Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Ценообразованию". 143

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Факультет ФНО

Специальность Бакалавр Экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико – математические методы и прикладные модели»

Выполнил:

Студент Резванова Элина Марфельевна

Курс 3

Группа № ФБ-ЭФ 303

Личное дело № 10ФФД20283

Москва 2013

Задача 1

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико - математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Задача 2

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

ІІ

ІІІ

200

160

170

Цена изделия

Требуется:

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья І и ІІ видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья ІІІ вида;
Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер наблюдения (t=1, 2, ..., 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	7	10	11	15	17	21	25	23

Требуется:

Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Ŷ(t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t) = a0 + a1k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использования компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Задача 1

Решение:

Составим экономико – математическую модель.

І набор – обычный

ІІ набор – улучшенный

удобрения	Необходимый min для 1 газона	Число кг в 1 наборе
удобрения	Необходимый min для 1 газона	І	ІІ
Азотные	10	3	2
Фосфорные	20	4	6
Калийные	7	1	3

Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед.

Обозначим через X и Y количество обычных и улучшенных наборов удобрений, соответственно.

Составим целевую функцию и систему ограничений.

F( x) = 3x + 4y → min

Система ограничений:

3x + 2y ≥ 10; (1)

4x + 6y ≥ 20; (2)

x + 3y ≥ 7; (3)

x, y ≥ 0;

По ограничениям строим область всех допустимых решений.

а) Определим множество решений 1-го неравенства. Построим линию по точкам: (0;5) и (2;2). Т. к. 3 * 0 + 2 * 0 = 0 < 10 , то выбираем верхнюю полуплоскость.

б) Определим множество решений 2-го неравенства. Построим линию по точкам: (5;0) и (2;2). Т. к. 4 * 0 + 6 * 0 = 0 < 20 , то выбираем верхнюю полуплоскость.

в) Определим множество решений 3-го неравенства. Построим линию по точкам: (7;0) и (1;2). Т. к. 1* 0 + 3 * 0 = 0 < 7, то выбираем верхнюю полуплоскость.

Пересечением всех плоскостей является неограниченная область ABCDEF.

4. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину ∆(3;4) с началом координат.

Построим линию уровня 3x +4 y =0 по точкам: (0;0) и (4;-3). Она перпендикулярна вектору- градиенту.
При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору-градиенту. Точкой максимума при таком движении линии уровня будет точка С (2;2), а минимальное значение функции Fmin = F(2;2) =3 * 2 + 4 * 2 = 14 ден. ед.

Ответ: 2 обычных и 2 улучшенных набора удобрений для газонов нужно купить, чтобы минимизировать стоимость.

Построенная область допустимых решений не ограничена сверху, следовательно, если решать задачу на максимум, то решений не найдем.

Задача 2

Решение:

Сформулируем прямую оптимизационную задачу:

F(x) = 5x1 + 7x2 + 3x3 + 6x4 → max

Система ограничений:

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 200,

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 ≤ 160,

2x1 + 4x2 + x3 + x4 ≤ 170,

x1, 2, 3, 4 ≥ 0

Найдем оптимальное решение с помощью настройки EXCEL Поиск решения:

Оптимальное решение задачи: x1 = 80; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 10;

Fmax = 5 * 80 + 7 * 0 + 3 * 0 + 6 * 10 =460 ден. ед. ‾‾‾‾‾‾‾‾‾

По оптимальному плану следует производить изделия типа А и Г. Изделия типа Б и В убыточны, затраты на ресурсы превышают цену изготовления из них изделий.

Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

G(y) = 200 y1 + 160 y2 + 170 y3 →min

Система ограничений:

2 y1 + y2 + 2 y3 ≥ 5;

y1 + 2 y2 + 4 y3 ≥ 7;

3 y1 + 4 y2 + y3 ≥ 3;

2 y1 + 8 y2 + y3 ≥ 6;

y1, 2, 3, ≥ 0

Координаты Xmax подставляем в 1 систему. Получаем:

2 * 8 0 + 0 + 3 * 0 + 2 * 10 = 180 < 200,

80 + 2 * 0 + 4 * 0 + 8 * 10=160,

2 * 80 + 4 * 0 + 0 + 10 = 170.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство.

Поэтому, y1 = 0 (по второй теореме двойственности).

Т.к. х1 > 0 и х₄ > 0, то

2y1 + y2 + 2y3 = 5; 0 + y2 + 2y3 = 5; y3 = 34/15;

2y1 + 8y2 + y3 = 6 0 + 8y2 +y3 = 6 y2 = 7/15

Y оптим. = (0; 7/15; 34/15)

При подстановке Y оптим. в целевую функцию получается, что G min = 200 * 0 + 160 * 7/15 + 170 * 34/15 = 460.

Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Недефицитным оказалось сырье I типа, поскольку y1 = 0. Острее ощущается дефицитность сырья III типа (yз =34/15), чем сырья II типа (y2 =7/15). Увеличение запаса сырья II и III типа на 1 ед. приведет к росту прибыли, изменение запаса сырья I типа не влияет на выручку.

Определим, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида.

Допустим, что изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, т.е. структура оптимального плане не изменится и х₂ = х₃ = 0

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = 160+10, x1 +8x₄ =170 , х4 = 35/3,

2х1 +4x2 ++ x3 + х₄ = 170 – 5. 2x1 + x4 = 165. x1 = 230/3

F_max = 5*230/3 + 7*0 + 3*0 + 6*35/3 = 1360/3

Выручка уменьшилась на 460 -1360/3=20/3 ден. ед.

Определим целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 10 ден. ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вычислим ∆ = 2*0 + 2*7/15 + 2*34/15*10 = - 68/15 < 0, т.е. затраты на производство данного изделия не превышают его цену, следовательно, включать такое изделие в план выгодно.

Задача 4

Решение:

Сгладим ряд с помощью простой скользящей средней.

t	Уt	Расчет	Выровненный ряд
1	3
2	7	1/3(3 + 7 +10)	6,7
3	10	1/3(7 + 10 + 11)	9.3
4	11	1/3(10 + 11 + 15)	12,0
5	15	1/3(11 + 15 + 17)	14,3
6	17	1/3(15 + 17 + 21)	17.7
7	21	1/3(17 + 21 + 25)	21,0
8	25	1/3(21 + 25 + 23)	23,0
9	23

Определим наличие тренда методом Фостера-Стюарта.

K t = 1, если y1 > yt-1 > ... >y1, 1, если y_t < у t-1 <... < y1

0, в остальных случаях 0, в остальных случаях

S = ∑ St = ∑ (kt + lt);

d = ∑ dt = ∑ (kt – lt).

	t	yt	kt	lt	St	dt
	1	3	-	-	-	-
	2	7	1	0	1	1
	3	10	1	0	1	1
	4	11	1	0	1	1
	5	15	1	0	1	1
	6	17	1	0	1	1
	7	21	1	0	1	1
	8	25	1	0	1	1
	9	23	0	0	0	0
Итого:					7	7

С помощью величины S проверяется гипотеза о наличии тенденции в дисперсиях:

|S - μ| |7 – 3,858|

ts = ─── = ────── =2,44

σ1 1,288

На основе величины d проверяются тенденции в средней:
|d - 0| |7 - 0|

Td = ─── = ──── =3,56

σ2 1,964

По таблице определили значения неизвестных параметров: μ = 3.858; σ1 = 1,288 ; σ₂ = 1,964 .

Проверка осуществляется на основе критерия Стьюдента: t_Kp(a = 0,05; v = п-1 = 9 -1 = 8) = 2,306.

Т. к. 2,44>2,306, то в ряду динамики есть тенденции в дисперсии. Т.к. 3,56>2,306, то в ряду динамики есть тенденция в средней.

Построим модель ŷ =а_а + a1t

Неизвестные параметры найдем из системы:

a0 * n + a1 * ∑t = ∑y,

a0 * ∑t + a1 * ∑t² = ∑ yt.

∑t 45 ∑y 132 ∑(t – t)(y – y) 162

t = ── = ── = 5, y = ── = ── = 14,67, a1 = ──────── = ─── = 2,7;

n 9 n 9 ∑(t –t)² 60

a₀ = y – a1 t = 14,67 - 2,7 * 5 = 1,17. => ŷ_t = 1,17 + 2

	T	y1	t-t	(t – t)²	y - y	(t – t)(y - y)	ŷt
	1	3	-4	16	-11,67	46,67	3,87
	2	7	-3	9	-7,67	23,00	6,57
	3 j	10	-2	4	-4,67	9,33	9,27
	4	11	-1	1	-3,67	3,67	11,97
	5	15	0	0	0, 33	0,00	14,67
	6	17	1	1	2,33	2,33	17,37
	7	21	2	4	6,33	12.67	20,07
	8	25	3	9	10,33	31,00	22,77
	9	23	4	16	8,33	33,33	25,47
Итого:	45	132	0	60		162,00	132,03

	t	yt	ŷt	εt	εt ²	ТП	(εt – εt-1 )²
	1	3	3,87	-0,87	0,7569	-
	2	7	6,57	0,43	0,1849	0	1,6900
	3	10	9,27	0,73	0,5329	1	0.0900
	4	11	11,97	-0,97	0,9409	1	2.8900
	5	15	14.67	0,33	0,1089	1	1,6900
	6	17	17,37	-0,37	0,1369	1	0,4900
	7	21	20,07	0,93	0,8649	0	1,6900
	8	25	22,77	2,23	4,9729	1	1,6900
	9	23	25,47	-2,47	6,1009	-	22,0900
Итого:	45	132	132,03	-0,03	14,6001	5	32,3200

	εt ─ yt	εt • εt - 1
	0, 2900
	0,0 614	- 0, 3741
	0, 0730	0, 3139
	0, 0882	- 0,7081
	0, 0220	- 0, 3201
	0, 0218	- 0, 1221
	0, 0443	- 0, 3441
	0, 0892	2, 0739
	0, 1074	- 5, 5081
Итого:	0,7973	- 4,9888

Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверку случайности уровней остаточной компоненты проверим на основе критерия поворотных точек. Общее число поворотных точек равно 5.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить так:

2(n – 2) 16n - 29

p>──── –- 1,96√─────

3 90

( р - количество поворотных точек в случайном ряду, 1,96 – квант нормального распределения для 5%-го уровня значимости).

2(9 – 2) 16*9 – 29

q = ───── - 1,96 √────── = 2,45 = 2.

3 90

словие случайности

б) Проверку отсутствия автокорреляции проведем двумя методами: по d-критерию Дарбина-Уотсона (d1 = 1,08 ; d₂ = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции r(1) = 0,36.

∑ (εt – εt-1)²

t=2 32,3200

d= ───── = ───── = 2,21

n 14,6001

∑ε t ²

t=1

Т.к. d >2, то имеет место отрицательная автокорреляция. Поэтому находим d´ = 4 — 2,21 = 1,79.

Т.к. 1,36 < 1,79 < 2, то ряд остатков не коррелирован.

∑εt εt-1 -4,9888

t=2

r(1)=────── = ───── = - 0,34.

n 14,6001

∑εt²

t=1

Т.к. |- 0,34| < 0,36, то уровни ряда остатков независимы.

в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию.

ε max - ε min

RS = ─────; εmax = 2,23; εmin = - 2,47;

Sε

2,23 + 2,47

RS = ─────── = 3,48.

1,3509

Т. к. 2,7 < 3,48 < 3,7, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя y(t) на 2 шага вперед.

Строим точечный и интервальный прогноз на 2 шага вперед.

ŷ₁₀ =1,17 + 2,7*10 = 28,17; ŷ11 =1,17 + 2,7*11 = 30,87.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,3, следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = m - 2 = 9 - 2 = 7 равен tα =1,12.

Шаг	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
1	28,17	26,17	30,17
2	30,87	28,75	32,98

Модель Брауна

Y_p (t) = а₀ (t -1) + а1(t -1) * к, где к - количество шагов прогнозирования.

a1(t) = а1 (t -1) + а² * E(t), E(t) = Y(t0 - Y_p(t), а₀(t) = a0 (t -1) + а1 (t - 1) +

(1 - β²) *E(t).

Начальные оценки параметров получим но первым пяти точкам при помощи

метода наименьших квадратов:

	t	Y(t)	t²	Y(t)*t
	1	3	1	3
	2	7	4	14
	3	10	9	30
	4	11	16	44
	5	15	25	75
Итого:	15	46	55	166
Среднее значение:	3	9,2	11	33,2

a1(0) =2,8; a0(0) = 9,2 – 2,8 * 3 = 0,8.

При α = 0,4; k = 1; β =1 – 0,4 = 0,6. Получим:

t	Y(t)	a0(t)	a1(t)	_Yp_(t)	E(t)	E²(t)	ТП	(E(t)-E(t-1))²		E(t)/Y(t) _щ
		0,80	2.80				-	-	-
1	3	3,22	2,70	3,60	-0,60	0,3600	-	-	0,2000
2	7	6,61	2,88	5,92	1,08	1,1664	1	2,8224	0,1543
3	10	9,82	2,96	9,49	0,51	0,2621	0	0,3226	0,0512
4	11	11,64	2,67	12,77	-1,77	3,1485	1	5,2276	0,1613
5	15	14,75	2,78	14,31	0.69	0,4711	1	6,0555	0,0458
6	17	17,19	2,70	17,54	-0,54	0,2889	1	1,4980	0,0316
7	21	20,60	2,88	19,89	1,11	1,2273	0	2,7073	0.0528
8	25	24,45	3,12	23,48	1,52	2,3193	1	0,1723	0.0609
9	23	24,65	2,39	27,57	-4.57	20.8968	-	37.1398	0.1988
Итого:					-2,57	30,1406	5	55,9456	0,9566

Контрольная работа по Ценообразованию. 143 📙 Контрольная → 🆔 76492