Контрольная работа по "Основы финансовых вычислений"

 

Введение

 

        Выполняя данную работу, при решении задачи №1, использовались формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для составления  кредитных планов при решении  задачи №2 использовались формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t) =(t-1)- R ;

 

ЗАДАЧА №1

 

Имеется 100000 денежных единиц в рублях и 6000 денежных единиц в некоторой валюте. Рассмотрим три варианта:

1. Денежные средства в рублях размещаются в виде рублевого депозита, на который начисляются простые проценты по ставке .
2. Денежные средства в рублях размещаются в виде рублевого депозита, на который ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной ставке =18%.
3. Валютные средства размещаются в виде валютного депозита, на который ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной ставке=22%.

Возможно, конвертировать рубли в валюту, а валюту в рубли. − курс обмена в начале операции (курс валюты в рублях). − предполагаемый курс обмена в конце операции. (1 января) − дата открытия депозита, (10 июня) − дата закрытия депозита (год не високосный).

Выполнить следующие расчёты, рассматривая варианты с конвертацией и без конвертации. Конечные результаты записать в рублях.

1. Определить начисляемые проценты и наращенные суммы. При вычислении простых процентов использовать британский, французский, германский методы. При вычислении сложных ежемесячных процентов использовать смешанный метод и формулу с дробным числом периодов начислений. При вычислении сложных ежеквартальных процентов использовать метод, при котором проценты на последний период не начисляются, если он меньше целого периода начисления.
2. Для всех полученных наращенных сумм вычислить простые учётные ставки.
3. Вычислить суммы, получаемые за время дней до срока погашения, совмещая начисление процентов по ставке наращения и дисконтирования по учётной ставке.
4. Оценить реальные суммы наращения при неизменном темпе инфляции .
5. Результаты, полученные в пунктах 1-4, занести в таблицу.

     Определить, какой вариант, с конвертацией или без конвертации, наиболее выгоден.

6. Вычислить эффективную ставку, соответствующую ставке .

7. Вычислить простую ставку, эквивалентную ставке и сложную ставку (проценты начисляются 12 раз в год) эквивалентную ставке .

8. Определить сложную процентную ставку с начислением 2 раза в год эквивалентную ставке.
9. Используя математический учёт (дисконтирование), определить первоначальную сумму для ставок,, , , если в конечном результате необходимо получить сумму рублей.
10. Для первоначальной суммы 100000 и конечной суммы 200000 определить срок депозита для всех ставок, , .

 

Решение

1.  Рассмотрим три варианта размещения средств на рублёвый депозит.

I.  Вычислим наращенные суммы и начисляемые простые проценты на сумму 100000 рублей тремя методами.

Подсчитаем  точное число дней длительности депозита: 31 день января, 28 дней февраля, 31 день марта, 30 дней апреля, 31 день мая, 10 дней июня, всего получаем 160 дней, учитывая, что  день открытия и закрытия депозита считается за один день. Подсчитаем приближённое число дней длительности депозита: 30 дней пяти месяцев, 10 дней июня, всего получаем 159 дней, учитывая, что  день открытия и закрытия депозита считается за один день.

Британский  метод:

 

 

 

Французский метод:

 

 

 

Германский  метод:

 

 

 

II. Вычислим наращенные суммы и начисляемые сложные проценты на сумму 100000 рублей смешанным методом и методом с дробным числом периодов.

Смешанный метод. Обозначим через  целое число периодов начисления, а через оставшуюся дробную часть. Тогда это количество полных месяцев, а - это оставшиеся 10 дней июня: , m=12- количество месяцев в году. Таким образом, получим:

 

 

 

Метод с дробным  числом периодов начисления. Обозначим  через  длительность депозита в днях, через длительность месяца. Возьмём . Тогда

 

 

 

III.  Конвертируем сумму 100000 рублей в данную валюту: денежных единиц. Вычислим наращенную сумму и проценты, начисляемые ежеквартально без начисления процентов на период меньше квартала.

 

 

где - количество полных кварталов, в данном случае , -количество месяцев в одном квартале.

Конвертируем  полученную величину в рубли:

 

 

 

Далее рассмотрим вторую сумму 6000 денежных единиц. Конвертируем её в рубли:

 

Для полученной суммы произведём вычисления аналогичные  вычислениям для первой суммы.

 

Британский  метод:

 

 

Французский метод:

 

 

Германский  метод:

 

 

Смешанный метод:

 

 

Метод с  дробным числом периодов начисления:

 

 

Произведём  расчёты без конвертации с  размещением на валютном депозите.

 

 

Конвертируем  полученную величину в рубли:

 

 

2.  Возьмём (базовый период), (длительность депозита). Простые учётные ставки будем вычислять по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При определении учётной ставки валютного депозита используем наращенные суммы и проценты, вычисленные в данной валюте.

Полученные  результаты запишем в таблицу  пункта 5.

3.  Для рублёвого депозита суммы, учтённые за время , будем вычислять по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для валютного  депозита вычислим суммы в валюте, затем конвертируем в рубли.

 

 

для и .

 

 

 

Полученные  результаты запишем в таблицу  пункта 5.

 

4. Реальные суммы наращения с учётом темпа инфляции вычислим по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 
 
 

где

 

Полученные  результаты запишем в таблицу  пункта 5. 

5. 

	Процентные ставки	Метод вычислений	Проценты	Наращенные суммы	Учётные ставки	Досрочные суммы	Реальные суммы
Сумма в руб.	I1	британский	8767,12	108767,12	0,1814	103834,53	94580,10
		французский	8888,89	108888,89	0,1837	103888,17	94685,99
		германский	8833,33	108833,33	0,1826	103865,09	94637,68
	I2	смешанный	8267,03	108267,03	0,1718	103616,96	94145,24
		дробный	8264,37	108264,37	0,1718	103614,42	94142,93
	I3	без % за посл. период	19259,26	119259,26	0,1537	114685,90	103703,70
Сумма в вал.	I1	британский	17534,25	217534,25	0,1814	207671,25	189160,22
		французский	17777,78	217777,78	0,1837	207777,78	189371,98
		германский	17666,67	217666,67	0,1826	207729,17	189275,37
	I2	смешанный	16534,10	216534,10	0,1718	207233,65	188290,52
		дробный	16528,75	216528,75	0,1718	207231,30	188285,87
	I3	без % за посл. период	38518,52	238518,52	0,1537	229371,80	207407,41

 

 

6.  Вычислим эффективную ставку, соответствующую ставке.

 

 

7.  Вычислим простую ставку, эквивалентную ставке :

 

и сложную ставку (проценты начисляются 12 раз в год) эквивалентную ставке :

 

 

8.  Определим сложную процентную ставку с начислением 2 раза в год эквивалентную ставке .

 

 

9.  Первоначальную сумму в случае начисления простых процентов в течение года определим следующим образом:

 

Вычислим первоначальную сумму  при ежемесячном начислении в  течение года сложных процентов  с годовой ставкой .

 

 

Для использования валютного депозита учтём двойную конвертацию. Напомним, что при ежеквартальном начислении .

 

 

 

11. Вычислим сроки депозитов для ставок :

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2

Кредит  на сумму 10 000 000 руб. может быть получен сроком на 1 год с ежемесячными выплатами и начислением простого процента по ставке i₁=24,5% годовых на остаток долга. Существует альтернативный вариант получения кредита на ту же сумму и срок с ежемесячным начислением под i₂= 22,5% годовых, но погашение осуществляется аннуитетными платежами. Кроме того, через 6 месяцев появляется возможность взять кредит под i₃=20% годовых, при этом досрочное погашение любого из ранее взятых кредитов требует штрафной выплаты в размере 15 000 руб. Составить шесть планов погашения кредита:

1)  кредит выдаётся на год по ставке i₁ с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга;

2)  кредит выдаётся на год по ставке i₂ с ежемесячным начислением, погашение осуществляется аннуитетными платежами;

3)  кредит выдаётся на год по ставке i₁ с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под i₃ годовых на 6 месяцев, погашение которого осуществляется аннуитетными платежами;

4)  кредит выдаётся на год по ставке i₂ с ежемесячным начислением, погашение осуществляется аннуитетными платежами, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под i₃ годовых на 6 месяцев, погашение осуществляется аннуитетными платежами;

5)  кредит выдаётся на год с ежемесячным начислением i₂, погашение осуществляется аннуитетными платежами, процентные выплаты уменьшаются вместе с убыванием основного долга, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под i₃  годовых на 6 месяцев с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга.

Проанализировать варианты амортизации кредита с позиций заемщика. Сравнение провести по простой сумме выплат без учета дисконтирования.

 

Решение

Кредитный план №1.

Первая  схема амортизации кредита предполагает ежемесячную выплату равных частей основного долга:

 

где – первоначальная сумма кредита, – количество выплат с одновременным начислением процентов, в данном случае количество месяцев в году.

Остаток долга определим следующим образом:

 

где – номер очередного месяца выплаты.

Процентные  платежи рассчитываются исходя из остатка  долга на конец каждого месяца по формуле

 

где – годовая процентная ставка.

Таким образом, ежемесячные выплаты по кредиту  составят

 

 

Составим  план погашения кредита.

 

 

 

 

Месяцы,              t	Основной долг, R	Остаток долга, S(t)	Проценты,   I(t)	Выплаты по кредиту, М(t)
1	833333,33	10000000	204166,67	1037500,00
2	833333,33	9166666,67	187152,78	1020486,11
3	833333,33	8333333,33	170138,89	1003472,22
4	833333,33	7500000	153125,00	986458,33
5	833333,33	6666666,67	136111,11	969444,44
6	833333,33	5833333,33	119097,22	952430,56
7	833333,33	5000000	102083,33	935416,67
8	833333,33	4166666,67	85069,44	918402,78
9	833333,33	3333333,33	65055,56	901388,89
10	833333,33	2500000	51041,67	884375,00
11	833333,33	1666666,67	34027,78	867361,11
12	833333,33	833333,33	17013,89	850347,22
Итого	10000000		1327083,33	11327083,33

        Итак, общая сумма всех выплат по кредиту составит 11 327 083рублей.

        Кредитный план №2.

Для того чтобы процентные выплаты уменьшались  вместе с убыванием основного долга, для аннуитетной схемы амортизации кредита можно применить подход, аналогичный первой схеме погашения кредита. То есть выплаты будут определяться следующим образом:

 

1) аннуитет ;

 

2) остаток основного долга , где – выплаты в счёт основного долга, , ;

3) процентный платёж ;

4) выплаты основного долга .

 

Месяцы, t	Аннуитет, А	Остаток долга, S(t)	Проценты, I(t)	Основной долг, R(t)
1	938351,84	10000000	187500,00	750851,84
2	938351,84	9249148,16	173421,53	764930,31
3	938351,84	8484217,86	159079,08	779272,75
4	938351,84	7704945,10	144467,72	793884,12
5	938351,84	6911060,99	129582,39	808769,44
6	938351,84	6102291,54	114417,97	823933,87
7	938351,84	5278357,67	98969,21	839382,63
8	938351,84	4438975,04	83230,78	855121,05
9	938351,84	3583853,99	67197,26	871154,57
10	938351,84	2712699,42	50863,11	887488,72
11	938351,84	1825210,69	34222,70	904129,14
12	938351,84	921081,56	17270,28	921081,56
Итого	11260222,04		1260222,04	10000000

 

Итак, общая  сумма всех выплат по кредиту составит 11 260 222 рублей.

При одинаковой процентной ставке и прочих равных условиях, общая сумма выплат по кредиту представленных аннуитетом всегда выше общей суммы выплат, начисленных на остаток долга. В данном случае во втором варианте плана погашения кредита итоговая сумма получилась немного меньше итоговой суммы первого плана, так как была понижена процентная ставка.

Также следует  отметить, что рассмотренная схема  амортизации кредита предполагает уменьшение размера процентных выплат с течением времени, при увеличении выплат по основному долгу.

 

Кредитный план №3.

Воспользуемся кредитным планом №1 для первых шести  месяцев погашения кредита:

Месяцы, t	Основной долг, R	Остаток долга, S(t)	Проценты, I(t)	Выплаты по кредиту, M(t)
1	833333,33	10000000	204166,67	1037500,00
2	833333,33	9166666,67	187152,78	1020486,11
3	833333,33	8333333,33	170138,89	1003472,22
4	833333,33	7500000,00	153125,00	986458,33
5	833333,33	6666666,67	136111,11	969444,44
6	833333,33	5833333,33	119097,22	952430,56
Итого	5000000		969791,67	5969791,66

 

После шести  месяцев погашения остаток долга  составит:

 

Вычислим  величину аннуитета для кредита  на сумму , взятого на 6 месяцев под 20 % годовых

 

Воспользуемся формулами:

 

 

Составим  новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану  №2:

 

Месяцы, t	Аннуитет, A	Основной долг, R(t)	Проценты, I(t)
1	882613,92	799280,59	83333,33
2	882613,92	812601,93	70011,99
3	882613,92	826145,30	56468,62
4	882613,92	839914,39	42699,54
5	882613,92	853912,96	28700,96
6	882613,92	868144,84	14469,08
Итого	5295683,53	5000000	295683,53

 

        Общая сумма всех выплат по кредиту составит 11 265 475 рублей.

Кредитный план №4.

Воспользуемся кредитным планом №2 для первых шести  месяцев погашения кредита:

Месяцы, t	Аннуитет, А	Остаток долга, S(t)	Проценты, I(t)	Основной долг, R(t)
1	938351,84	10000000	187500,00	750851,84
2	938351,84	9249148,16	173421,53	764930,31
3	938351,84	8484217,86	159079,08	779272,75
4	938351,84	7704945,10	144467,72	793884,12
5	938351,84	6911060,99	129582,39	808769,44
6	938351,84	6102291,54	114417,97	823933,87
Итого	5630111,04		908468,69	4721642,33

После шести  месяцев погашения остаток долга  составит:

4721642,33=5278357,67 .

Вычислим  величину аннуитета для кредита  на сумму , взятого на 6 месяцев под 20 % годовых.

 

         Составим новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану №2:

Месяцы, t	Аннуитет, А1	Основной долг, R(t)	Проценты, I(t)
1	931750,39	843777,77	87972,63
2	931750,39	857840,73	73909,67
3	931750,39	872138,07	59612,32
4	931750,39	886673,71	45076,69
5	931750,39	901451,60	30298,79
6	931750,39	916475,80	15274,60
Итого	5590502,36	5278357,68	312144,68

 

Общая сумма всех выплат по кредиту составит 11 220 613 рублей.

Кредитный план №5.

Воспользуемся кредитным планом №2 для первых шести месяцев погашения кредита:

Месяцы, t	Аннуитет, А	Остаток долга, S(t)	Проценты, I(t)	Основной долг, R(t)
1	938351,84	10000000	187500,00	750851,84
2	938351,84	9249148,16	173421,53	764930,31
3	938351,84	8484217,86	159079,08	779272,75
4	938351,84	7704945,10	144467,72	793884,12
5	938351,84	6911060,99	129582,39	808769,44
6	938351,84	6102291,54	114417,97	823933,87
Итого	5630111,04		908468,69	4721642,33

        После шести месяцев погашения остаток долга составит:

.

Составим  новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану  №1.

 

 

 

 

2) =(1)- R=5278357,67-

 

 

3) =(2)-R=4398631,40-

 

 

4) =(3)- R

 

 

5) =(4)-R=

 

 

6) =(5)- R=

 

 

Составим таблицу.

 

 

 

 

Месяцы, t	Основной долг, R2	Остаток долга, S(t)	Проценты, I(t)	Выплаты по кредиту, M(t)
1	879726,28	5278357,68	87972,63	967698,91
2	879726,28	4398631,40	73310,52	953036,80
3	879726,28	3518905,12	58648,42	938374,70
4	879726,28	2639178,84	43986,31	923712,59
5	879726,28	1759452,56	29324,21	909050,49
6	879726,28	879726,28	14662,10	894388,38
Итого	5278357,68		307904,20	5586261,87

 

Общая сумма всех выплат по кредиту составит 11 216 373 рубля.

Составим  итоговую сравнительную таблицу  выплат по всем планам:

месяцы, t	План 1, M	План 2, M	План 3, M	План 4, M	План 5, M
1	1037500,00	938351,84	1037500,00	938351,84	938351,84
2	1020486,11	938351,84	1020486,11	938351,84	938351,84
3	1003472,22	938351,84	1003472,22	938351,84	938351,84
4	986458,33	938351,84	986458,33	938351,84	938351,84
5	969444,44	938351,84	969444,44	938351,84	938351,84
6	952430,56	938351,84	952430,56	938351,84	938351,84
7	935416,67	938351,84	882613,92	931750,39	967698,91
8	918402,78	938351,84	882613,92	931750,39	953036,80
9	901388,89	938351,84	882613,92	931750,39	938374,70
10	884375,00	938351,84	882613,92	931750,39	923712,59
11	867361,11	938351,84	882613,92	931750,39	909050,49
12	850347,22	938351,84	882613,92	931750,39	894388,38
Итого	11 327 083	11 260 222	11 265 475	11 220 613	11 216 373
Штраф	0	0	15000	15000	15000
Общие выплаты	11 327 083	11 260 222	11 280 475	11 235 613	11 231 373