Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Прикладной математике"

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Прикладная математика»

СОДЕРЖАНИЕ.

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА.

Вариант № 22.

Формулировка линейной производственной задачи:

Фирма «Экомебель» выпускает 4 вида продукции: х₁ - столы, х₂ – шкафы, х₃ – тумбы, х₄ – стулья. При этом фирма располагает 3 видами ресурсов: 126 т. – досок, 84 т. – шурупов, 75 т. - лака

Требуется составить такой план выпуска изделий х₁, х₂, х₃, х₄ , при котором мы уложимся в имеющиеся ресурсы и суммарная прибыль от реализации изготовленных по плану изделий будет максимальна.

Это – задача оптимизации и для ее решения необходимо создать математическую модель

А - матрица удельных затрат;

В - вектор объёмов ресурсов;

С - вектор удельной прибыли.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ в₁

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄ ; В= в₂ ;

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ в₃

С = (с₁, с₂, с₃, с₄).

В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:

С₁	С₂	С₃	С₄		26	35	18	30
a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	B₁	2	5	1	4	126
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	B₂	3	0	7	2	84
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	B₃	2	1	4	0	75

2 5 1 4 126

А = 3 0 7 2 В = 84

2 1 4 0 75

С=(26, 35, 18, 30 ) .

Х - вектор объёмов выпуска продукции (производственная программа).

Х = (х₁, х₂, х₃, х₄) – 4 вида изделий.

В общем виде математическая модель линейной производственной задачи выглядит следующим образом:

найти Х = (х₁, х₂, х₃, х4) такие, что

z(x₁, x₂, x₃, x₄) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c₄x₄ ® max, где z- функция прибыли;

(2) a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄ < в₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+а₃₄х₄ < в₂ ;

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃+а₃₄х₄ < в₃

(3) x_i ³0 , i=1,4 .

(1) - целевая функция;

(2) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);

(3) - условие не отрицательности задачи .

Подставив соответствующие значения , имеем:

z=26x₁+35x₂+18x₃+30х₄®max

(2) 2x₁+ 5x₂ + 1x₃ + 4x₄ £ 126

3x₁ + 7x₃ + 2x₄ £ 84

2x₁+ 1x₂ + 4x₃ £ 75

(3) x_i ³ 0, i=1...4.

(1)-(3)- математическая модель линейной производственной задачи.

Целевая функция (1) и условие не отрицательности (3) остаются без изменений. В линейные ограничения по ресурсам вводятся дополнительные выравнивающие переменные х5, х6, х7.,которые также являются базисными.

х5 - остаток 1-го ресурса;

х6 - остаток 2-го ресурса;

х7 - остаток 3-го ресурса.

Неравенство (2) следует заменить уравнениями. Получим задачу линейного программирования в каноническом виде:

(1) z = 26x1 + 35x2 + 18x3 + 30х4 ® max

(2) 2x₁+ 5x₂ + 1x₃ + 4x₄ = 126

3x₁ + 7x₃ + 2x₄ = 84

2x₁+ 1x₂ + 4x₃ = 75

(3) x_i ³ 0, i=1...7.

(1)-(3)-задача линейного программирования .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ .

Для решения задачи симплексным методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:

	Сб	Хб	Н	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	С5	Х5	В5	а11	а12	а13	а14	1	0	0
2	С6	Х6	В6	а21	a22	a23	a24	0	1	0
3	C7	X7	B7	a31	a32	a33	a34	0	0	1
4		Z	Z0	D1	D2	D3	D4	0	0	0

Подставив соответствующие значения из (1) и (3), имеем :

	Сб	Xб	Н	26	35	18	30	0	0	0	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	0	Х5	126	2	5*	1	4	1	0	0	25min
2	0	Х6	84	3	0	7	2	0	1	0	-
3	0	Х7	75	2	1	4	0	0	0	1	75
4	–	–	0	-26	-35	-18	-30	0	0	0

1	35	Х2	126/5	2/5	1	1/5	4/5	1/5	0	0	63
2	0	Х6	84	3*	0	7	2	0	1	0	28min
3	0	Х7	249/5	8/5	0	19/5	-4/5	-1/5	0	1	31
4	–	–	882	-12	0	-11	2	7	0	0

1	35	Х2	14	0	1	-11/5	8/15	1/5	-2/15	0
2	26	Х1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
3	0	Х7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
4	–	–	1218	0	0	17	6	7	4	0

Пояснения к таблицам.

Хб- базисная переменная;

Н - значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

aij* - разрешающий элемент.

Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)

Пояснения к решению задачи. Алгоритм решения.

Просматриваем значения 4-й строки. Если все Dj ³ 0 ,то решение задачи оптимально.

Если какие-либо Dj < 0, находим min(Dj < 0) = Dк.

Хк включаем в число базисных переменных.

Отыскиваем переменную исключаемую из базиса :

находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);

Х5 исключаем из числа базисных переменных.

Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

Возвращаемся в пункт 1.

Опорный план первой симплексной таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 126, 84, 75)

Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

В строке оценочных коэффициентов имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Например, число –26 означает, что включение в план производства единицы изделий первого вида позволит увеличить прибыль на 26 денежных единиц. Наиболее выгодным в данной задаче будет внедрение в производство второго вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 35 денежных единиц. Поэтому x2 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором буде объём сырья второго вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 25.

Опорный план второй симплексной таблицы.

X=(0, 126/5, 0, 0, 0, 84, 249/5)

Стоимость продукции при таком плане производства z=882 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции. Например, число 4/5 показывает, на сколько единиц надо уменьшить выпуск второй продукции, чтобы внедрить в производство одну единицу четвёртой продукции.

Прирост прибыли при внедрении одной единицы первого вида продукции составит 12 денежных единиц.

И, наконец, по этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

Опорный план третьей симплексной таблицы.

X=(28, 14, 0, 0, 0, 0, 5)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 1218 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой продукции.

Все Dj ³ 0 следовательно, план оптимален.

Выводы.

Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х1=28, Х2=14, Х3=0, Х4=0, или Х=(28,14,0,0).

Максимальная прибыль равна Zmax=1218.

Использование ресурсов:

1-й и 2-ий ресурс используется полностью (Х5=0,Х6=0), а 3-ый ресурс имеет остаток Х7=7 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.

СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ.

Пусть для выпуска продукции требуется некоторые затраты в определённых пропорциях. Пусть a = 1, b = 2, g=1, d=3, тогда: 2x1 = x3, а 3х2 = х4.

Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

P(x)=62x1 + 125x2®max

4x1 + 17x2 £ 126

x1 + 6x2 £ 84

10x1 +x2 £ 75

x1 ³ 0, x2 ³ 0

Полученную задачу можно решить графически.

Решение задачи приведено на Рис. 1.

Р0(x)=62* x1 +125* x2

X2 =-62/125* x1 – критерий оптимальности.

А=IIÇIÞ 4* x1+17* x2=126Þx2 =(84-17* x1)/6Þ44* x1 =112Þx1 =2,54Þ x2 =6,78

17* x1 +6* x2 =84

Решение задачи находится в точке А с координатами x1 = 2,54, x2 = 6,78, откуда оптимальный план производства: x1 = 2,54, x2 = 6,78, x3 =5,09 , x4 = 20,36, а максимальная прибыль составит P(x)max = 62*2,54+125*6,78=1004,98

ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:.

каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;
транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;
правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;
меняем направление неравенств;
коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;
то максимизации целевой функции переходим к минимизации.

Обе задачи выглядят так

P= 26*x1+35*x2+18*x3+30*x4-->max S= 126*y1+84*y2+75*y3 -->min

2*x1+5*x2+1*x3+4*x4<=126 2*y1+3*y2+2*y3>=26

3*x1+0*x2+7*x3+2*x4<=84 5*y1+0*y2+1*y3>=35

2*x1+1*x2+4*x3+0*x4<=75 1*y1+7*y2+4*y3>=18

x1,x2,x3,x4>=0 4*y1+2*y2+0*y3>=30

y1,y2,y3>=0

Симплексная таблица N 3

	Сб	Xб	Н	26	35	18	30	0	0	0	α
1	35	Х2	14	0	1	-11/5	8/15	1/5	-2/15	0
2	26	Х1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
3	0	Х7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
4	–	–	1218	0	0	17	6	7	4	0

Исходная задача: x1= 28;x2= 14;x3=0;x4=0;x5=0;x6=0;x7= 5;

Двойственная задача: y1=7; y2=4; y3=0 Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1218.00.Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

Экономический смысл полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у1=7, у2=4, у3=0 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 7 (4, 0) денежных единиц.

“РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“ ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

При выполнении оптимальной производственной программ первый и второй ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t1, t2, 0) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

Q (B + T) ³ 0 Û Q B + Q T ³ 0 Û H + Q T ³0

Итак задача состоит в том, чтобы найти вектор T=(t1, t2, t3) такой, что

w = у1t1 + y2t2 + y3t3 ® max ,

где w – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)

H = Q T ³ 0.

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

w=7t1+ 4t2 ® max (1)

14 1/5 -2/15 0 t1 0

28 + 0 1/3 0 * t2 ³ 0

5 -1/5 -8/15 1 0 0

предполагая, что дополнительно можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть

t1 126

t2 £ 1/3 84

0 75

причём по смыслу задачи t1 ³ 0, t2 ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

w=7t1 + 4t2 ® max

14 + 1/5t1 – 2/15t2 ³ 0 -1/5t1 + 2/15t2 £ 14 t2£3/2t1+105

28 + 1/3t2 ³ 0 Þ -1/3t2 £ 28 Þ t2³-84

5 – 1/5t1 - 8/15t2 ³ 0 1/5t1 + 8/15t2 £ 5 t2£-3/8t1+75/8

t1 £ 42, t2 £ 28 t1 £ 42, t2 £ 28 t1 £ 42, t2 £ 28

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2

По графику на рисунке 2 видно, что решение данной задачи находится в точке А(25;0). Таким образом программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t1=25, t2=0, t3=0 и прирост прибыли составит w= 7*25 + 9*0 = 175

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах A=(а1, а2,..., аm) единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно B=(b1, b2,..., bn) единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна C=|сij| и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

2 5 1 4

С = 4 4 3 2 – матрица транспортных издержек

6 5 4 3

B= 50 -- вектор объёма ресурсов

A= (56; 35; 48; 30) -- вектор объёма потребления

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 180 превышает суммарный объем потребления равный 169. Поэтому для решения задачи ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 11.

Имеем:

по\пн	56	35	48	30	Ф 11	Р
60	2 2 56 0	5 5 4 0	4 1 3	3 4 1	0 0 0	P1=0
50	1 4 -3	4 4 31 0	3 3 19 0	2 2 0	-1 0 -1	P2=-1
70	2 6 -4	5 5 0	4 4 29 0	3 3 30 0	0 0 11 0	P3=0
q	q1=2	q2=5	q3=4	q4=3	q5=0

Ĉij Cij

xij

Dij

Cij-тарифная стоимость перевозки 1 единицы груза;

Ĉij-фактическая стоимость перевозки 1 единицы груза;

Dij-условие оптимальности;

рi-платежи за единицу груза в пункте отправления;

pj- платежи за единицу груза в пункте назначения

pi + qj = Cij

Для заполненных (базисных)клеток : Ĉij=Cij

Для пустых: Xij=0

Lопорная=56*2+4*5+31*4+19*3+29*4+30*3=519(общая сумма затрат)

Проверка на оптимальность

Т.к. не все Dij £ 0, то мы еще не нашли оптимальное решение.

Далее выбираем пустую клетку таблицы с максимальной переплатой Dij³0.

Вней будет вершина цикла, а остальные должны быть в занятых клетках. Строим следующую таблицу.

по\пн	56	35	48	30	Ф 11	Р
60	2 2 56 0	2 5 4 -3	1 1 4 0	0 4 -4	-3 0 -3	P1=0
50	4 4 0	4 4 35 0	3 3 15 0	2 2 0	-1 0 -1	P2=2
70	5 6 -1	5 5 0	4 4 29 0	3 3 30 0	0 0 11 0	P3=3
q	q1=2	q2=2	q3=1	q4=0	q5=-3

Итак, выполняется условие оптимальности: Dij £ 0, и мы получили оптимальный план затрат.

Lоптим.=56*2+4+35*4+15*3+29*4+30*3=507

LD=519-507=12

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.

Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.

P(x) = x₁ + 3x₂®max

14x₁ + 9x₂ £ 51

-6x₁ + 3x₂ £ 1

x₁ ³ 0, x₂³ 0

решение:

x₁ = 1.56, x₂ = 3.45, P(x)_max = 11.5

См. график на рисунке

P(x) = x₁ + 3x₂®max P(x) = x₁ + 3x₂®max

G₁ = 14x₁ + 9x₂ £ 51 G₂ = 14x₁ + 9x₂ £ 51

-6x₁ + 3x₂ £ 1 -6x₁ + 3x₂ £ 1

x₁ £ 1 x₁ ³ 2

Решение: x₁ = 1; x₂ =7/3 Решение: x₁ = 2; x₂ =23/9

P1(x)_max = 8 P2(x)_max = 9,6

Т.к. P1(x)_max >P2(x)_max

То эта задача не подходит

P(x) = x₁ + 3x₂®max P(x) = x₁ + 3x₂®max

G₃ = 14x₁ + 9x₂ £ 51 G₄ = 14x₁ + 9x₂ £ 51

-6x₁ + 3x₂ £ 1 -6x₁ + 3x₂ £ 1

x₁³ 2; x₂ £ 2 x₁ ³ 2; x₂ ³ 3

Решение не принадлежит ОДЗ

P(x) = x₁ + 3x₂®max P(x) = x₁ + 3x₂®max

G₅ = 14x₁ + 9x₂ £ 51 G₆ = 14x₁ + 9x₂ £ 51

-6x₁ + 3x₂ £ 1 -6x₁ + 3x₂ £ 1

x₁ =3; x₂ =1 x₁ =2; x₂ =2

P5(x)_max =6 P6(x)_max = 8

Ответ: P(x)_max = 8; x₁ =2;x₂ =2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПВЛОЖЕНИЙ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Контрольная работа по Прикладной математике 📙 Контрольная → 🆔 66690