Контрольная работа по "Статистике". 260

Министерство образования  и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО

Уральский Государственный  Экономический Университет

Курсы перепрофилирования

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Статистика»

      

 

 

 

 

                                                            

Исполнитель

Якимова В.Д.                                                                                                                            Руководитель

Каргаполова П.А.                       

     

                        

 

                

 

Каменск-Уральский

2013

Содержание

 

1 Общее понятие о выборочном  наблюдении…………………..………3

2 Виды ошибок…………………………………………………………….6

3 Основные способы отбора……………………………………………...12

4 Примеры…………………………………………………………………15

Список использованной литературы……………………………………22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Общее понятие о выборочном  наблюдении

 

Статистическое наблюдение можно организовать как сплошное и несплошное. Сплошное предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности явления, несплошное – лишь ее части. К несплошному относится и выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение является одним из наиболее широко применяемых  видов несплошного наблюдения. В основе этого наблюдения лежит идея о том, что отобранная в случайном порядке некоторая часть единиц может представлять всю изучаемую совокупность явления по интересующим исследователя признакам. Целью выборочного наблюдения является получение информации прежде всего для определения сводных обобщающих характеристик всей изучаемой совокупности. По своей цели выборочное наблюдение совпадает с одной из задач сплошного наблюдения, и поэтому встает вопрос о том, какое из двух видов наблюдения – сплошное или выборочное – целесообразнее провести.

При решении этого вопроса  необходимо исходить из следующих основных требований, предъявляемых к статистическому  наблюдению:

1. информация должна быть достоверной, т. е. максимально соответствовать реальной действительности;
2. сведения должны быть достаточно полными для решения задач исследования;
3. отбор информации должен быть проведен в максимально сжатые сроки для использования ее в оперативных целях;
4. денежные и трудовые затраты на организацию и проведение должны быть минимальными.

При выборочном наблюдении эти требования обеспечиваются в  большей мере, чем при сплошном. Преимущества этого метода по сравнению со сплошным можно оценить, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода, а именно обеспечение случайности отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет получить такую совокупность единиц, которая представляет всю изучаемую совокупность по интересующим исследователя признакам, т. е. является репрезентативной (представительной).

При проведении выборочного  наблюдения обследуются не все единицы  изучаемого объекта, т. е. не все единицы совокупности, а лишь некоторая специально отобранная часть. Первый принцип отбора– обеспечение случайности – заключается в том, что при отборе каждой из единиц изучаемой совокупности обеспечивается равная возможность попасть в выборку. Случайный отбор – это не беспорядочный отбор, а отбор при соблюдении определенной методики, например осуществление отбора по жребию, применение таблицы случайных чисел и т. д.

Второй принцип отбора – обеспечение достаточного числа отобранных единиц – тесно связан с понятием репрезентативности выборки. Так как любое выборочное наблюдение проводится с определенной целью и четко сформулированными конкретными задачами, то понятие репрезентативности как раз и связано с целью и задачами исследования. Отобранная из всей изучаемой совокупности часть должна быть репрезентативной прежде всего в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.

В выборочном наблюдении используются понятия «генералъная совокупность» – изучаемая совокупность единиц, подлежащая изучению по интересующим исследователя признакам, и«выборочная совокупность» – случайно отобранная из генеральной совокупности некоторая ее часть. К данной выборке предъявляется требование репрезентативности, т. е. при изучении лишь части генеральной совокупности полученные выводы можно применять ко всей совокупности. Характеристиками генеральной и выборочной совокупностей могут служить средние значения изучаемых признаков, их дисперсии и средние квадратические отклонения, мода и медиана и др.

Исследователя могут интересовать и распределения единиц по изучаемым  признакам в генеральной и  выборочной совокупностях. В этом случае частоты называются соответственно генеральными и выборочными.

Система правил отбора и  способов характеристики единиц изучаемой  совокупности составляет содержание выборочного  метода, суть которого состоит в  получении первичных данных при  наблюдении выборки с последующим  обобщением, анализом и их распространением на всю генеральную совокупность с целью получения достоверной  информации об исследуемом явлении.

Репрезентативность выборки  обеспечивается соблюдением принципа случайности отбора объектов совокупности в выборку. Если совокупность является качественно однородной, то принцип случайности реализуется простым случайным отбором объектов выборки. Простым случайным отбором называют такую процедуру образования выборки, которая обеспечивает для каждой единицы совокупности одинаковую вероятность быть выбранной для наблюдения, для любой выборки заданного объема.

Таким образом, цель выборочного  метода – сделать вывод о значении признаков генеральной совокупности на основе информации случайной выборки  из этой совокупности.

2 Ошибки выборочного наблюдения

 

Между признаками выборочной совокупности и признаками генеральной  совокупности, как правило, существует некоторое расхождение, которое  называется ошибкой статистического  наблюдения. При массовом наблюдении ошибки неизбежны, но возникают они  в результате действия различных  причин. Величина возможной ошибки выборочного признака происходит из-за ошибок регистрации и ошибок репрезентативности. Ошибки регистрации, или технические  ошибки, связаны с недостаточной  квалификацией наблюдателей, неточностью  подсчетов, несовершенством приборов и т. п.

Под ошибкой репрезентативности (представительства) понимают расхождение между выборочной характеристикой и предполагаемой характеристикой генеральной совокупности. Ошибки репрезентативности бывают случайными и систематическими. Систематическиеошибки связаны с нарушением установленных правил отбора. Случайные ошибки объясняются недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности.

В результате первой причины  выборка легко может оказаться  смещенной, так как при отборе каждой единицы допускается ошибка, всегда направленная в одну и ту же сторону. Эта ошибка получила название ошибки смещения. Ее размер может превышать величину случайной ошибки. Особенность ошибки смещения состоит в том, что, являясь постоянной частью ошибки репрезентативности, она увеличивается с увеличением объема выборки. Случайная же ошибка с увеличением объема выборки уменьшается. Кроме того, величину случайной ошибки можно определить, тогда как размер ошибки смещения практически определить очень сложно, а иногда и невозможно, поэтому важно знать причины, вызывающие ошибку смещения, и предусмотреть мероприятия по ее устранению.

Ошибки смещения бывают преднамеренные и непреднамеренные. Причиной возникновенияпреднамеренной ошибки является тенденциозный подход к выбору единиц из генеральной совокупности. Чтобы не допустить появление такой ошибки, необходимо соблюдать принцип случайности отбора единиц.

Непреднамеренные ошибки могут возникать на стадии подготовки выборочного наблюдения, формирования выборочной совокупности и анализа ее данных. Чтобы не допустить появление таких ошибок, необходима хорошая основа выборки, т. е. та генеральная совокупность, из которой предполагается производить отбор, например список единиц отбора. Основа выборки должна быть достоверной, полной и соответствовать цели исследования, а единицы отбора и их характеристики должны соответствовать действительному их состоянию на момент подготовки выборочного наблюдения. Нередки случаи, когда в отношении некоторых единиц, попавших в выборку, трудно собрать сведения из-за их отсутствия на момент наблюдения, нежелания дать сведения и т. п. В таких случаях эти единицы приходится заменять другими. Необходимо следить, чтобы замена осуществлялась равноценными единицами.

Случайная ошибка выборки возникает в результате случайных различий между единицами, попавшими в выборку, и единицами генеральной совокупности, т. е. она связана со случайным отбором. Теоретическим обоснованием появления случайных ошибок выборки является теория вероятностей и ее предельные теоремы.

Сущность предельных теорем состоит в том, что в массовых явлениях совокупное влияние различных случайных причин на формирование закономерностей и обобщающих характеристик будет сколь угодно малой величиной или практически не зависит от случая. Так как случайная ошибка выборки возникает в результате случайных различий между единицами выборочной и генеральной совокупностей, то при достаточно большом объеме выборки она будет сколь угодно мала.

Предельные теоремы теории вероятностей позволяют определять размер случайных ошибок выборки. Различают  среднюю (стандартную) и предельную ошибку выборки. Под средней (стандартной) ошибкой выборки понимают такое расхождение между средней выборочной и генеральной совокупностями (~ —), которое не превышает ±. Предельной ошибкой выборки принято считать максимально возможное расхождение (~ —), т. е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

В математической теории выборочного  метода сравниваются средние характеристики признаков выборочной и генеральной совокупностей и доказывается, что с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются. Чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик. На основании теоремы, доказанной П.Л. Чебышевым, величину стандартной ошибки простой случайной выборки при достаточно большом объеме выборки (n) можно определить по формуле

– стандартная ошибка.

Из этой формулы средней (стандартной) ошибки простой случайной  выборки видно, что величина зависит  от изменчивости признака в генеральной  совокупности (чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки) и от объема выборки n (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Академик A.M. Ляпунов доказал, что вероятность появления случайной  ошибки выборки при достаточно большом  ее объеме подчиняется закону нормального  распределения. Эта вероятность  определяется по формуле

В математической статистике употребляют коэффициент доверия  t, значения функции F(t)табулированы при разных его значениях, при этом получают соответствующие уровни доверительной вероятности (табл. 1).

Таблица 1 - Коэффициент доверия t и соответствующие уровни доверительной вероятности

Коэффициент доверия позволяет  вычислить предельную ошибку выборки,

 

т. е. предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки.

Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена  с определенной вероятностью. Как  видно из последней графы табл. 6.1, вероятность появления ошибки равной или большей утроенной  средней ошибки выборки, т. е. 

крайне мала и равна 0,003(1–0,997). Такие маловероятные события  считаются практически невозможными, а потому величину

можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю  арифметическую выборочной совокупности и величину предельной ошибки этой средней, которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная величина может отличаться от генеральной средней в большую или меньшую сторону. Тогда величина генеральной средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница будет равна

Интервал, в который с  данной степенью вероятности будет  заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительным, а вероятность Р – доверительной вероятностью. Чаще всего доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99, тогда коэффициент доверия t равен соответственно 1,96 и 2,58. Это означает, что доверительный интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.

Наряду с абсолютной величиной  предельной ошибки выборки рассчитывается иотносительная ошибка выборки, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

 

Чем больше величина предельной ошибки выборки, тем больше величина доверительного интервала и тем, следовательно, ниже точность оценки. Средняя (стандартная) ошибка выборки  зависит от объема выборки и степени  вариации признака в генеральной  совокупности.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Основные способы  отбора

 

1. Собственно-случайный  отбор (лотерея, жеребьевка, отбор  на основе таблицы случайных  чисел). Он может быть как повторным,  так и бесповторным. Поэтому для  расчета ошибки выборки используются  формулы (1) и (2).

2. Механический  отбор – это когда упорядоченно  расположенные единицы совокупности  отбирают по одной через определенный  интервал, называемый шагом выборки.  Шаг выборки – величина обратная  относительному объему выборки;  например, при 10% - ной выборке равен 10 (100:10), при 4%-ной – 25 (100:4) и т.д.

Механический отбор  всегда бесповторен, поэтому для расчета ошибки выборки используется только формула (2).

3. Типическая выборка  обеспечивает наибольшую репрезентативность, но при этом требует особой  организации своего проведения.

Вначале генеральная  совокупность разбивается на качественно  однородные группы (объединяющие единицы  совокупности по типам явлений), затем  из каждой выделенной группы (выделенного  типа явлений) в случайном порядке  отираются отдельные единицы, как  правило, в объеме, пропорциональном численности единиц по группам в  генеральной совокупности.

Формула расчета  ошибки типического отбора

 

, (3)

 

где   - средняя из внутригрупповых дисперсий.

4. Серийная (гнездовая)  выборка обеспечивает наименьшую  репрезентативность, но при этом  является самым легким, быстрым,  наименее трудоемким, дешевым способом  организации отбора. Здесь из  генеральной совокупности отбирают  не отдельные единицы, а целые  их группы (серии, гнезда). Внутри  отобранной серии производят  сплошное наблюдение.

Ошибка выборки  принимает вид:

 

, (4)

 

 – число серий (гнезда) в генеральной  совокупности;

 – число серий в выборочной совокупности;

 – межгрупповая (межсерийная) дисперсия признака.

 

  Распространение выборочных данных на генеральную совокупность

 

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения  выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность.

Пределы, в которых  находятся значения характеристик  в генеральной совокупности при  заданном уровне вероятности, следующие:

 - для средней; (5)

 - для доли. (6)

Это означает, что  с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной характеристики следует ожидать в этих пределах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Примеры

 

Пример 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 20 дням со средним квадратическим отклонением 7 дней.

Необходимо с  вероятностью P=0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные  пределы в которых будет находится средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпорации с кредиторами.

Решение:

Средняя продолжительность  расчетов предприятий корпорации с  кредиторами находится в пределах

Так как выборка  случайная повторная, то предельная ошибка выборки определяется по формуле (1):

 дня.

И, значит, пределы  средней продолжительности расчетов равны

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя  продолжительность расчетов предприятий  корпорации с кредиторами в коммерческом банке может изменяться от 18,6 дня  до 21,4 дня.

 

Пример 2. Для изучения расхода сырья на единицу продукции

проведена двухпроцентная случайная выборка, в результате которой получены следующие обобщенные данные:

 

Расход сырья  на единицу, г.	Обследовано изделий, шт. (f)
18 – 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 и выше	5 28 52 12 3

 

Определить:

средний расход сырья  на одно изделие;

дисперсию и среднее  квадратическое отклонений;

коэффициент вариации;

с вероятностью 0,954: предельную ошибку выборочной средней  и возможные пределы расхода  сырья для всей партии изделий;

возможные пределы  удельного веса изделий с расходом сырья от 20 до 24 г.

Решение:

Все необходимые расчеты представим в таблице 2.

 
Таблица 2

Расход сырья  на ед.г.	Число изделий, шт.,	Середина интервала, (Х)
А	1	2	3	4	5	6
18-20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26	5 28 52 12 3	19 21 23 25 27	95 588 1196 300 81	-3,6 -1,6 0,4 2,4 4,4	12,96 2,56 0,16 5,76 19,36	64,8 71,68 8,32 69,12 58,08
Итого	100		2260			272,0

 

Средний расход сырья  на одно изделие в выборке равен:

 г.

Вычислим дисперсию  и среднее квадратическое отклонение.

 

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии

Коэффициент вариации:

 %.

Предельная ошибка выборочной средней:

 

Следовательно, границы  генеральной средней будут находиться в пределах

 или 

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что расход сырья  на единицу продукции всей партии может изменяться от 22,273 до 22,927 г.

Ошибка выборочной доли определяется по формуле:

 

 

Сначала определим  выборочную долю (частость):

 или 80 %

Выборка показала, что расход сырья от 20 до 24 граммов  на единицу продукции приходится на 80% изделий. Определим предельную ошибку доли:

 или 7.9 %

С учетом ошибки генеральная  доля ожидается в границах:

 или 

Следовательно, с  вероятностью 0,954 можно утверждать, что во всей партии продукции удельный вес изделий с расходом сырья  от 20 до 24 граммов ожидается в  пределах не менее 72,1 % и не более 87,9 %.

Пример 3. По материалам выборочного обследования 625 семей области получены следующие данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

Семья	Обследовано семей,	Доля расходов на платные услуги, %	Доля расходов на платные услуги, в коэффициентах	Дисперсия доли,
1	2	3	4	5
Городских поселений Сельской местности	500   125	37,0   24,0	0,37   0,24	0,2331   0,1824
	n=625	-	-	-

 

Выборка 2%-ная проведена  по методу типического пропорционального  отбора. В группах применялся механических отбор семей.

С вероятностью 0,954 определить пределы доли расходов на платные услуги жителями области.

Решение:

Доля расходов на платные услуги жителями области  находится в пределах:

. 

Следовательно, для  решения необходимо предварительно определить среднюю долю расходов по 2 группам населения, а затем ее ошибку.

Средняя доля равна:

 

 или 34,4 %.

 

Для расчета ошибки выборки типического отбора надо вычислить среднюю из групповых дисперсий. В графе 5 таблицы 4.2 показан расчет групповых дисперсий доли. Вычислим среднюю из них:

 

.

Теперь вычислим предельную ошибку типической выборки: 

, 3,7%;

 

 или 

Таким образом, можно  с вероятностью 0,954 утверждать, что  доля расходов населения области  на платные услуги ожидается в  пределах не менее 30,7 % и не более 38,1 %.

Аналогично вычисляется  ошибка типической выборки для выборочной средней (для варьирующего признака).

Список использованной литературы

 

Статистика: Учеб. Пособие / А.В.Багат, М.М.Конкина, В.М.Симчера и др.; Под ред. В.М.Симчеры. – М.: Финансы и статистика, 2005. –368 с.

В.М.Гусаров, Е.Н.Кузнецова. Статистика: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007. – 479 с.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В.,Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФА – М, 1998. – 416 с.

Пасхавер Н.С., Яблочник А.Л. Общая теория статистики: Для программированного обучения. Учеб. Пособие/Под ред. проф. М.М.Юзбашева. – 2-е изд. перераб. и доп. – М: Финансы и статистика, 1983. – 432 с.