Контрольня по "Математике"

Муниципальное образовательное  учреждение

Высшего профессионального  образования

Южно - Уральский профессиональный институт 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по математике

 Вариант  №3

специальность 080105.65 «Финансы и кредит» 
 
 
 
 

                                                                                  Выполнила:

                                                            Группа ФЗ-02-10

                                                                                  Проверил: ________________ 
 
 
 

Челябинск

2010

Задание №1 

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором  общая стоимость всей произведенной  предприятием продукции является максимальной.

Решение

Решим прямую задачу линейного программирования  симплексным  методом, с использованием симплексной  таблицы.

 Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 22x₁ + 40x₂ при следующих условиях-ограничений.

 2x₁ + 3x₂≤298

 6x₁ + 2x₂≤600

 x₁ + 5x₂≤401

 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

 2x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 298

 6x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 600

 1x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 401

 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: 

 Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

 x₃, x₄, x₅,

 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

 X1 = (0,0,298,600,401)

 Переходим  к основному алгоритму симплекс-метода.

 Текущий опорный  план неоптимален, так как в  индексной строке находятся отрицательные  коэффициенты.

 В качестве  ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x₂, так как это наибольший коэффициент.

 Вычислим  значения D_i по строкам как частное от деления: 

 и из них  выберем наименьшее:

min (298 : 3 , 600 : 2 , 401 : 5 ) = 80¹/₅

 Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Текущий опорный  план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

 В качестве  ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x₁, так как это наибольший коэффициент.

 Вычислим  значения D_i по строкам как частное от деления: 

 и из них  выберем наименьшее:

min (57²/₅ : 1²/₅ , 439³/₅ : 5³/₅ , 80¹/₅ : ¹/₅ ) = 41

 Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

 Конец итераций: найден оптимальный план

 Окончательный  вариант симплекс-таблицы:

 Оптимальный  план можно записать так:

x₁ = 41

x₄ = 210

x₂ = 72

F(X) = 22•41 + 40•72 = 3782 

Задание 2.

На три базы поступил однородный груз в количествах  a₁, a₂, a₃. Груз требуется перевезти в четыре пункта в объеме b₁, b₂, b_3, b₄. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной, весь груз был вывезен. Матрица тарифов с_ij , запасы и потребности указаны в таблице.

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.

 ∑ a = 90 + 30 + 40 = 160

 ∑ b = 70 + 30 + 20 + 40 = 160

 Условие баланса  соблюдается. Запасы равны потребностям.

 Занесем исходные  данные в распределительную таблицу.

1. Используя  метод наименьшей стоимости, построим  первый опорный план транспортной  задачи.

 В результате  получен первый опорный план, который является допустимым, так  как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена,  а план соответствует системе  ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем  число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0. 

 Опорный план  не является оптимальным, так  как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;2): 0 + 4 > 3

 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 3

 Для этого  в перспективную клетку (1;2) поставим  знак «+», а в остальных вершинах  многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 Из грузов  х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 4) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

 Опорный план  является оптимальным.

 Минимальные  затраты составят:

F(x) = 1*70 + 3*20 + 1*20 + 2*10 + 1*10 + 2*30  = 240

Задание № 3.

        Техническое устройство, состоящее  из трех узлов, работало в  течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р₁, второй – с вероятностью р₂, третий – с вероятностью р₃. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).

      p₁=0,6       p₂=0,6      p₃=0,4

      Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени t, - был исправен второй узел, - был исправен третий узел.

а) Пусть событие  D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем:

0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,096

б) Пусть событие  Е – все узлы вышли из строя, тогда:

Р (Е)=Р (АВС)=Р(А)*Р(В)*Р(С)= 0,6 * 0,6 * 0,4 = 0,144

в) Пусть событие  F – только один узел стал неисправным, тогда:

События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:

_{= 0,6 * 0,4 * 0,6+0,4 * 0,6 * 0,6 + 0,4 * 0,4 * 0,4 = 0,352}

г) Пусть событие  D₁ – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:

_{= 1- 0,4 * 0,4 * 0,6 = 1- 0,096 = 0,904} 

      Задание 4. 

      По  линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В  – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

      Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие - искажение при передаче символа А, событие и - искажения при передаче символов В и С соответственно.

      По  условию вероятности этих событий равны:

      Р(А)=0,3 , Р(В)= 0,2 ,  Р(С)=0,5 , P(A')=0,04 ,  Р(B')=0,01 , Р(C')=0,07

      Если  события  , и - искажения при передаче символов, то события , и - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:

               = 1 -  0,3 = 0,7

               = 1 -  0,2 = 0,8

               = 1 -  0,5 = 0,5 
 

      Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.

      Можно выдвинуть следующие гипотезы:

         Н₁ – переданы символы АА,

         Н₂ – символы АВ,

         Н₃ – символы ВА,

         Н₄ – символы АС,

         Н₅ – символы СА,

         Н₆ – символы ВВ,

         Н₇ – символы ВС,

         Н₈ – символы СВ,

         Н₉ – символы СС.

      Вероятности этих гипотез:

          _{0,3 * 0,3 =  0,09}

          _{0,3 * 0,2 =  0,06}

          _{0,2 * 0,3 = 0,06}

          _{0,3 * 0,5 = 0,15}

          _{0,5 * 0,3 = 0,15}

          _{0,2 * 0,2 = 0,04}

          _{0,2 * 0,5 = 0,1}

          _{0,5 * 0,2 = 0,1}

          _{0,5 * 0,5 = 0,25}

Условные вероятности  события D если имела место одна из гипотез будут:

P(D/H1) = P(¯A') * P(¯А')= 0,96 * 0,96 = 0,92

P(D/H2) = P(¯A') * P(¯B')= 0,96 * 0,99 = 0,94

P(D/H3) = P(¯B') * P(¯A')= 0,99 * 0,96 = 0,94

P(D/H4) = P(¯A') * P(¯C')= 0,96 * 0,93 = 0,89

P(D/H5) = P(¯C') * P(¯A')= 0,93 * 0,96 = 0,89

P(D/H6) = P(¯B') * P(¯B')= 0,99 * 0,99 = 0,98

P(D/H7) = P(¯B') * P(¯C')= 0,99 * 0,93 = 0,92

P(D/H8) = P(¯C') * P(¯B')= 0,93 * 0,99 = 0,92

P(D/H9) = P(¯C') * P(¯C')= 0,93 * 0,93 = 0,86

По формуле  Бейеса вычислим условную вероятность  с учетом появления события Р:

                                                    0,06 * 0,94

= ---------------------------------------------------------------------------------------- = 0,06

     0,082 + 0,056 + 0,056 + 0,133 + 0,133 + 0,039+ 0,092 +0,092 + 0,215 
 

Задание 5. 

        Найти вероятность того, что в  n независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице).

Так как число  испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся  формулой Бернулли: