Контрольная работа по "Моделированию и компьютерному анализу"

Министерство  образования республики Беларусь

Учреждение  образования

«БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ  И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность Моделирование и компьютерное проектирование РЭС

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу Моделирование и компьютерный анализ РЭС

Вариант № 12

Студент-заочник 3 курса

Группы № 980221

ФИО Коляда Сергей

Анатольевич

Адрес г.Кобрин Брестской обл.

ул. Интернациональная 30

Тел. 80292779352

Минск, 2012

Вариант 12.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗАДАНИЕ

Математические модели объектов проектирования

Проектирование радиоэлектронных средств с применением ЭВМ  требует описания этого объекта  на языке математики в виде, удобном  для его алгоритмической реализации.

Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью. Математическая модель — это совокупность математических элементов (чисел, переменных, векторов, множеств) и отношений между ними, которые с требуемой для проектирования точностью описывают свойства проектируемого объекта. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностями анализа на ЭВМ, что приводит к необходимости иметь для одного объекта несколько моделей различного уровня сложности.

В общей теории математического  моделирования математическую модель любого объекта характеризует внутренними, внешними, выходными и фазовыми переменными.  Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы. Если проектируемый объект содержит п элементарных компонентов, то и его математическая модель будет определяться параметрами, которые образуют вектор внутренних параметров W = |w₁...w_n|^T. Каждый из параметров w_i, в свою очередь, может быть функцией, вектором или еще более сложным математическим функционалом в зависимости от объекта проектирования.

Выходные параметры модели — это показатели, характеризующие функциональные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие характеристики проектируемого объекта. К таким показателям могут относиться коэффициенты передачи, масса и габариты проектируемого объекта, надежность, стоимость и т.п. Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моделировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними и наоборот. Например, сопротивление резистора является внутренним параметром при моделировании усилительного устройства, компонентом которого он является, но это же сопротивление будет выходным параметром при моделировании самого резистора, что требуется при пленочном его исполнении. Вектор выходных параметров модели будем обозначать

                                                                                                        (1.1)

Внешние параметры модели — это характеристики внешней по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих. К его составляющим с полным правом можно отнести все, что говорилось ранее о составляющих вектора внутренних параметров. Будем обозначать его

                                                                                                      (1.2)

Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели (например, токи и напряжения в радиоэлектронных устройствах, внутренними параметрами которых являются номиналы элементов электрических схем, а выходными параметрами — выходная мощность, коэффициент передачи). Такие характеристики называют фазовыми переменными. Минимальный по размерности вектор фазовых переменных v = |v₁...v_r|^T, полностью характеризующий работу объекта проектирования, называют базисным вектором.

 Например, при составлении уравнений математической модели радиоэлектронных устройств в качестве базисного вектора V можно использовать вектор узловых потенциалов либо вектор напряжений на конденсаторах и токов в индуктивностях — переменные состояния. Использование вектора фазовых переменных позволяет упростить алгоритмическую реализацию программ, составляющих уравнения математической модели устройства.

В общем случае выходные параметры F представляются операторами от векторов V,W,Q и могут быть определены из решения системы уравнений математической модели устройства. С учетом вышесказанного математическая модель любого радиотехнического объекта может быть представлена в виде следующих систем уравнений:

                                                                                             (1.3)

                                                                                                        (1.4)

где   и   — операторы, определяющие вид систем уравнений модели.

Система уравнений может  представлять собой систему линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений различного вида, дифференциальных в полных или частных производных, и является собственно математической моделью проектируемого объекта. В результате решения системы определяются действующие в устройстве фазовые переменные V. Вторая система уравнений определяет зависимость выходных параметров объекта от фазовых переменных V.

В частных случаях составляющие вектора V могут являться внутренними или выходными параметрами объекта, и тогда системы уравнений упрощаются.

Часто моделированием называют лишь составление системы (1.3). Решение уравнений (1.3) и отыскание вектора F с помощью уравнения (1.4) называют анализом математической модели.

На каждом уровне моделирования  различают математические модели проектируемого радиотехнического объекта и компонентов, из которых состоит объект. Математические модели компонентов представляют собой системы уравнений, которые устанавливают связь между фазовыми переменными, внутренними и внешними параметрами, относящимися к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными, а соответствующую модель — компонентной.

Математическую модель объекта проектирования, представляющего объединение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов, входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель объекта осуществляется на основе фундаментальных физических законов, выражающих условия непрерывности и равновесия фазовых переменных, например законов Кирхгофа. Уравнения, описывающие эти законы, называют топологическими ; они отражают связи между компонентами в устройстве. Совокупность компонентных и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему (1.3), являющуюся математической моделью объекта.

Исходя из задач конкретного  этапа проектирования, математическая модель проектируемого объекта должна отвечать самым различным требованиям:

• отражать с требуемой точностью зависимость выходных параметров объекта от его внутренних и внешних параметров в широком диапазоне их изменения;
• иметь однозначное соответствие физическим процессам в объекте;
• включать необходимые аппроксимации и упрощения, которые позволяют реализовать ее программно на ЭВМ с различными возможностями;
• иметь большую универсальность, т. е. быть применимой к моделированию многочисленной группы однотипных устройств;
• быть экономичной с точки зрения затрат машинных ресурсов и т. п.

Эти требования в своем  большинстве являются противоречивыми, и удачное компромиссное удовлетворение этих требований в одних задачах  может оказаться далеким от оптимальности  в других. По этой причине для  одного и того же компонента или  устройства часто приходится иметь  не одну, а несколько моделей. В  связи с этим классификация моделей  должна выполняться по множеству  признаков, чтобы описать все  возможные случаи.

По уровню сложности различают  полные модели и макромодели. Полные модели объекта проектирования получаются путем непосредственного объединения компонентных моделей в общую систему уравнений. Макромодели представляют собой упрощенные математические модели, аппроксимирующие полные.

В свою очередь, макромодели  делят на две группы: факторные  и фазовые модели.

Факторные модели предназначены для использования на последующих этапах проектирования.

Фазовые макромодели предназначены для использования на том же этапе проектирования, на котором их получают, для сокращения размерности решаемой задачи.

По способу получения математические модели радиотехнических объектов делят на физические и формальные. Физические модели получают на основе изучения физических закономерностей функционирования проектируемого объекта, так что структура уравнений и параметры модели имеют ясное физическое толкование.

Формальные модели получают на основе измерения и установления связи между основными параметрами объекта в тех случаях, когда физика работы его известна недостаточно полно. Как правило, формальные модели требуют большого числа измерений и по своей природе являются локальными, справедливыми вблизи тех режимов, в которых производились измерения. Такие модели называют моделями "черного ящика".

В современных системах автоматизированного  проектирования формирование системы  уравнений математической модели проектируемого объекта выполняется автоматически с помощью ЭВМ. В зависимости от того, что положено в основу алгоритма формирования системы уравнений, модели радиоэлектронных объектов можно разделить на электрические, физико-топологические и технологические.

Понятие электрической модели включает либо систему уравнений, связывающих напряжения и токи в электрической схеме, являющейся моделью объекта, либо саму электрическую схему, составленную из базовых элементов (резисторов, конденсаторов), на основе которой можно в ЭВМ получить систему уравнений, связывающих напряжения и токи в модели объекта.

В физико-топологических моделях исходными параметрами являются геометрические размеры определяющих областей проектируемого объекта и электрофизические характеристики материала, из которых они состоят. В результате решения системы уравнений этой модели поля находятся внутри и на внешних выводах устройства. Такие модели применяются при разработке полупроводниковых приборов, СВЧ-устройств и в ряде других случаев.

Технологические модели основываются на параметрах технологических процессов изготовления проектируемого объекта (температура и время диффузии, концентрация диффузанта). Выходные параметры такой модели — совокупность физико-топологических либо технологических параметров.

По способу задания внутренних и внешних параметров математические модели делят на дискретные и непрерывные.

Различают модели статические и динамические в зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционности процессов в проектируемом объекте или нет. Статические модели отражают состояние объекта проектирования при неизменных внешних параметрах и не учитывают его переходные характеристики. Динамические модели дополнительно отражают переходные процессы в объекте, происходящие при изменении во времени внешних параметров.

Программа моделирования  радиотехнических и других объектов должна автоматически формировать  систему уравнений математической модели из базового набора элементарных схемных элементов, компонентные уравнения для которых хранятся в библиотеке программы. Для синтеза адекватных реальному объекту моделей большинства радиотехнических устройств базовый набор должен содержать по крайней мере пять типов сосредоточенных схемных элементов, перечисленных в таблице 1. В таблице приведены и компонентные уравнения для каждого из элементов базового набора.

Этап конструкторского проектирования радиоэлектронных средств представляет комплекс задач, связанных с преобразованием  функциональных или принципиальных электрических схем разработанных  устройств в совокупность конструктивных компонентов, между которыми будут  существовать необходимые пространственные или электрические связи. Конструкторский  этап является завершающим в общем  цикле разработки радиоустройств и  заканчивается выдачей конструкторско-технологической  документации для их изготовления и  эксплуатации.

При конструировании радиоэлектронных средств ведущим принципом является модульный, заключающийся в выделении конструктивных модулей (компонентов) различной степени сложности, находящихся в отношении соподчиненности.

Таким образом, конструкцию  радиоэлектронного устройства можно  представить в виде иерархической  структуры, состоящей из компонентов  разной степени сложности, что схематически показано на рис. 1.1. Модуль или компонент первого уровня представляет собой конструктивно неделимое устройство, например микросхему, транзистор, дискретный резистор и т. д.

Модуль второго уровня объединяет на одной печатной плате  несколько модулей первого уровня.

Модуль третьего уровня —  блок — объединяет модули второго  уровня и конструктивно может  быть оформлен в виде панели (кассеты) с печатным или проводным монтажом.

Наконец, модуль четвертого уровня представляет собой отдельное  устройство, объединяющее ряд панелей (кассет) в стойку, шкаф и т. п. Межпанельные соединения здесь обычно реализуются  проводным монтажом. Естественно, что  приведенный пример лишь иллюстрирует модульный принцип конструирования  радиоустройств, который в зависимости  от назначения и состава модулей  первого уровня может претерпевать большие изменения. Так, при конструировании  устройств на основе базовых матричных  кристаллов модулем первого уровня могут служить элементы базового кристалла.

Метод модульного конструирования  обладает рядом неоспоримых достоинств, одним из которых является упрощение  алгоритмической реализации методов  решения конструкторских задач  на различных уровнях разработки радиоаппаратуры. Вместе с тем применение этого метода возможно лишь при решении  проблемы конструктивной и схемной  унификации модулей различного уровня, возможность которой определяется достигнутым уровнем технологии.

При выполнении этого условия  можно выделить ряд стандартных  задач конструкторского этапа проектирования, которые приходится решать на различных  уровнях. Очевидно, что на содержание этих этапов накладывает специфические  особенности вид проектируемой  аппаратуры. Так, если говорить о микроэлектронных устройствах, составляющих 70% всех радиоустройств, то к этим задачам следует отнести  задачи:

• компоновки модулей;
• размещения модулей низшего уровня в модуле высшего;
• трассировки межсоединений;
• получения конструкторско-технологической документации.

Эти задачи обладают рядом  особенностей по сравнению с задачами других этапов проектирования радиоустройств, например схемотехнического, поэтому  разберем их подробнее. Задача компоновки заключается в распределении модулей низшего уровня по конструктивным модулям высшего уровня. При этом считается, что каждый модуль является конструктивно неделимым компонентом по отношению к модулю более высокого уровня и, как правило, функционально и конструктивно унифицированным. Среди задач компоновки можно выделить два характерных класса.

 
Рис. 1.1.  Иерархия конструктивных модулей

К первому из них относятся  задачи, в которых осуществляется разбиение схемы устройств на конструктивные модули с учетом таких  ограничений, как количество компонентов  в модуле, число внешних выводов  на модуле, суммарная площадь, занимаемая компонентами. Главными критериями оптимальности  компоновки в этом случае являются: минимум числа образующихся в  результате компоновки модулей высшего  уровня, минимум числа соединений между модулями и другие. К отмеченным выше критериям и ограничениям могут  быть добавлены и другие, например условия электромагнитной совместимости  в модуле, нормального теплообмена, минимизации задержек в распространении  сигналов. Эти условия должны быть выяснены до начала компоновки либо они  проверяются по окончании компоновки.

Такие задачи возникают при  разбиении схемы устройства на узлы большой степени сложности, к  которым не предъявлены строгие  требования в отношении схемной  и функциональной унификации.

Примером таких задач  являются задачи разбиения схемы  на большие интегральные схемы частного применения, распределения микросхем  по печатным платам и отдельных печатных плат по панелям. Подводя итог вышесказанному, отметим, что к первому классу задач компоновки относятся такие, в которых критерий модулей может  включать несколько логических элементов  или их функциональных групп, в общем  случае соединенных между собой. Иногда эти задачи выделяют в отдельный  класс и называют задачами покрытия функциональной схемы заданным набором  конструктивных модулей. Эти задачи более трудны в формализации, их решение до настоящего времени считается  весьма сложным.

Задачи размещения и трассировки являются тесно связанными, так как в процессе размещения определяются условия для трассировки межсоединений. Совместное решение этих задач представляет значительные трудности, и при алгоритмическом подходе к их решению эти задачи рассматриваются, как правило, раздельно. Сначала осуществляется размещение модулей низшего уровня в модуле высшего, например, микросхем на печатной плате, а затем осуществляется трассировка межсоединений. Если трассировка оказывается неудовлетворительной, то процесс размещения повторяется с учетом недостатков предыдущего варианта размещения. В большинстве случаев для решения задач конструкторского проектирования радиоустройство представляется множеством конструктивных модулей, функциональное назначение которых не конкретизируется и группы контактов которых связаны эквипотенциальными электрическими соединениями. Такое представление устройства называют коммутационной схемой.

В общем виде задачу размещения модулей низшего уровня в модуле высшего можно описать следующим  образом: задана коммутационная схема устройства, требуется разместить модули в некотором коммутационном пространстве таким образом, чтобы обеспечить оптимальное значение некоторого функционала.

Коммутационным пространством конструктивного модуля какого-либо уровня называют область, ограниченную габаритами этого модуля. В этой области располагаются модули предыдущего уровня и осуществляются электрические соединения контактов модулей низшего уровня. Различают регулярные и нерегулярные коммутационные пространства. Регулярные пространства характеризуются конечным числом позиций для размещения модулей низшего уровня и числом слоев, в которых располагаются трассы соединительных проводников. В нерегулярных пространствах нельзя заранее указать координаты позиций и число слоев проводников, так как размещаемые модули имеют различные размеры и форму.

Вариантами регулярного коммутационного пространства могут быть панель с межсоединениями или печатная плата. Типичными нерегулярными пространствами являются подложка микросборки или кристалл интегральной схемы. Критерием оптимальности размещения в большинстве случаев является критерий минимума суммарной длины соединений, который интегральным образом учитывает многочисленные требования к расположению модулей и трасс их межсоединений, так как уменьшение длин соединений улучшает электрические характеристики устройства, упрощает трассировку межсоединений и трудоемкость изготовления платы, кроме того, данный критерий прост с точки зрения формализации.

Для измерения длин межсоединений  с коммутационным пространством связывают некоторую систему координат (для плоского коммутационного пространства XOY ). Расстояние между соединяемыми контактами модулей с координатами x_i, x_j и y_i, y_i соответственно можно определить одним из следующих способов:

                                                          (1.5)

Первый способ соответствует  прокладке проводных соединений по кратчайшему расстоянию между  соединяемыми контактами модулей —  евклидова метрика. Второй способ предполагает проведение трасс межсоединений  по направлениям, параллельным координатным осям (сторонам платы), — ортогональная  метрика. Третий способ применяется, когда  одновременно необходимо минимизировать суммарную длину межсоединений  и их максимальную длину. Действительно, при использовании этой формулы  длинные соединения будут давать максимальный вклад в суммарную  длину, и критерий минимума суммарной  длины межсоединений косвенным  образом будет минимизировать и максимальные из них. Результатом решения задач размещения является определение точного расположения на коммутационном пространстве центров модулей и координат их контактов, что совместно с принципиальной электрической схемой является основой для решения задачи трассировки.

Задачи трассировки можно  разделить на две группы: трассировка  проводного монтажа и трассировка  печатных соединений. Трассировка проводных  соединений относительно более проста, так как отдельные соединения электрически изолированы друг от друга.

 
Рис.1.2.  Виды монтажных соединений

Поэтому в большинстве  случаев она может быть сведена  к задаче минимизации длины отдельных  электрических цепей, если не возникает  задача совместной оптимизации соединений монтажных схем, например для обеспечения  электромагнитной совместимости.

Задача трассировки печатного  монтажа представляется гораздо  более сложной и решается в  несколько этапов, которые включают определение требуемого числа слоев  печати (расслоение монтажа), определение  порядка трассировки каждого  слоя печати, при котором обеспечивается отсутствие пересечений и минимальная  длина проводников, и собственно трассировку соединений. Точная математическая формулировка этих задач зависит  от применяемой технологии изготовления печатного модуля, используемых методов  трассировки проводников.

Постановка и решение  перечисленных конструкторских  задач на ЭВМ невозможны без определения математических моделей коммутационного пространства и принципиальной электрической схемы проектируемого устройства. Модели схем и коммутационного пространства, применяемые для решения задач автоматизации конструкторского проектирования, можно условно разделить на несколько видов: модели, использующие аппарат теории симметрических графов; модели, использующие аппарат теории гиперграфов и ультраграфов; модели, использующие аппарат теории множеств; эвристические модели. Наибольшее распространение получили модели первого и четвертого видов, поэтому рассмотрим их подробнее.

Математические модели монтажно-коммутационного  пространства

Монтажно-коммутационное пространство (МКП) предназначено для размещения конструктивных модулей и трассировки  соединений между их контактами, которые  должны быть соединены электрическими цепями. Форма и, естественно, математическая модель МКП зависят от уровня модуля, для которого в данный момент решаются задачи конструирования (базовый матричный кристалл, печатная плата, панель и т. д.). В дальнейшем ограничимся только плоским монтажно-коммутационным пространством, соответствующим конструктивному модулю типа печатной платы.

Без потери общности будем  считать, что пространство имеет  прямоугольную форму, так как  введением областей, в которых  запрещается размещение конструктивных модулей более низкого уровня или трассировки соединений, можно  придать пространству произвольную форму. Так как МКП служит для  решения двух задач — размещения модулей и трассировки, — то модели МКП, используемые для решения каждой задачи, будут иметь отличия. Рассмотрим эти модели подробнее.

Наибольшее распространение  для решения задач размещения конструктивных модулей в плоском  МКП получили эвристические дискретные модели. Такие модели (будем их называть МКП1) строятся следующим образом (рис.1.3а): МКП разбивается на элементарные площадки (дискреты), каждая из которых предназначена для размещения одного конструктивного модуля более низкого уровня, например микросхемы на печатной плате. Эти площадки в дальнейшем будем называть дискретами рабочего поля (ДРП).

Каждый дискрет в процессе решения задачи размещения может  находиться в одном из следующих  состояний: свободен для размещения, занят, имеет определенный вес, запрещающий  размещение в нем модуля, и т. д. Такая модель МКП отличается простотой  и удобством использования в  эвристических алгоритмах размещения, однако она не является полностью  формализованной.

Одной из разновидностей модели МКП1 является модель с ортогональной  сеткой, в узлах которой могут  размещаться модули низкого уровня (рис. 1.3б). Шаг сетки выбирается из условия возможности размещения модулей в соседних узлах сетки.

При размещении разногабаритных  компонентов часто размер ДРП  выбирают равным наибольшему общему делителю линейных размеров размещаемых  модулей либо линейным размерам установочного  места для наименьшего из модулей, если размеры всех модулей кратны. Заметим, что выбор шага дискретизации  представляется весьма важным, так  как при малых размерах ДРП  увеличивается время решения  задачи, зато повышается плотность  заполнения МКП модулями низшего  уровня.

 
Рис. 1.3.  Дискретные модели МКП

Аналогичные дискретные модели используются и для решения задач  трассировки. В этом случае дискрет  является квадратом со сторонами, равными  ширине проводника плюс зазор между  ними (рис. 1.3в). При этом считается, что проводник из каждого дискрета может быть проведен только в соседний ДРП.

Наибольшее распространение  для решения задач размещения получили модели МКП в виде взвешенного  графа VG (S, V), которые будем обозначать МКП2. Взвешенный граф VG представляет собой симметрический граф, в котором множество вершин S соответствует множеству установочных позиций в коммутационном пространстве для модулей низшего уровня, а множество ветвей интерпретирует множество связей между соответствующими установочными позициями. Каждой ветви графа u_ij присваивается вес p_ij — он равен числу условных единиц расстояния между центрами установочных позиций Si и Sj, интерпретируемых вершинами, которые инцидентны данной ветви. Вес ветви p_ij определяется в зависимости от метрики пространства по одной из формул (1.3, 1.4).