Контрольная работа по "Статистике". 213

Задание 1

1. Представить динамический ряд графически;
2. Построить модель динамики исследуемого показателя, применив для аппроксимации линейную, параболическую и гиперболическую зависимости;
3. Выполнить оценку построенных моделей на адекватность и надежность, а также выбрать наилучшую;
4. Изобразить графически модель, которая признанна наилучшей;
5. Составить прогноз показателя на 2 года.

X- годы, Y-экономический показатель.

 

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Объем реализации горюче-смазочных  материалов	54	74	73	86	89	92	113

 

Решение

Графическое представление динамического  ряда.

 

Данные таблицы и графика  показывают, что реализация материалов постоянно возрастала, хотя происходило  это неравномерно. Очевидно, существует ряд факторов, под влиянием которых  изменяется величина реализации.

Отсчет временного показателя Х будем начинать с 1.

 

Выравнивание по прямой.

Общая тенденция выражается уравнением .

Коэффициенты a и b определяются из системы:

 

Выравнивание по параболе

Общая тенденция выражается уравнением .

Система уравнений для нахождения параметров уравнения будет иметь  вид:

 

Выравнивание по гиперболе.

Общая тенденция выражается уравнением .

Коэффициенты a и b определяются из системы:

 

Все вспомогательные расчеты для  решения систем оформим в виде таблицы.

x	y	xy	x2	x3	x2y	x4	y/x	1/x	1/x2
1,000	54,000	54,000	1,000	1,000	54,000	1,000	54,000	0,500	1,000
2,000	74,000	148,000	4,000	8,000	296,000	16,000	37,000	0,333	0,250
3,000	75,000	225,000	9,000	27,000	675,000	81,000	25,000	0,250	0,111
4,000	86,000	344,000	16,000	64,000	1376,000	256,000	21,500	0,200	0,063
5,000	89,000	445,000	25,000	125,000	2225,000	625,000	17,800	0,167	0,040
6,000	92,000	552,000	36,000	216,000	3312,000	1296,000	15,333	0,143	0,028
7,000	113,000	791,000	49,000	343,000	5537,000	2401,000	16,143	0,036	0,020
28,000	583,000	2559,000	140,000	784,000	13475,000	4676,000	186,776	2,129	1,512

 

Исходя из построенной таблицы, записываем для линейной модели систему.

  Из системы находим a=50.86, b=8.11. Следовательно, линейная модель будет представлена в виде

Для параболической модели.

Из системы находим a=50.71, b=8.2, с=-0,01 Следовательно, линейная модель будет представлена в виде

Для гиперболической модели.

  Из системы находим a=76,4, b=-2,92. Следовательно, линейная модель будет представлена в виде

 

Адекватность математической модели может быть установлена при помощи средней ошибки аппроксимации.

, где

Y_ф – первичные значения показателя;

Y_т – значения показателя, найденные из уравнения.

 

Выбор наилучшей модели можно произвести на основе остаточного среднеквадратического  отклонения.

, где l – количество параметров в уравнении.

 

Расчеты для линейной функции

x	yф	yт	|уф-ут|	k	(уф-ут)2
1,000	54,000	54,970	0,970	0,084	0,831
2,000	74,000	74,080	0,080	0,083	0,064
3,000	75,000	75,190	0,190	0,003	0,036
4,000	86,000	83,300	2,700	0,025	7,290
5,000	89,000	91,410	2,410	0,026	5,808
6,000	92,000	92,520	0,520	0,026	0,27
7,000	113,000	113,630	0,370	0,050	0,121
∑				0,297	14,42

 Тогда  ,  

 

Расчеты для параболической  функции

x	yф	yт	|уф-ут|	k	(уф-ут)2
1,000	54,000	58,900	4,900	0,083	24,010
2,000	74,000	67,080	6,920	0,103	47,886
3,000	75,000	75,190	0,190	0,003	0,036
4,000	86,000	83,300	2,700	0,032	7,290
5,000	89,000	91,410	2,410	0,026	5,808
6,000	92,000	99,520	7,520	0,076	56,550
7,000	113,000	107,630	5,370	0,050	28,837
∑				0,373	170,418

 Тогда  ,   т.к. , модель является неадекватной, следовательно, для нее рассчитываться не будет.

 

Расчеты для гиперболической  функции

x	yф	yт	|уф-ут|	k	(уф-ут)2
1,000	54,000	58,900	16,480	0,234	271,590
2,000	74,000	67,080	0,560	0,008	0,314
3,000	75,000	75,190	0,573	0,008	0,329
4,000	86,000	83,300	11,080	0,148	122,766
5,000	89,000	91,410	13,784	0,183	189,999
6,000	92,000	99,520	16,587	0,220	275,118
7,000	113,000	107,630	37,446	0,496	1402,182
∑				1,296	2262,297

 

 Тогда , т.к. , модель является неадекватной, следовательно, для нее рассчитываться не будет.

Единственной адекватной моделью  является линейная модель.

Изобразим на графике линейную модель.

 

 

Составим прогноз показателя на 2 года

Определим доверительный интервал для прогноза

t_α- значение критерия Стьюдента при уровне значимости α

Т.к. α=0.05, t_α=2.57

Δ=2.57*1,7=4,37

Тогда 113-4,37≤y_пр1≤113+4,37;

108,63≤y_пр1≤117,37- на первый год

Аналогично на 2-й год 108,63-4,37≤y_пр2≤117,37+4,37;

104,26≤y_пр2≤121,63- на второй год

 

               

 

Задание 2

1. Данные задачи 1 проверить на наличие автокорреляции данных.
2. Наилучшую модель, которая построена в задаче 1, проверить на наличие автокорреляции остатков.

 

Решение

Уровень автокорреляции определяется с помощью нециклического коэффициента автокорреляции первого порядка, который  равняется четному коэффициенту корреляции между исходным временным  рядом и рядом, смещенным на один период:

 

 

Все необходимые расчеты выполним в таблице

yi	yi+1	yi2	yi+12	yi*yi+1
54	74	2916	5476	3996
74	75	5476	5625	5550
75	86	5625	7396	6450
86	89	7396	7921	7654
89	92	7921	8464	8188
92	113	8464	12769	10396
∑ 470	529	37798	47651	42234

 

Тогда

Такое значение коэффициента корреляции говорит о наличии отрицательной  автокорреляции данных.

Для того, чтоб сделать вывод о  наличии автокорреляции в исследуемом  динамическом ряду фактическое значение коэффициента сравнивают с критическим.

Находим критическое значение автокорреляции. , поскольку выполняется условие , то можно считать, что автокорреляция находится в допустимых пределах и можно говорить об ее отсутствии.

 

Автокорреляция в остатках – это корреляционная зависимость между значениями остатков  за текущий и предыдущий моменты времени.

Автокорреляция остатков может  быть вычислена по формулам:

, где

ε_i = y_фі-у_ті

 

Для того, чтоб рассчитать d-статистику построим таблицу

 

	уфі	уті	εi	εі-1	εі2	(εi- εі-1)	(εi- εі-1)2
	54,00	54,97	-0,97		0,94
	74,00	72,90	1,10	-0,97	1,21	2,07	4,28
	75,00	75,19	-0,19	1,10	0,04	-1,29	1,66
	86,00	83,30	2,70	-0,19	7,29	2,89	8,35
	89,00	94,90	-5,90	2,70	34,81	-8,60	73,96
	92,00	93,00	-1,00	-5,90	1,00	4,90	24,01
	113,00	113,63	-0,63	-1,00	0,40	0,37	0,14
Сумма	583,00	587,89	-4,89	-4,26	45,68	0,34	112,41

 

Находим d-статистику .

Из таблиц Дарбина-Уотсона находим верхние и нижние пределы автокорреляции при 5%- уровне значимости.

d_н(7;1;0.05)=0.7, a d_в(7;1;0.05)=1,36.

Поскольку выполняется  неравенство d_в<d<4-dв, то принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков.

                                                  

                                                                                                                            

 

Задание 3

Проверить факторы x1, x2, x3 на наличие мультиколлинеарности.

Y	8.17	8.7	6.9	8.38	5.71	7.4	9.7
Х1	0.45	0.57	0.71	0.46	0.46	0.78	0.76
Х2	1.25	0.99	1.47	1.09	1.53	0.28	1.45
Х3	8.24	9.72	7.64	8.26	7.92	8.14	3.94

 

Решение

Найдем корреляционную матрицу. Эта  матрица симметрична. В нашем  случае она имеет размер 3х3.

Корреляционная матрица имеет вид:

,

где r_ij – вычисляется по формуле

, где

,  ,  .

 

Все промежуточные вычисления будем выполнять в таблице.

	х1	х2	х3	х12	х22	х32	х1х2	х1х3	х2х3
1	0,45	1,25	8,24	0,20	1,56	67,90	0,56	3,71	10,30
2	0,57	0,99	9,72	0,32	0,98	94,48	0,56	5,54	9,62
3	0,71	1,47	7,64	0,50	2,16	58,37	1,04	5,42	11,23
4	0,46	1,09	8,26	0,21	1,19	68,23	0,50	3,80	9,00
5	0,46	1,53	7,92	0,21	2,34	62,73	0,70	3,64	12,12
6	0,78	0,28	8,14	0,61	0,08	66,26	0,22	6,35	2,28
7	0,76	1,45	3,94	0,58	2,10	15,52	1,10	2,99	5,71
∑	4,19	8,06	53,86	2,64	10,41	433,48	4,70	31,46	60,27

 

В нашем случае n=7, тогда

                                         

                                       

                                

Рассчитываем среднеквадратические отклонения.

Найденные значения подставляем  в формулы для коэффициентов  корреляции.

Для данной задачи корреляционная матрица имеет вид:

 

 

Находим определитель корреляционной матрицы R:

 

Находим χ²- статистику по формуле:

В нашем случае количество опытов n=7, число факторов m=3 поэтому:

При степени свободы  и уровне значимости находим из таблиц теоретическое значение .

Поскольку , то можно считать, что мультиколинеарность отсутствует.

 

 

Проверим,  коррелируют ли переменные друг с другом. Определяем матрицу, обратную корреляционной:

По распределению Фишера находим критическое значение F-статистики. 

Находим значение  F-статистики для каждой пары переменных по формуле:

Х₁-Х₁: .  Так как  F₁₁<F_теор, то переменная Х₁ сама с собой не коррелирует.

X₂-X₂: .  Так как  F₂₂<F_теор, то переменная X₂ сама с собой не коррелирует.

 

X₃-X₃: .  Так как  F₃₃<F_теор, то переменная X₃ сама с собой не коррелирует.

Х₁-X₂: . Так как F₁₂<F_теор, то переменные Х₁ и X₂  между собой не коррелируют.

X₁-X₃:  .  Так как  F₁₃<F_теор, то переменные X₁ и X₃ между собой не коррелируют.

X₂-X₃: .  Так как  F₂₃<F_теор, то переменные X₂ и X₃ между собой не коррелируют.

 

 

Найдем частичные коэффициенты корреляции.

Выпишем ранее найденные парные коэффициенты корреляции:

Сравним полученные частичные коэффициенты корреляции с  соответствующими им парными: т.е. частичные коэффициенты не равны парными коэффициентам, то можно сделать вывод о том, что мультиколлинеарность между переменными не существует.

 

 

Рассчитаем значение t-статистики:

 

Табличное значение t-статистики при 7 степенях свободы и уровне значимости 0,05 равняется 2,365. Ни одно из рассчитанных фактических значений t_ij не превышает теоретическое, следовательно можно говорить об отсутствии мультиколлинеарности между переменными.

 

Задание 4

1 Построить двухфакторную линейную  модель взаимосвязи у от факторов, которые выбранные в предшествующей  задаче.

2 Привести статистические характеристики оценивания количества параметров модели

 

 

Решение

Построим эконометрическую модель, которая характеризует зависимость Y от факторов Х₁ и Х₂.

Общий вид уравнения множественной регрессии: =b₀+b₁·x₁+b₂·x₂, где

- теоретические значения показателя;

b₀, b₁, b₂ – находится как решение системы линейных уравнений.

 

Вспомогательные вычисления будем  проводить в таблице.

х1	х2	y	x12	x22	x1x2	x1y	x2y
0,45	1,25	8,17	0,20	1,56	0,56	3,68	10,21
0,57	0,99	8,70	0,32	0,98	0,56	4,96	8,61
0,71	1,47	6,90	0,50	2,16	1,04	4,90	10,14
0,46	1,09	8,38	0,21	1,19	0,50	3,85	9,13
0,46	1,53	5,71	0,21	2,34	0,70	2,63	8,74
0,78	0,28	7,40	0,61	0,08	0,22	5,77	2,07
0,76	1,45	9,70	0,58	2,10	1,10	7,37	14,07
∑ 4,19	8,06	54,96	2,64	10,41	4,70	33,16	62,98

 

Тогда система для определения  параметров модели

Отсюда b₀=6.75, b₁=1.93, b₂=-0.05

Уравнение регрессии будет иметь  вид: =6,75+1,93·x₁-0,05·x₂

 

Множественный коэффициент корреляции R равняется коэффициенту корреляции между фактическими и теоретическими значениями исследуемой переменной. Его вычисляют по формуле.

Для вычисления множественного коэффициента корреляции целесообразно использовать таблицу.

 

 

 

x1	x2	y		y2
0,45	1,25	8,17	7,56	66,75	57,09	61,73
0,57	0,99	8,70	7,80	75,69	60,85	67,87
0,71	1,47	6,90	8,05	47,61	64,75	55,52
0,46	1,09	8,38	7,58	70,22	57,51	63,55
0,46	1,53	5,71	7,56	32,60	57,17	43,18
0,78	0,28	7,40	8,24	54,76	67,92	60,99
0,76	1,45	9,70	8,14	94,09	66,33	79,00
∑  4,19	8,06	54,96	54,93	441,73	431,62	431,83

 

Тогда множественный коэффициент  корреляции равняется.

Чем ближе R к единице, тем лучше данная модель описывает фактические данные. Рассчитанное значение коэффициента указывает на точное соответствие математической модели фактическим данным.

 

Коэффициент детерминации R² равняется квадрату множественного коэффициента корреляции. Он определяет часть общей дисперсии относительно среднего .

В нашем случае R²=0,91²=0,832, т.е 83,2% дисперсии показателя Y  можно объяснить при помощи построенной модели зависимости от х₁ и х₂.

 

Доверительный интервал для множественного коэффициента корреляции определяется по формуле

, где

По таблицам Стьюдента находим  критическую точку t_кр(7-2-1, 0,05)=2,776, поэтому

Тогда доверительный интервал для R будет иметь вид:

0,91-0,23≤R_ф≤0,91+0,23 или 0,68≤R_ф≤1,14. Поскольку коэффициент множественной корреляции должен находится в пределах от 0 до 1, то доверительным интервалом для него будет 0,68≤R_ф≤1.

 

Проверка значимости уравнения регрессии осуществляется следующим образом: по критерию Фишера вычисляется фактическое значение F-статистики.

По таблице критических точек  Фишера находим критическое значение F-статистики.

F_кр(n-m-1,m,α)= F_кр(4;2;0,05)=6,09

Поскольку F>F_кр, то уравнение регрессии является значимым и коэффициент множественной корреляции существенно отличается от 0.

 

Экономическое значение параметра b_i регрессии. Если фактор Х_i, изменить на 1 единицу своего измерения, то показатель Y изменится на b_i единиц своего измерения при условии, что остальные факторы остаются без изменения.

Поскольку b₁=1.93, то если фактор х₁ увеличить (уменьшить) на 1, то показатель Y увеличится (уменьшится) на 1.93 единиц.

Поскольку b₂=-0,05, то если фактор х₂ увеличить (уменьшить) на 1, то показатель Y уменьшится (увеличится) на 0,05 единиц.

 

Коэффициент эластичности результативного показателя по факторам определяется по формуле:

.

Согласно с моделью  =6,75+1,93·x₁-0,05·x₂, где

Т.е если Х₁ увеличится (уменьшится) на 1%, то Y увеличится (уменьшится) на 15%, а если Х₂ увеличится (уменьшится) на 1%, то Y уменьшится (увеличится) на 0,7%.

 

Задание 5

1. Учитывая мнение второго и пятого экспертов провести анализ методом ранговой корреляции.
2. На втором этапе учесть мнение всех экспертов и провести соответствующий анализ.

 

Ф Е	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	9	10	1	8	7	3	2	4	5	6
2	2	5	3	6	9	7	4	1	8	10
3	10	6	5	7	1	4	9	8	3	2
4	1	9	10	3	2	8	4	7	6	5
5	10	9	7	5	4	6	2	1	3	8