Контрольная работа по "Прикладная математика"

Содержание

 

Задача 5 3

Задача 15 5

Задача 25 5

Задача 35 5

Задача 45 5

Задача 55 5

Задача 65 5

Задача 75 5

Задача 85 5

Список литературы 5

Задача 5

Из 24 частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в 7 банках.

Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из 24 банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в уплате налогов?

Решение

Обозначим через В случайное  событие – в ходе проверки будет  установлен факт наличия среди частных  банков города таких, которые допускают  нарушения. Событие В наступит, если среди выбранных случайным образом  для проверки трех банков есть допускающие  нарушения и хотя бы в одном  из них эти нарушения будут  обнаружены. Пусть событие А_i состоит в том, что среди выбранных для проверки трех банках в i банках имеют место нарушения в уплате налогов. Очевидно, что i = 0, 1, 2, 3 и события A₀, A₁, A₂, A₃ образуют полную группу и попарно несовместимы. Тогда

Р(В) = Р(А₁В) + Р(А₂В) + Р(А₃В) =

Получили формулу полной вероятности:

Вероятности найдем по формуле:

В этой формуле:

Вычислим вероятности :

Учитывая, что банки  проверяются независимо один от другого, условные вероятности определим  по формуле:

где i = 0, 1, 2, 3, р = 0,8 – вероятность того, что допущенные в проверяемом банке нарушения будут выявлены.

Подставляя найденные  значения в формулу, определяем:

Т.е. вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в уплате налогов составляет 0,56

Задача 15

Случайная величина Х – годовой  доход наугад взятого лица, облагаемого  налогом. Плотность распределения этой случайной величины имеет вид:

 

Требуется:

• определить значение параметра A,
• найти функцию распределения F(x),
• вычислить математическое ожидание m_х и среднее квадратическое отклонение _х,
• определить размер годового дохода х₁, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

Решение

1. Параметр А найдем из условия:

 

Откуда А = 176,9

Таким образом,

 

2. Функцию распределения найдем по формуле:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

3. Определим математическое ожидание m_x и среднее квадратическое отклонение σ_x

4. Определим размер годового дохода х₁, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется доход случайно выбранного налогоплательщика

Т.к. по определению F(x) = P(X < x), то

Р(Х  х₁) = 1 – P(X < x₁) = 1 – F(x₁) = 0,5

Отсюда F(x₁) = 0,6, следовательно,

откуда

2,4lnx₁ = ln(1,71), откуда lnx₁ = 2,22; x₁=9,1

Задача 25

Выборочная проверка размеров дневной  выручки оптовой базы от реализации товаров по 100 рабочим дням дала следующие  результаты:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
Ji	0 - 5	5 - 10	10 - 15	15-20	20 - 25	25 - 30	30 - 35	35 - 40
ni	4	6	8	18	24	20	14	6

 

Здесь

i - номер  интервала наблюденных значений  дневной выручки;

J_{i -} границы i – го интервала в условных денежных единицах;

n_i - число рабочих дней, когда дневная выручка оказывалась в пределах i - го интервала.

Требуется:

• найти оценки и соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины Х (дневной выручки оптовой базы) соответственно;
• считая распределение случайной величины Х нормальным, определить вероятность того, что  в наудачу выбранный день дневная выручка составит не менее 15 у.д.е.

Решение

В качестве параметров и нормального распределения возьмем оценки и . Все необходимые вычисления проведем в таблице:

Х	ni	хi	ui	ni ui	(ni ui)2
0 – 5	4	2,5	-4	-16	256
5 – 10	6	7,5	-3	-18	324
10 – 15	8	12,5	-2	-16	256
15 – 20	18	17,5	-1	-18	324
20 – 25	24	22,5	0	0	0
25 – 30	20	27,5	1	20	400
30 – 35	14	32,5	2	28	784
35 – 40	6	37,5	3	18	324
	100			-2	2668

Вероятность Р(Х  15) того, что в наудачу выбранный день дневная выручка составит не менее 15 условных денежных единиц, можно вычислить с использованием функции Лапласа по формуле

 

 

Т.е. из 100 дней работы выручка превышает 15 условных денежных единиц около 88 дней.

 

Задача  35

По наблюдениям  случайной величины (Х, Y), сгруппированным в корреляционную таблицу, требуется:

1. построить поле корреляции;
2. вычислить групповые средние и построить линию групповых средних;
3. вычислить коэффициент корреляции , коэффициент линейной детерминации   и пояснить его смысл;
4. записать уравнение   эмпирической линии регрессии, построить ее график и пояснить смысл.

х y	5	10	15	20	25	30
10	3	5
20		4	4
30			7	35	8
40			2	10	8
50				5	6	3

 

Решение

Построим корреляционное поле:

 

 

 

 

х y	5	10	15	20	25	30	Итого
10	3	5					8
20		4	4				8
30			7	35	8		50
40			2	10	8		20
50				5	6	3	14
Итого	3	9	13	50	22	3	100

 

 

Групповые средние:

Линия групповых  средних:

 

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

5	3	15	75		10	8	80	800
10	9	90	900		20	8	160	3200
15	13	195	2925		30	50	1500	45000
20	50	1000	20000		40	20	800	32000
25	22	550	13750		50	14	700	35000
30	3	90	2700			100	3240	116000
	100	1940	40350

 

Найдем  выборочные средние:

Найдем  средние квадратические отклонения:

Найдем  вспомогательную величину:

Найдем  коэффициент корреляции:

 

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента -1 или +1 показывает наличие функциональной связи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «-» — на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака).

То есть в нашем случае взаимосвязь между  признаками тесная и прямая.

Коэффициент детерминации

Данный коэффициент указывает, что вариация значений у на 57,6% из 100% предопределена вариацией значений фактора х; роль других факторов, влияющих на у оценивается в 42,4% - достаточно большая величина.

Составим  уравнение линии регрессии  по :

 

- уравнение эмпирической линии регрессии. Построим ее график:

Задача 45

Для двух городов по независимым выборкам объемом n₁ = 60 и n₂ = 50 найдены средний возраст и нарушителя уголовного законодательства и дисперсия и = 45,7 возраста нарушителя. Значимо ли различие средних? Принять уровень значимости равным α = 0,05.

Решение

Воспользуемся критерием Стьюдента. В случае с незначительно отличающимся размером выборки применяется упрощённая формула приближенных расчётов:

 

Табличное значение t_крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное суждение в пяти случаях из ста (уровень значимости 5% или 0,05).

В эксперименте t = 0,76, табличное t=2,1, 2,1 > 0,76, откуда следует вывод, что гипотеза о значимости различий средних может быть отклонена.

 

Задача 55

Составить математическую модель линейной производственной задачи, в которой матрица удельных затрат А, вектор объемов ресурсов В  и вектор дельной прибыли С  при возможном выпуске двух видов  продукции с использованием трех видов сырья таковы:

Решение

Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции первого и второго вида. Прибыль при таком плане выпуска будет равна

L = 2x₁ + 3x₂

Ограничения по запасам сырья могут  быть выражены системой неравенств:

Математическая модель задачи:

L = 2x₁ + 3x₂

 

Это задача линейного программирования, которую можно решить графическим  методом:

 

 

Заштрихованный многоугольник  показывает множество допустимых решений. Построим вектор-градиент N = (2; 3). Для нахождения оптимального плана построим линию нулевого уровня 2х₁ + 3х₂ = 0 – красная линия на графике – и будем передвигать ее параллельно самой себе в направлении вектора N. Оптимальная точка находится в точке пересечения прямых   и . Это точка х*(4; 8), соответственно максимальная прибыль равна L_max = 2 * 4 + 3 * 8 = 32

 

Задача 65

Составить оптимальный план перевозок, при  котором транспортные издержки минимальны. Стоимость перевозки единицы  груза, его запасы (первый столбец) и  потребности в нем (первая строка) указаны в следующей таблице:

	40	20	10	30
30	10	8	12	11
60	9	6	3	5
10	7	4	1	2

Решение

Примем  некоторые обозначения:

i - индекс строки

j - индекс столбца

m - количество поставщиков

n - количество потребителей

X_i,j - перевозка между поставщиком A_i и потребителем B_j.

D_i,j - ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j.

Исходная  таблица:

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 0	8 0	12 0	11 0	30
A2	9 0	6 0	3 0	5 0	60
A3	7 0	4 0	1 0	2 0	10
Потребность	40	20	10	30

 

 

 

Транспортная  задача имеет закрытый тип, так как  суммарный запас груза равен  суммарным потребностям.

Находим опорный план для задачи с ограничениями.

Введем  некоторые обозначения:

A_i^* - излишек нераспределенного груза от поставщика A_i

B_j^* - недостача в поставке груза потребителю B_j

D_i,j - ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (3,3).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₃^*=10, B₃^*=10

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,4).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=60, B₄^*=30

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,2).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=30, B₂^*=20

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,1).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=10, B₁^*=40

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (1,1).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₁^*=30, B₁^*=30

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	3	5 30	60
A3	7	4	1 10	2	10
Потребность	40	20	10	30

 

Целевая функция F=670

Решаем  задачу c ограничениями методом потенциалов:

Этап 1

Так как  суммарная величина нераспределенного 0, то текущий план является опорным  планом транспортной задачи с ограничениями.

Этап 2

Опорный план является вырожденным, так как  число занятых клеток, удовлетворяющих  условию 0 < X_i,j < D_i,j меньше, чем m+n-1=6.  
Перечислим эти клетки: (1,1) (2,1) (2,2) (2,4) (3,3)

Сделаем план невырожденным, добавляя (в случае X_i,j = 0) или отнимая (в случае X_i,j = D_i,j) бесконечно малые, не равные между собой фиктивные перевозки. в клетки с координатами (i,j): (3,4)

Введение  в план фиктивных перевозок необходимо для избежания зацикливания в  ходе решения задачи. При их введении будем модифицировать потребности/запасы груза соответствующих потребителей/поставщиков  для сохранения баланса между  запасами/потребностями

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	3	5 30	60
A3	7	4   M	1 10	2 e	10
Потребность	40	20	10	30

 

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_i,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки. 
Потенциалы U_i: U₁=0

V₁=C_1,1-U₁= 10

U₂=C_1,2-V₁= -1

V₂=C_2,2-U₂= 7

V₄=C_2,4-U₂= 6

U₃=C_4,3-V₄= -4

V₃=C_3,3-U₃= 5

Определяем  значения оценок S_i,j=C_i,j-(V_j-U_i) для всех свободных клеток: 
Для случая X_i,j = 0 условие оптимальности оценки S_i,j определяется следующим образом: S_i,j >=0.

Для случая X_i,j = D_i,j условие оптимальности оценки S_i,j определяется следующим образом: S_i,j <=0.

оценки S_i,j для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_i,j = 0 (неоптимальные выделены курсивом)

S_1,2 = c_1,2 - (v₂ + u₁) = 1.

S_1,3 = c_1,3 - (v₃ + u₁) = 7.

S_1,4 = c_1,4 - (v₄ + u₁) = 5.

S_2,3 = c_2,3 - (v₃ + u₂) = -1.

S_3,1 = c_3,1 - (v₁ + u₃) = 1.

S_3,2 = c_3,2 - (v₂ + u₃) = 1.

Если  имеются неоптимальные оценки и  для случая X_i,j = 0, и для случая X_i,j = D_i,j, то наиболее потенциальной(неоптимальной) из них считается максимальная по модулю оценка. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наиболее неоптимальным значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее потенциальной является клетка (2,3). Для нее оценка равна -1.

Строим  для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	+ 3	- 5 30	60
A3	7	4	- 1 10	+ 2 e	10
Потребность	40	20	10	30