Контрольная работа по "Статистике". 502

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный экономический  университет»

 

 

 

Кафедра исследования операций в экономике 

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

 

 

Контрольная работа № __ по дисциплине

 

 

СТАТИСТИКА

 

 

 

Выполнил:

студент  курса _______ группа 

 

N зачетной книжки _________ Дата: ____________________

 

____________________________             __________________________

                          (Подпись)                                           (И.О. Фамилия)

Проверил:

Преподаватель: __________________________________________

                                                                              (должность,  уч. степень, уч. звание)

______________________________________________________

(Подпись)      (И.О. Фамилия)

 

Оценка: Дата: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург  
2013

 

 

Задание 1.

По данным таблицы №1 «Макроэкономические  показатели европейских стран» построить структурную (вариационную) группировку. Количество групп взять равно 6. По этим же данным построить графики распределения (кумуляту и гистограмму).

 

Таблица № 1.1 Макроэкономические показатели европейских стран.

 

Страна	Располагаемый доход (млн. евро)
Македония	18 360
Эстония	18 957
Литва	19 574
Болгария	21 116
Словения	28 316
Хорватия	28 781
Люксембург	28 947
Словакия	36 260
Румыния	63 600
Венгрия	85 494
Чехия	93 836
Португалия	145 439
Финляндия	156 672
Ирландия	158 469
Исландия	167 184
Кипр	169 050
Греция	191 238
Дания	201 888
Латвия	202 540
Польша	211 623
Норвегия	213 960
Бельгия	229 581
Австрия	239 473
Швеция	297 178
Швейцария	299 701
Турция	341 014
Нидерланды	501 236
Испания	871 440
Италия	1 399 241
Франция	1 691 666
Великобритания	1 761 229
Германия	2 227 940

 

Построим структурную (вариационную) группировку:

 

Число групп:

 

n = 6

 

Размах вариации:

 

R = X_max - X_min = 2 227 940 - 18 360 = 2 209 580 млн. евро

 

 

Величина интервала:

 

∆ = = = 368 263 млн. евро

 

Таблица № 1.2 Структурная (вариационная) группировка.

 

Структурная (вариационная) группировка
Располагаемый доход (млн. евро)			Число стран
18 360	-	386 623	26
386 623	-	754 887	1
754 887	-	1 123 150	1
1 123 150	-	1 491 413	1
1 491 413	-	1 859 677	2
1 859 677	-	2 227 940	1
Всего			32

 

Вывод: Располагаемый доход наибольшего  числа стран находится в интервале 18 360 – 386 623 млн. евро

 

Построим графики распределения:

 

Частость:

g =

Накопленная частота:

 

_{F1 = f1}

_{Fi = Fi-1+fi}

 

 

Накопленная частость:

 

_{G1 = g1}

_{Gi = Gi-1+gi}

 

Таблица № 1.2 Построение гистограммы и кумуляты распределения.

 

Интервал			Частотаf	Частость g	Накопленная частота F	Накопленная частость G
Располагаемый доход (млн. евро)			Число стран
18 360	-	386 623	26	0,81	26	0,81
386 623	-	754 887	1	0,03	27	0,84
754 887	-	1 123 150	1	0,03	28	0,88
1 123 150	-	1 491 413	1	0,03	29	0,91
1 491 413	-	1 859 677	2	0,06	31	0,97
1 859 677	-	2 227 940	1	0,03	32	1
Всего			32	1,00

 

 

 

 

 

Задание 2.

По равноинтервальной группировке рассчитать среднее арифметическое, медиану и моду. По этим же данным измерить вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

 

Среднее арифметическое:

 

Таблица № 2.1 Расчет середины интервала.

Располагаемый доход (млн. евро)			Середина интервала (млн. евро)	Число стран
18 360	-	386 623	202 491,67	26
386 623	-	754 887	570 755,00	1
754 887	-	1 123 150	939 018,33	1
1 123 150	-	1 491 413	1 307 281,67	1
1 491 413	-	1 859 677	1 675 545,00	2
1 859 677	-	2 227 940	2 043 808,33	1
Всего				32

 

 

= = 421 148,02 млн. евро

 

 

 

 

Медиана:

По    графе    накопленных   частот   определяется   медианный интервал.  Он  содержит  16-ую  статистическую  единицу,  которая находятся  в группе 1.

Me = + ∆ *

где:

  - нижняя граница  медианного интервала, 

∆   - ширина медианного интервала,

F – объем статистической совокупности,

- накопленная  частота предмедианного интервала, 

  - частота  медианного интервала.

 

Me = 244 983,59 млн. евро

 

Вывод: У первых 16 стран располагаемый доход менее 244 983,59 млн. евро.

 

Мода:

Максимальная  частота f = 26, она соответствует первой группе, следовательно, модальным является интервал с границами 18 360 – 386 623.

 

Mo = + ∆ *

 

где:

  - нижняя граница  медианного интервала, 

∆   - ширина медианного интервала,

 – абсолютная    плотность    распределения        модального интервала,

- абсолютная   плотность   распределения      предмодального интервала,

  - абсолютная   плотность   распределения      послемодального интервала.

 

Mo = 401 353,87 млн. евро

 

Вывод: Наиболее часто в совокупности встречаются страны с располагаемым доходом около  401 353,87 млн. евро.

 

Измерим вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

 

Размах вариации:

 

R = X_max - X_min = 2 227 940 - 18 360 = 2 209 580 млн. евро

 

 

Дисперсия:

Расчет ведется на основе таблицы 2.1

σ² = = 253 091 575 973,86 млн. евро

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

σ = = 503 082,08 млн. евро

 

Коэффициент вариации:

 

V = * 100% = 119% => совокупность неоднородная.

 

Задание 3.

 

По данным таблицы №1.1 «Макроэкономические показатели европейских стран», с вероятностью 0,95 определить доверительный интервал для генеральной средней, считая эти данные собственно-случайной повторной выборкой. Определить, как изменится доверительный интервал, если вероятность увеличится до 0,99?  Сделать необходимый расчет.

Какую по объему выборку надо иметь, чтобы погрешность (ошибку) в доверительном интервале  можно было бы уменьшить в 2 раза относительно её первоначального значения (вероятность 0,95).  

σ² = 253 091 575 973,86 млн. евро

 

  = 421 148,02 млн. евро

 

Средняя ошибка собственно-случайной выборки при повторном отборе рассчитывается по формуле:

 

µ = = = 88 933,19 млн. евро

 

Предельная  ошибка выборки:

 

Δ = µ * t = 88 933,19 * 1,96 = 174 309,05 млн. евро

 

t – коэффициент доверия, для вероятности 0,95 t = 1,96

 

С доверительной вероятностью 0,95 пределы  доверительного интервала для средней  величины равны:

 

= 421 148,02 ± 174 309,05

 

Доверительный интервал [246 838,97 ; 595 457,07]

 

Вывод: Среднее значение признака Располагаемый доход будет находиться в интервале [246 838,97 ; 595 457,07] млн. евро с вероятностью 0,95

 

При увеличении вероятности до 0,99, коэффициент доверия составит 2,58, тогда:

Предельная  ошибка выборки:

 

Δ = µ * t = 88 933,19 * 2,58 = 229 447,62 млн. евро

 

С доверительной вероятностью 0,99 пределы  доверительного интервала для средней  величины равны:

 

= 421 148,02 ± 229 447,62

 

Доверительный интервал [191 700,40 ; 650 595,64]

 

Вывод: При увеличении вероятности  до 0,99, доверительный интервал увеличится.

 

Если ошибка в доверительном интервале уменьшилась в 2 раза:

Δ = 87 154,52

 

 

n =

 

n = = 128

 

Вывод: для снижения ошибки в доверительном  интервале в два раза необходимо увеличить объем выборки до 128 стран.

 

 

Задание 4.

 

Построить аналитическую группировку на основе двух признаков. Построить парное линейное уравнение связи между признаками. Оценить тесноту связи с помощью эмпирического корреляционного отношения и коэффициента корреляции. Проверить на значимость найденные параметры и регрессионную модель. По полученному уравнению рассчитать прогноз значения У при условии, что величина Х будет на 20% выше своего максимального выборочного значения. (Вероятность 0,95).

 

Таблица № 4.1 Макроэкономические показатели европейских стран.

 

Страна	Располагаемый доход (млн. евро) x	Расходы на образование (млн. евро) y
Македония	18 360	190
Эстония	18 957	658
Литва	19 574	1 680
Болгария	21 116	1 724
Словения	28 316	1 849
Хорватия	28 781	817
Люксембург	28 947	765
Словакия	36 260	2 226
Румыния	63 600	4 005
Венгрия	85 494	5 932
Чехия	93 836	5 812
Португалия	145 439	8 819
Финляндия	156 672	7 169
Ирландия	158 469	4 315
Исландия	167 184	464
Кипр	169 050	748
Греция	191 238	6 554
Дания	201 888	11 426
Латвия	202 540	1 017
Польша	211 623	19 513
Норвегия	213 960	10 319
Бельгия	229 581	15 059
Австрия	239 473	11 509
Швеция	297 178	15 218
Швейцария	299 701	10 886
Турция	341 014	13 066
Нидерланды	501 236	20 289
Испания	871 440	33 452
Италия	1 399 241	64 530
Франция	1 691 666	78 220
Великобритания	1 761 229	61 841
Германия	2 227 940	85 178

 

Построим аналитическую группировку:

Таблица № 4.2 Аналитическая группировка.

 

Аналитическая группировка
Располагаемый доход (млн. евро)			Середина интервала	Число стран	Средние по группе расходы на образование (млн. евро)
18 360	-	28 781	23 570,50	6	1 153
28 947	-	93 836	61 391,50	5	3 748
145 439	-	191 238	168 338,50	6	4 678
201 888	-	229 581	215 734,50	5	11 467
239 473	-	501 236	370 354,50	5	14 194
871 440	-	2 227 940	1 549 690,00	5	64 644
Всего				32

Произведем необходимые в дальнейшем расчеты.

Таблица № 4.3 Расчеты для построения парного линейного уравнения.

 

Страна	Располагаемый доход (млн. евро) x	Расходы на образование (млн. евро) y	x2	y2	xy
Македония	18 360	190	337 089 600	36 100	3 488 400
Эстония	18 957	658	359 367 849	432 964	12 473 706
Литва	19 574	1 680	383 141 476	2 822 400	32 884 320
Болгария	21 116	1 724	445 885 456	2 972 176	36 403 984
Словения	28 316	1 849	801 795 856	3 418 801	52 356 284
Хорватия	28 781	817	828 345 961	667 489	23 514 077
Люксембург	28 947	765	837 928 809	585 225	22 144 455
Словакия	36 260	2 226	1 314 787 600	4 955 076	80 714 760
Румыния	63 600	4 005	4 044 960 000	16 040 025	254 718 000
Венгрия	85 494	5 932	7 309 224 036	35 188 624	507 150 408
Чехия	93 836	5 812	8 805 194 896	33 779 344	545 374 832
Португалия	145 439	8 819	21 152 502 721	77 774 761	1 282 626 541
Финляндия	156 672	7 169	24 546 115 584	51 394 561	1 123 181 568
Ирландия	158 469	4 315	25 112 423 961	18 619 225	683 793 735
Исландия	167 184	464	27 950 489 856	215 296	77 573 376
Кипр	169 050	748	28 577 902 500	559 504	126 449 400
Греция	191 238	6 554	36 571 972 644	42 954 916	1 253 373 852
Дания	201 888	11 426	40 758 764 544	130 553 476	2 306 772 288
Латвия	202 540	1 017	41 022 451 600	1 034 289	205 983 180
Польша	211 623	19 513	44 784 294 129	380 757 169	4 129 399 599
Норвегия	213 960	10 319	45 778 881 600	106 481 761	2 207 853 240
Бельгия	229 581	15 059	52 707 435 561	226 773 481	3 457 260 279
Австрия	239 473	11 509	57 347 317 729	132 457 081	2 756 094 757
Швеция	297 178	15 218	88 314 763 684	231 587 524	4 522 454 804
Швейцария	299 701	10 886	89 820 689 401	118 504 996	3 262 545 086
Турция	341 014	13 066	116 290 548 196	170 720 356	4 455 688 924
Нидерланды	501 236	20 289	251 237 527 696	411 643 521	10 169 577 204
Испания	871 440	33 452	759 407 673 600	1 119 036 304	29 151 410 880
Италия	1 399 241	64 530	1 957 875 376 081	4 164 120 900	90 293 021 730
Франция	1 691 666	78 220	2 861 733 855 556	6 118 368 400	132 322 114 520
Великобритания	1 761 229	61 841	3 101 927 590 441	3 824 309 281	108 916 162 589
Германия	2 227 940	85 178	4 963 716 643 600	7 255 291 684	189 771 473 320
Итого	12 121 003	505 250	14 662 102 942 223	24 684 056 710	594 046 034 098
Среднее	378 781	15 789	458 190 716 944		18 563 938 566
Дисперсия σ2	74 853 006 933,96
Ср кв отклонение σ	273 592,78

 

 

 

 

Парное линейное уравнение имеет  вид:

 

y = a + b*x

 

 

Что бы определить переменные a и b, составим систему нормальных уравнений:

a*n + b* =

a * + b* =

 

В данном случае система будет иметь  вид:

32a + b* =

a * + b* =

 

Решаем систему уравнений через  систему определителей второго  порядка:

a =

b =

Δ = n* = 322 268 580 425 127,00 млн. евро

 

= * – * 207 593 750 118 211 000,00 млн. евро

 

n*– - * = 12 885 336 325 386,00 млн. евро

 

a = 644,16

b = 0,04

 

Составляем парное линейное уравнение

 

= 644,16 +0,04*x

После подстановки в уравнение  фактических значений фактора , получим расчетные значения результата .

 

Оценка тесноты связи:

Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по фрмуле:

 

 

 

Вывод: Так как значение показателя корреляции равен 0,98, связи весьма тесная.

 

Коэффициент детерминации = 0,96

Вывод: Расходы на образование на 98% зависят от дохода страны и на 2% от всех прочих причин.

Проверим надежность построенной  регрессионной модели методом дисперсионного анализа.

Для этого необходимо сравнить два  значения F-критерия: фактическое и табличное.

 

 

 

где   - число факторов в уравнении,

Факторная вариация не может быть в 727,58 раза больше остаточной только за счет случайных факторов.

предельная величина, которая формируется под воздействием случайных причин. Определяется по таблице.

 

 

Так как можно сделать вывод, что построенное уравнение надежно и пригодно для аналитических и прогнозных расчетов.

 

При увеличении максимального выборочного  значения Х на 20 %, прогнозируемая величина У, рассчитывается по формуле:

 

у_р= 644,16 +0,04*x_р = 644,16 + 0,04*2 673 528 = 107 540,43 млн. евро

 

Рассчитаем темп прироста фактора:

 

Δk =

 

Вывод: Прирост располагаемого дохода на 20% вызывает увеличение расходов на образование на 19,86%.

 

Задание 5.

 

Рассчитайте индивидуальные и общие индексы  цены, физического объема и стоимости. Сделайте выводы о произошедших в  текущем периоде изменениях. Рассчитайте абсолютные изменения стоимости, возникшие в результате изменения цен и физического объема. Рассчитайте индексы переменного, фиксированного составов, индекс структурных сдвигов. Сделайте выводы о причинах, приведших к изменению средней цены совокупности товаров. Рассчитайте абсолютные изменения средней цены, объясните их.

 

Таблица 5.1 Данные для расчетов

товары	базисный период		текущий период
	цена (руб.)	количество (шт.)	цена (руб.)	количество (шт.)
1	24	816	24	800
2	38	123	38	120
3	51	456	51	450

 

Индекс - это относительный показатель, показывающий во сколько раз одно значение признака больше или меньше другого.

Индивидуальные индексы:

=

=

=

Общие индексы:

=

 

= – индекс Ласпейроса

- индекс Пааше

=

=

 

На основе расчетов составляем таблицу:

Таблица 5.2 Расчет индивидуальных и  общих индексов

Индивидуальные и общие индексы
	po	qo	p1	q1	ip	iq	poqo	p1q1	p0q1	p1q0	ipq	Ipq
1	24	816	24	800	1	0,980	19584	19200	19200	19584	0,980
2	38	123	38	120	1	0,976	4674	4560	4560	4674	0,976
3	51	456	51	450	1	0,987	23256	22950	22950	23256	0,987
Σ							47514	46710	46710	47514		0,983

 

 =  1

1

= 0,983

= 0,983

Вывод: Объем реализации уменьшился, за счет уменьшения объема производства в 0,983 раза.

 Абсолютные изменения стоимости за счет изменения физического объема реализации:

 

= =

 

=

 

Абсолютные изменения за счет изменения  цен:

 

= =

 

=

 

Абсолютное уменьшение товарооборота  в размере 804 руб. можно представить  следующим образом:

 

 

 

 

На основе абсолютных значений влияния  каждого фактора на общее изменение  товарооборота определяем их вклад  в формирование общего индекса:

• по снижению товарооборота за счет изменения физического объема реализации:

 

 

 

• по снижению товарооборота за счет изменения цен:

 

 

 

Совокупное влияние:

=

 

 

Доля факторов в формировании результатов:

 

 

Вывод: Вклад в формирование общего индекса дает только изменение физического объема реализации.

 

Индекс переменного состава  рассчитывается по формуле:

 

 

 

Вывод: Средняя цена не изменилась.

 

 

Индекс фиксированного состава  рассчитывается по формуле:

 

 

 

Вывод: Так как средняя цена не изменялась, то она и не оказывала  влияния на индекс средней цены.

 

Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:

 

 

 

Вывод: За счет изменения структуры  продукции средняя цена не изменялась.

 

Общий индекс физического объема рассчитаем как среднее арифметическое:

 

 

Вывод: Общая стоимость продукции изменилась в 0,983 раза за счет изменения объема выпускаемой продукции.

 

Общий индекс цен рассчитаем как  среднее гармоническое:

 

 

Вывод: Общая стоимость продукции не изменилась за счет изменения цен.

 

 

 

 

Задание 6.

Рассчитайте следующие показатели, характеризующие  динамику изучаемого явления:

• базисные и цепные абсолютные приросты,
• базисные и цепные темпы роста,
• базисные и цепные темпы прироста,
• средний уровень временного ряда,
• средний абсолютный прирост,
• средний темп роста,
• средний темп прироста.

Найдите параметры уравнения линейного  тренда. Изобразите графически эмпирический временной ряд и линию тренда. Сделайте прогноз уровня временного ряда на 3 года вперед.

 

Таблица №6.1 Динамика объема производства предприятия

Год	Объем производства (тыс. тонн)
1984	1,65
1985	2,59
1986	6,18
1987	6,26
1988	6,44
1989	7,16
1990	10,56
1991	10,93
1993	9,53
1994	10,64
1995	17,43
1996	14,72
1997	15,50
1998	15,01
1999	17,83
2000	18,43
2001	17,69
2002	19,80
2003	22,64
2004	22,86
2005	21,56
2006	22,16
2007	25,82
2008	26,50

Абсолютный прирост равен разности между текущим уровнем и уровнем более раннего периода.

Цепной прирост рассчитывается по формуле:

 

 

где:

 

 

 

Базисный прирост рассчитывается по формуле:

 

 

где:

 

 

Темп роста используется для оценки эффективности изменения уровня динамического ряда.

 

Цепной темп роста рассчитывается по формуле:

 

 

Базисный темп роста рассчитывается по формуле:

 

 

Цепной коэффициент роста рассчитывается по формуле:

 

 

Базисный темп роста рассчитывается по формуле:

 

 

 

Темпы прироста показывают, на сколько процентов изменилась величина уровня динамического ряда за изучаемый период времени.

 

Цепной темп прироста рассчитывается по формуле: