Контрольная работа по «Методы оптимальных решений». 2

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

(ВлГУ)

Кафедра «Бизнес-экономика и информатика» 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине

«Методы оптимальных решений»

Вариант №7 

 

Выполнил:

ст.гр ЗЭКвд-114

Симакова А.Н

 Принял:

преподаватель

 Крашенинникова О.В.

 

 

 

Владимир 2015

1. Решить графическую задачу линейного программирования

z= x1-x2 → max

Решение.

Необходимо найти максимальное значение целевой функции z= x1-x2 → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение x1+x2 = 2 по двум точкам.

Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 2. Соединяем точку (0;2) с (2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 1 • 0 - 2 ≤ 0, т.е. x1+x2 - 2≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение x1+x2 = 1 по двум точкам.

Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 1. Соединяем точку (0;1) с (1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 1 • 0 - 1 ≤ 0, т.е. x1+x2 - 1≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

Построим уравнение 2x1-x2 = 2 по двум точкам.

Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -2. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 1. Соединяем точку (0;-2) с (1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 2 • 0 - 1 • 0 - 2 ≤ 0, т.е. 2x1-x2 - 2≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение 2x1-x2 = 1 по двум точкам.

Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 0.5. Соединяем точку (0;-1) с (0.5;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 2 • 0 - 1 • 0 - 1 ≤ 0, т.е. 2x1-x2 - 1≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

 

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи z = x1-x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции z = 0: z = x1-x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(x). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; -1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x2=0

2x1-x2=2

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1, x2 = 0

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

Z (x) = 1*1 - 1*0 = 1

 

2. Решить задачу  линейного программирования симплекс-методом

z= 10x1+14x2 +12 x3→ max

 

Решение.

Определим максимальное значение целевой функции z(x) = 10x1 + 14x2 + 12x3 при следующих условиях - ограничений.

2x1 + 4x2 + 5x3≤120

x1 + 8x2 + 6x3≤280

7x1 + 4x2 + 5x3≤240

4x1 + 6x2 + 7x3≤360

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных. В 1-м неравенстве  вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве вводим базисную переменную x7. 

2x1 + 4x2 + 5x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 120

1x1 + 8x2 + 6x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 280

7x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 240

4x1 + 6x2 + 7x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 360

 

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

2	4	5	1	0	0	0
1	8	6	0	1	0	0
7	4	5	0	0	1	0
4	6	7	0	0	0	1

 

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6, x7

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,120,280,240,360)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	120	2	4	5	1	0	0	0
x5	280	1	8	6	0	1	0	0
x6	240	7	4	5	0	0	1	0
x7	360	4	6	7	0	0	0	1
z(x0)	0	-10	-14	-12	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение  новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам, как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

min (120 : 4 , 280 : 8 , 240 : 4 , 360 : 6 ) = 30

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x4	120	2	4	5	1	0	0	0	30
x5	280	1	8	6	0	1	0	0	35
x6	240	7	4	5	0	0	1	0	60
x7	360	4	6	7	0	0	0	1	60
z(x1)	0	-10	-14	-12	0	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент 4

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
120 : 4	2 : 4	4 : 4	5 : 4	1 : 4	0 : 4	0 : 4	0 : 4
280-(120 • 8):4	1-(2 • 8):4	8-(4 • 8):4	6-(5 • 8):4	0-(1 • 8):4	1-(0 • 8):4	0-(0 • 8):4	0-(0 • 8):4
240-(120 • 4):4	7-(2 • 4):4	4-(4 • 4):4	5-(5 • 4):4	0-(1 • 4):4	0-(0 • 4):4	1-(0 • 4):4	0-(0 • 4):4
360-(120 • 6):4	4-(2 • 6):4	6-(4 • 6):4	7-(5 • 6):4	0-(1 • 6):4	0-(0 • 6):4	0-(0 • 6):4	1-(0 • 6):4
0-(120 • -14):4	-10-(2 • -14):4	-14-(4 • -14):4	-12-(5 • -14):4	0-(1 • -14):4	0-(0 • -14):4	0-(0 • -14):4	0-(0 • -14):4

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	30	1/2	1	5/4	1/4	0	0	0
x5	40	-3	0	-4	-2	1	0	0
x6	120	5	0	0	-1	0	1	0
x7	180	1	0	-1/2	-3/2	0	0	1
F(X1)	420	-3	0	11/2	7/2	0	0	0

 

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение  новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

min (30 : 1/2 , - , 120 : 5 , 180 : 1 ) = 24

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x2	30	1/2	1	11/4	1/4	0	0	0	60
x5	40	-3	0	-4	-2	1	0	0	-
x6	120	5	0	0	-1	0	1	0	24
x7	180	1	0	-1/2	-11/2	0	0	1	180
F(X2)	420	-3	0	51/2	31/2	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x6 в план 2 войдет переменная x1.

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент (5)

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

 

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
30-(120 • 1/2):5	1/2-(5 • 1/2):5	1-(0 • 1/2):5	11/4-(0 • 1/2):5	1/4-(-1 • 1/2):5	0-(0 • 1/2):5	0-(1 • 1/2):5	0-(0 • 1/2):5
40-(120 • -3):5	-3-(5 • -3):5	0-(0 • -3):5	-4-(0 • -3):5	-2-(-1 • -3):5	1-(0 • -3):5	0-(1 • -3):5	0-(0 • -3):5
120 : 5	5 : 5	0 : 5	0 : 5	-1 : 5	0 : 5	1 : 5	0 : 5
180-(120 • 1):5	1-(5 • 1):5	0-(0 • 1):5	-1/2-(0 • 1):5	-11/2-(-1 • 1):5	0-(0 • 1):5	0-(1 • 1):5	1-(0 • 1):5
420-(120 • -3):5	-3-(5 • -3):5	0-(0 • -3):5	51/2-(0 • -3):5	31/2-(-1 • -3):5	0-(0 • -3):5	0-(1 • -3):5	0-(0 • -3):5

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	18	0	1	5/4	7/20	0	-1/10	0
x5	112	0	0	-4	-13/5	1	3/5	0
x1	24	1	0	0	-1/5	0	1/5	0
x7	156	0	0	-1/2	-13/10	0	-1/5	1
F(X2)	492	0	0	11/2	29/10	0	3/5	0

1. Проверка критерия  оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	18	0	1	5/4	7/20	0	-1/10	0
x5	112	0	0	-4	-13/5	1	3/5	0
x1	24	1	0	0	-1/5	0	1/5	0
x7	156	0	0	-1/2	-13/10	0	-1/5	1
z(x3)	492	0	0	11/2	29/10	0	3/5	0

 

Оптимальный план можно записать так:

x2 = 18

x1 = 24

z(x) = 14•18 + 10•24 = 492

 

 

3. Решить транспортную  задачу. Найти оптимальный план.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

 

Пункты назначения

Пункты отправления	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	18	12	14	9	112
А2	15	10	17	8	89
А3	5	13	11	7	199
Потребности	95	150	85	70

 

Решение.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 112 + 89 + 199 = 400

∑b = 95 + 150 + 85 + 70 = 400

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

 

Пункты отправления	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	18	12	14	9	112
А2	15	10	17	8	89
А3	5	13	11	7	199
Потребности	95	150	85	70

 

I. Поиск первого  опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 199, потребности 95. Поскольку минимальным является 95, то вычитаем его.

x31 = min(199,95) = 95.

 

x	12	14	9	112
x	10	17	8	89
5	13	11	7	199 - 95 = 104
95 - 95 = 0	150	85	70	0

 

Искомый элемент равен 7

Для этого элемента запасы равны 104, потребности 70. Поскольку минимальным является 70, то вычитаем его.

x34 = min(104,70) = 70.

 

x	12	14	x	112
x	10	17	x	89
5	13	11	7	104 - 70 = 34
0	150	85	70 - 70 = 0	0

 

Искомый элемент равен 10

Для этого элемента запасы равны 89, потребности 150. Поскольку минимальным является 89, то вычитаем его.

x22 = min(89,150) = 89.

 

x	12	14	x	112
x	10	x	x	89 - 89 = 0
5	13	11	7	34
0	150 - 89 = 61	85	0	0

 

Искомый элемент равен 11

Для этого элемента запасы равны 34, потребности 85. Поскольку минимальным является 34, то вычитаем его.

x33 = min(34,85) = 34.

 

x	12	14	x	112
x	10	x	x	0
5	x	11	7	34 - 34 = 0
0	61	85 - 34 = 51	0	0

 

Искомый элемент равен 12

Для этого элемента запасы равны 112, потребности 61. Поскольку минимальным является 61, то вычитаем его.

x12 = min(112,61) = 61.

 

x	12	14	x	112 - 61 = 51
x	10	x	x	0
5	x	11	7	0
0	61 - 61 = 0	51	0	0

 

Искомый элемент равен 14

Для этого элемента запасы равны 51, потребности 51. Поскольку минимальным является 51, то вычитаем его.

x13 = min(51,51) = 51.

 

x	12	14	x	51 - 51 = 0
x	10	x	x	0
5	x	11	7	0
0	0	51 - 51 = 0	0	0

 

 

Пункты отправления	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	18	12[61]	14[51]	9	112
А2	15	10[89]	17	8	89
А3	5[95]	13	11[34]	7[70]	199
Потребности	95	150	85	70