Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике". 4

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Главный бухгалтер большой корпорации провел обследования по данным прошедшего года с целью выявления доли некорректных счетов. Доля некорректных счетов оказалась равна 0.02. Для уменьшения доли ошибок бухгалтер внедрил новую систему. Год спустя он решил проверить, как работает новая система,  и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 30 счетов компании. Какова вероятность того, что в выборке окажется 1)не более 2 некорректных счетов; 2)только 3 некорректных счета.

Решение.

Формулировка задачи допускает  некоторую неоднозначность в  поиске решения, так как ничего не известно о внедренной системе. Система может быть как абсолютно идеальной, тогда вероятность появления некорректного счета равна нулю, так и бесполезной в плане совершенствования, т.е. оставшейся на прежнем уровне. В этом случае вероятность найти не более 2 некорректных счетов по формуле Пуассона:

 

 

 

А вероятность найти три  некорректных счета:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. В большой рекламной фирме 36% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 47% работников фирмы – женщины, а 8,7% работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение.

Сформулируем вопрос к  задаче в терминах теории вероятности: оценить вероятность того, что  случайно выбранный работник – женщина, получающая высокую заработную плату, и сравнить полученную вероятность  с вероятностью того, что случайно выбранный работник любого пола имеет  высокую заработную плату.

Введем обозначения:

А – «случайно выбранный  работник имеет высокую заработную плату»

В – «случайно выбранный работник – женщина». События А и В – зависимые. По условию

Р(АВ) = 0.087, Р(В) = 0.47, Р(А) = 0.36

Нас интересует вероятность  того, что наудачу выбранный работник имеет высокую заработную плату  при условии, что это женщина, т.е. – условная вероятность события  А.

Тогда, используя теорему  умножения вероятностей, получим.

Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0.087/0.47 = 0.19.

Так как Р(А/В) = 0.19 меньше, чем Р(А) = 0.36, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

 

 

 

 

 

 

 

3. Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Прогноз относительно повышения цены некоторых акций составляет 10%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика из 200 акций различных компаний повысятся в цене: 1)только 30 акций; 2)не более 50 акций.

Решение.

По условию задачи имеем:

p = 0.1, q = 1 – p = 0.9

Для определения вероятности  в первом случае воспользуемся локальной формой Муавра-Лапласа:

 

 

 определяем из справочника:

 

 

Для определения вероятности  во втором случае применим интегральную теорему Лапласа:

 

 

 

 

 

Искомая вероятность будет:

 

 

 

4. Телевизионный канал рекламирует новый вид растворимого кофе. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны 6 телезрителей. Составьте ряд распределения случайной величины Х, равной числу лиц, видевших рекламу. Найдите математическое ожидание М(Х); дисперсию D(Х); функцию распределения Fx(x), постройте график функции распределения. Найдите закон распределения случайной величины Y=-1, М(Y)

Решение.

Вероятность того, что m лиц увидят рекламу равна p = 0.2^m, так как каждый из зрителей смотрит телевизионный канал независимо от того, просматривают в этот момент его остальные или нет. Ряд распределения будет выглядеть следующим образом:

m	1	2	3	4	5	6
p	0.2	0.04	0.008	0.0016	0.00032	0.000064

 

Математическое ожидание:

 

Дисперсия:

= 13.09

Функцию распределения зададим  таблично по следующему правилу:

 

x	0	1	2	3	4	5	6
	0	0.2	0.24	0.248	0.2496	0.24992	0.249984

 

Графически данная функция  представлена ниже.

Для новой случайной величины заметим, что , . Тогда:

 

X	1	2	3	4	5	6
Y	0	5	8	15	24	35
P(Y)	0.04	0.008	0.0016	0.00032	0.000064	0.0000128

 

Для данного распределения  M(Y) равно:

M(Y) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

(x)=  

Найти нормирующую константу С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, вероятность того, что наблюденное значение X попадает в интервал [-1;4].

Решение.

Нормирующая константа может  быть найдена из условия:

 

 

 

 

Выражение для функции  распределения:

 

 

Математическое ожидание:

 

Дисперсия:

 

 

 

СКО:

= = 6.983

 равна:

 

 

6. По таблице распределения двумерной случайной величины

X-Y	0	2	4
-1	0.2	0.1	0
1	0.1	0.3	0
2	0	0.2	0.1

Найти законы распределения величин  Х и Y ; математические ожидания М(XY), М(Х), М(Y); дисперсии D(XY), D(X), D(Y), вычислить корреляционный момент K(XY) и коэффициент корреляции r(XY).

Решение.

Для того, чтобы найти частные законы распределения, поступим следующим образом: перепишем таблицу еще раз:

 

X	Y
	0	2	4
-1	0.2	0.1	0
1	0.1	0.3	0
2	0	0.2	0.1

 

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения  двумерной случайной величины, можно  найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в строке, соответствующей Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в столбце таблицы, соответствующей Y = y_j.

Ряд распределения для  X:

X	- 1	1	2
P	0.3	0.4	0.3

Ряд распределения для  Y:

Y	0	2	4
P	0.3	0.4	0.3

Найдем математические ожидания:

M(XY) = M(X)*M(Y)

M(X) = 0.7, M(Y) = 2, M(XY) = 1.4

Найдем дисперсии:

D(XY) = D(X)D(Y)

 

D(X) =

 

 

D(X) =

D(Y) =

 

 

D(Y) = 2.4,

D(XY) = 3.38

Корреляционный момент:

K(XY) = - M(x))(y_j – M(y)))

K(XY) = ( x₁ – M(x))* * (y_j – M(y))) + ( x₂ – M(x))* * (y_j – M(y))) + ( x₃ – M(x))* * (y_j – M(y)))  = 2.21

K(XY) = 2.21

Коэффициент корреляции:

r(XY) = = 1.2

 

 

7. Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 20 студентов 2-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 90, 115, 114, 107, 114, 103, 114, 103, 103, 107, 107, 107, 114, 115, 115, 120, 107.

1.Постройте ряд распределения  студентов по успеваемости, начертите  полигон распределения и определите  средний балл, дисперсию, среднеквадратическое  отклонение и коэффициент вариации. Сделайте выводы.

2.Разбив все данные по баллам на 6 равных интервалов, постройте группированный ряд распределения. С помощью гистограммы оцените плотность распределения. Постройте доверительный интервал (асимптотический) для математического ожидания с уровнем доверия 0.95.

 

Решение.

Построим ряд распределения  в порядке возрастания балла  деловой активности и вычислим характеристики:

 

Ниже построим полигон  распределения

 

Разбиваем выборку на интервалы:

Длина интервала h = = = 5

Плотность распределения  указана на самой гистограмме  в каждом ее столбце.

Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки с помощью  критерия ²:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку .

Если  – то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

 

Доверительный интервал для  математического ожидания строим исходя из следующего:

Построим сначала доверительный  интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять  симметричным относительно ; обозначим  половину длины интервала. Величину  нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

Попытаемся перейти в  левой части этого равенства от случайной величины  к случайной величине , распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства  на положительную величину :

Если иметь в своем  распоряжении таблицу значений интеграла 

,

то величину можно найти  обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить  заранее таблицу значений . В этой таблице приведены значения  в зависимости от доверительной вероятности  и числа степеней свободы . Определив  по таблице 5 и полагая

мы найдем половину ширины доверительного интервала   и сам интервал

=

= 2.4460

= 2.446* = 7.73

Доверительный интервал будет:

= (100.57; 116.03)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. При проведении социологического обследования стояла задача установить существует ли зависимость между средним доходом (в рублях) и удовлетворенностью образом жизни (по пяти бальной шкале). Данные полученные при обследовании представлены в таблице 

Средний доход (руб)	Удовлетворенность
Ниже 400 400-600 600-900 900-1200 1200-1600 1600-2000 Свыше 2000	2.9 3.1 4.2 4.8 4.73 4.5 4.3

Вычислите ранговый коэффициент корреляции, установите значимость этого коэффициента. Принять уровень значимости 0.05.

Решение.

Перепишем нашу таблицу с  добавлением рангов, причем ранжирование осуществим в порядке возрастания  и определим соответствующие  характеристики:

= 1 – 6 *          = -

Связь между признаком Y и  фактором X  умеренная и обратная

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

= = 1.88

 

По таблице Стьюдента  находим t_табл:

t_табл (n-m-1;α/2) = (5;0.05/2) = 4.032

Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.         Крупный коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по выявлению эффекта «премирования» (калькулятор, набор ручек и др.) как стимул для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом отобрано 300 «премированных» посетителей и 200 «непримированных». В результате выяснилось, что 230 посетителей, которым предлагалась премия, и 145 посетителей, которым не предлагалась премия открыли счет в банке в течение 6 месяцев. Используя эти данные, постройте таблицу сопряженности и по ней проверьте гипотезу о независимости признаков: число посетителей, открывших счет в банке, не зависит от эффекта «премирования» посетителей. Принять уровень значимости 0.01.

Решение.

Таблица сопряженности:

Применим критерий :

= 500 * + 2 *  + - 1) = 0.868

Критическое значение при  уровне значимости 0.01 равно 3.125. Отсюда заключаем, что гипотеза о независимости признаков не может быть отвергнута, а это значит, что число посетителей, открывших счет в банке, не зависит от эффекта «премирования» посетителей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Главный бухгалтер большой корпорации провел обследования по данным прошедшего года с целью выявления доли некорректных счетов. Из 600 выбранных счетов в 7 оказались некорректные проводки. Для уменьшения доли ошибок бухгалтер внедрил новую систему. Год спустя он решил проверить, как работает новая система, и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 800 счетов компании. Среди них оказалось 9 некорректных. Можем ли мы утверждать, что новая система позволила уменьшить долю некорректных проводок в счетах? Принять уровень значимости 0.05.

Решение.

Для проверки гипотезы H₀ (p p ₀) найдем величину

U = ( - p₀)*/

M = 9, n = 800, p₀ = 0.01125 q₀ = 1 - p₀

 

При этом, конкурирующая гипотеза H₁ (p > p₀)

U = (0.012 – 0.01125)/ 0.195

При конкурирующей гипотезе найдем критическую точку левосторонней  критической области.

Ф(U_кр) = = = 0.45

По таблице функции  Лапласа находим U_кр 0.174

Поскольку U >  U_кр, то есть основания отвергать гипотезу о состоятельности системы.