Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике". 16

ВАРИАНТ 7

1. В партии из 30 изделий 4 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что  из взятых наугад 3 изделия 2 изделия являются дефектными?

Решение:

А - среди взятых наугад 3 изделия 2 изделия являются дефектными.

Р(А) = – классическая формула вероятности,

где n = = = = 4060 – число всех исходов

m = ∙ = ∙ = ∙ 26 = 156 – число исходов, благоприятствующих событию А.

Р (А) =  = ≈ 0,038 – искомая вероятность

Ответ:  Р (А) = ≈ 0,038

Или

Р (А) = ∙ ∙ +  ∙ ∙ + ∙ ∙ = 0,0128 + 0,0128 + 0,0128 ≈

≈ 0,038

Ответ:  Р (А) ≈ 0,038

 

2. В магазине выставлены для продажи 18 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделия будут некачественными?

Решение:

А - взятые случайным образом 3 изделия будут некачественными

Р(А) = – классическая формула вероятности,

где n = = = = 816 – число всех исходов

m = ∙ = ∙ = = 20 – число исходов, благоприятствующих событию А.

Р (А) =  = ≈ 0,0245 – искомая вероятность

Ответ:  Р (А) = ≈ 0,0245

Или:  Р (А) = ∙ ∙ ≈ 0,0245

Ответ:  Р (А) ≈ 0,0245

 

3. На сборочное  предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 20 с первого завода, 50 со второго, 30 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,9, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение:

А – взятое случайным образом изделие будет качественным

Н₁ – изделие изготовлено на первом заводе

Н₂ – изделие изготовлено на втором заводе

Н₃ – изделие изготовлено на третьем заводе

Р(Н₁) = = 0,2; Р(Н₂) = = 0,5; Р(Н₃) = = 0,3 – вероятности гипотез Н₁; Н₂; Н₃

Условные вероятности  события А:

(А) = 0,8;   (А) = 0,9;  (А) = 0,8

По формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁) ∙ (А) + Р(Н₂) ∙ (А) + Р(Н₃) ∙ (А) = 0,2 ∙ 0,8 + 0,5 ∙ 0,9 +

+ 0,3 ∙ 0,8 = 0,16 + 0,45 + 0,24 = 0,85

Ответ:  Р(А) = 0,85

 

4. Дано распределение  дискретной случайной величины  X. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

xi	− 3	2	3	5
pi	0,3	0,4	0,1	0,2

 

Решение:

Σр_i  = 0,3 + 0,4 +  0,1 + 0,2 = 1,0

М(x) = Σ р_i ∙ x_i = − 3 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,4 + 3 ∙ 0,1 + 5 ∙ 0,2 = − 0,9 + 0,8 + 0,3 + 1 = 1,2

– математическое ожидание

D(x) = Σр_i ² ∙ x_i – (Мx)² = (−3)² ∙ 0,3 + 2² ∙ 0,4 + 3² ∙ 0,1 + 3² ∙ 0,1 + 5² ∙ 0,2 –

− 1,2² = 2,7 + 1,6 + 0,9 + 5 – 1,44 = 8,76 – дисперсия

σ(x) = = ≈ 2,96 – среднее квадратическое отклонение

 

5.  В городе  имеются 4 оптовых баз. Вероятность  того, что требуемого сорта товар  отсутствует на этих базах одинакова и равна 0,3. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Решение:

x – число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент

x = 0; 1; 2; 3; 4

р = 0,3 - вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах

q = 1 - 0,3 = 0,7 - противоположная вероятность

        По  формуле Бернулли:

        Р_n(k) = Р_n (k) = p^k q^n–k

Р₁ = Р (x = 0) = Р₄(0) = p⁰ q⁴ = ∙ 0,3⁰ ∙ 0,7⁴ = 0,7⁴ = 0,2401

Р₂ = Р (x = 1) = Р₄(1) = p¹ q³ = ∙ 0,3¹ ∙ 0,7³ = 4 ∙ 0,3 ∙ 0,343 = 0,4116

Р₃ = Р (x = 2) = Р₄(2) = p² q² = ∙ 0,3² ∙ 0,7² = 6 ∙ 0,09 ∙ 0,49 = 0,2646

Р₄ = Р (x = 3) = Р₄(3) = p³ q¹ = ∙ 0,3³ ∙ 0,7¹ = 4 ∙ 0,027 ∙ 0,7 = 0,0756

Р₅ = Р (x = 4) = Р₄(4) = p⁴ q⁰ = ∙ 0,3⁴ ∙ 0,7⁰ = 0,3⁴ = 0,0081

 

Составим закон распределения.

x	0	1	2	3	4
р	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

 

Σр_i  = 0,2401 + 0,4116 + 0,2646 + 0,0756 + 0,0081 = 1,0

М(x) = Σр_i ∙ x_i = 0 ∙ 0,2401 + 1 ∙ 0,4116 + 2 ∙ 0,2646 + 3 ∙  0,0756 + 4 ∙ 0,0081 =

= 0,4116 + 0,5292 + 0,2268 + 0,0324 = 1,2 – математическое ожидание

D(x) = Σx_i ² ∙ p_i – (Мx)² = 0²∙ 0,2401 + 1²∙ 0,4116 + 2² ∙ 0,2646 + 3² ∙ 0,0756 +

+ 4² ∙ 0,0081 – 1,2² = 0,4116 + 1,0584 + 0,6804 + 0,1296 – 1,44 = 0,84 – дисперсия

σ(x) = = ≈ 0,92 – среднее квадратическое отклонение

 

6. Непрерывная  случайная величина имеет нормальное  распределение. Ее математическое ожидание равно Мx, среднее квадратическое отклонение равно σ_x. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (а, b).

Решение:

Мx = 24;  σ_x = 1;  (20; 26)

По формуле Лапласа.

Р(20 < x < 26) = Ф – Ф = Ф – Ф =

= Ф(2) – Ф(–4) = Ф(2) + Ф(4) = 0,4772 + 0,5 = 0,9772

 

7. Найти линейную  среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины.

y          x	2	4	5
1 3	0,12 0,18	0,13 0,06	0,24 0,27

 

     Вычислим все необходимые характеристики, предварительно найдя законы распределения случайных величин X и Y.

     Закон распределения и характеристики X:

xi	2	4	5
рi	0,12 + 0,18 = 0,3	0,13 + 0,06 = 0,19	0,24 + 0,27 = 0,51

 

Мx = Σ x_i ∙ p_i = 2 ∙ 0,3 + 4 ∙ 0,19 + 5 ∙ 0,51 = 0,6 + 0,76 + 2,55 = 3,91

Dx = Σ x_i ² ∙ p_i – (Мx)² = 2² ∙ 0,3 + 4² ∙ 0,19 + 5² ∙ 0,51 – 3,91² = 1,2 + 3,04 +

+ 12,75 – 15,2881 = 1,7019 

σx = = ≈ 1,3

Закон распределения и  характеристики Y:

yi	1	3
рi	0,12 + 0,13 + 0,24 = 0,49	0,18 + 0,06 + 0,27 = 0,51

 

Мy = Σ y_i ∙ p_i = 1 ∙ 0,49 + 3 ∙ 0,51 = 0,49 + 1,53 = 2,02

Dy = Σ y_i ² ∙ p_i – (Мy)² = 1² ∙ 0,49 + 3² ∙ 0,51 – 2,02² = 0,49 + 4,59 – 4,0804 =       = 0,9996 

σy = = ≈ 0,9998 ≈ 1

      Для нахождения  коэффициента корреляции Х и  Y выполним ряд вспомогательных расчетов:

М(XY) = 1 ∙ 2 ∙ 0,12 + 1 ∙ 4 ∙ 0,13 + 1 ∙ 5 ∙ 0,24 + 3 ∙ 2 ∙ 0,18 + 3 ∙ 4 ∙ 0,06 +

+ 3 ∙ 5 ∙ 0,27 = 0,24 + 0,52 + 1,2 + 1,08 + 0,72 + 4,05 = 7,81

coυ(X,Y) = М(XY) – Мx ∙ Мy = 7,81 – 3,91 ∙ 2,02 = − 0, 0882

ρ_XY = = ≈ − 0,06762

y = Мy + ρ_XY (x – Мx) = 2,02 − 0,06762 ∙ (x – 3,91)

y = 2,02 – 0,052(x – 3,91)

 

 

 

 

 

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

1. Рассчитать и  построить гистограмму относительных  частот по сгруппированным данным, где m_i – частота попадания вариант в промежуток (x_i; x_i+1).

i	xi < X < xi+1	mi	середина интервалов	отсительная частота рi
1	4 ÷ 6	3	5	0,06
2	6 ÷ 8	9	7	0,18
3	8 ÷ 10	7	9	0,14
4	10 ÷ 12	22	11	0,44
5	12 ÷ 14	9	13	0,18
∑	−	50	−	1,0

 

Определим относительные частоты по формуле: р_i = (n = 50)

Построим гистограмму распределения:

p       p_i

      

 

Рис .1. Гистограмма относительных частот

 

2. Найти несмещенную  выборочную дисперсию на основании  данного распределения выборки.

xi	10	14	16	22
ni	13	24	14	9

 

Решение:

Составим расчетную таблицу  для нахождения несмещенной выборочной дисперсии.

 

Расчетная таблица

xi	ni	xi ni	( − )2 ∙ ni
10	13	130	299,52
14	24	336	15,36
16	14	224	20,16
22	9	198	466,56
∑	60	888	801,6

 

Определим среднюю выборочную.

 = = = 14,8 – средняя выборочная

Определим несмещенную выборочную дисперсию.

= ∙ n_i = 801,6 ≈ 13,6

 

3. Проверить нулевую  гипотезу о том, что заданное  значение a₀ является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5 %-м уровне значимости для двусторонней критической области, если результаты обработки выборки объема n = 10 получено выборочное среднее , а выборочное среднее квадратичное отклонение равно S₁.

Решение:

     а₀ = 70;  = 66;  S₁ = 8; α = 0,05; n = 10

     Гипотеза Н₀: а₀ = 70, так как критическая область двусторонняя, то альтернативная гипотеза Н₁: а₀ ≠ 70.

     Находим двусторонние  критические точки по схеме:

α → γ  = 1 – α	табл.	tγ	= − tγ
n → k = n − 1			= tγ

     Получаем, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α = 0,05.

α = 0,05 →  γ = 1 –  0,05	табл.	tγ	= − 2,262
n = 10 → k = 10 – 1 = 9			= 2,262

     Таким образом, критическая область состоит из интервалов (−∞; − 2,262) и (2,262; + ∞).

     Находим числовое  значение критерия:

     t_набл. = = = − 1,58

     Так как, t_набл. = − 1,58 не попадает в критическую область, то гипотезу Н₀ принимаем, т. е. а₀ = 70.

 

4. При уровне  значимости α = 0,1 проверить гипотезу  о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин X и Y на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе Н₁: ≠ .

xi	ni	yi	mi
20	3	18	6
22	4	19	3
23	2	20	4
24	2	22	2
26	4	23	5

 

Решение:

     Проверим нулевую  гипотезу о равенстве генеральных  дисперсий при конкурирующей гипотезе ≠ по критерию Фишера–Снедекора (прил.4). Найдем F_набл. как отношение большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей ,

     Составим расчетную таблицу для нахождения исправленной выборочной дисперсии.

xi	ni	xi ni	( − )2 ∙ ni	yi	mi	yi mi	( − )2 ∙ mi
20	3	60	28,21333	18	6	108	29,04
22	4	88	4,551111	19	3	57	4,32
23	2	46	0,008889	20	4	80	0,16
24	2	48	1,742222	22	2	44	6,48
26	4	104	34,41778	23	5	115	39,2
∑	15	346	68,93333	∑	20	404	79,2

 

Определим среднюю выборочную.

 = = ≈ 23,07 – средняя выборочная

 = = = 20,2 – средняя выборочная

Определим исправленную выборочную дисперсию.

= ∙ n_i = 68,9333 ≈ 4,924

= ∙ m_i = 79,2 ≈ 4,168

F_набл. = = ≈ 1,18

     Сравним найденное значение F_набл. с критическим F_крит., взятым из таблицы «Квантили распределения Фишера». Для этого найдем р: 

      р = 1 – _.= 1 – _.= 0,95  

     k₁ = ∑ n_i  – 1 = 15 – 1 = 14 

     k₂ = ∑ m_i – 1 = 20 – 1 = 19

     При р = 0,95; k₁ = 14; k₂ = 19 → F_крит. = 2,26

     Так как   F_набл.= 1,18 < F_крит = 2,26, то гипотезу о равенстве генеральных дисперсий принимаем.

 

5. Найти выборочное  уравнение линейной регрессии  Y на X на основании корреляционной таблицы.

y        x	5	10	15	20	25	30	35
30		6		4		2	5
40	4		5		7	1
50		4	3	5			6
60	5	3			10	2
70			4	10	4	2	8

 

Решение:

 

 

 

Расчет коэффициента корреляции. 

y         x	5	10	15	20	25	30	35	my	yi my	my
30		6		4		2	5	17	510	15300
40	4		5		7	1		17	680	27200
50		4	3	5			6	18	900	45000
60	5	3			10	2		20	1200	72000
70			4	10	4	2	8	28	1960	137200
mx	9	13	12	19	21	7	19	100	5250	296700
xi mx	45	130	180	380	525	210	665	2135
mx	225	1300	2700	7600	13125	6300	23275	54525
	51,11	43,08	52,5	56,32	55,24	51,43	53,16	−
xi mx	2300	5600	9450	21400	29000	10800	35350	113900

 

 

Рассчитаем групповые  средние 

= ≈ 51,11

= ≈ 43,08

=   = 52,5

= ≈ 56,32

= ≈ 55,24

= ≈ 51,43

= ≈ 53,16

Вычислим числовые характеристики.

= = = 21,35

= = = 52,50

= = = 1139

= = = 545,25

= = = 2967

Dx = – )² = 545,25 – (21,35)² = 89,4275

Ϭx = = ≈ 9,46

Dy = – )² = 2967 – (52,5)² = 210,75

Ϭy = = ≈ 14,52

Определим коэффициент корреляции.

r_в = = ≈ 0,132

Определим коэффициент регрессии

= r_в ∙ = 0,132 ∙ ≈ 0,31

Запишем уравнение прямой линии регрессии:

y – =  r_в ∙ ( x – )

y – 52,5 = 0,31∙ ( x – 21,35)

y = 0,31 x + 45,86