=1-(1-0,591)(1-0,936)=0,974

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Амелин С.В. Методические указания по изучению дисциплины "Методы моделирования производственных систем".ВГТУ, Воронеж, 2008. – 42 с.

2. Маклаков С.В. Моделирование бизнес-процессов с BPwin 4.0. – М.: Диалог-МИФИ, 2002. – 224 c.

3. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. – СПб: Питер, 2004. – 848 с.

4. Советов Б.Я., Яковлев  С.А. Моделирование систем. – М.: Высш. шк., 2001. – 343 с.

5. http://ru.wikipedia.org/