Кореляционно-регрессионный анализ

 

На основании данных, приведенных  в табл. 1:

1. Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных.

2. Осуществите двумя способами выбор факторных признаков для построения регрессионной модели:

а) на основе анализа матрицы  коэффициентов парной корреляции, включая  проверку гипотезы о независимости  объясняющих переменных (тест на выявление  мультиколлинеарности Фаррара–Глоубера);

б) с помощью пошагового отбора методом исключения.

3. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

4. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

5. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Х_j.

6. Оцените качество построенной модели с помощью коэффициента детерминации, F-критерия Фишера.

7. Проверьте выполнение условия гомоскедастичности.

8. Используя результаты регрессионного анализа ранжируйте компании по степени эффективности.

9. Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х_j составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала.

10. Составьте уравнения нелинейной регрессии:

а) гиперболической;

б) степенной;

в) показательной.

11. Приведите графики построенных уравнений регрессии.

12. Для нелинейных моделей найдите коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравните модели по этим характеристикам и сделайте вывод о лучшей модели.

 

 

 

 

Таблица 1. Исходные данные

ОАО по добыче сырой нефти  и природного газа; предоставление услуг в этих областях	№ п/п	Прибыль (убыток)	Долгосрочные обязательства	Основные средства	Дебиторская задолженность (краткосрочная)
		Y	Х1	Х4	Х5
Аганнефтегазгеология, ОАО, многопрофильная компания	1	1 440 075	61 749	5 165 712	3 490 541
Азнакаевский горизонт, ОАО	2	5 146	17 532	19 595	23 014
Акмай,ОАО	3	13 612	20 268	81 072	8 678
Аксоль, ОАО, производственно-коммерческая фирма	4	964	211	8 446	4 821
Акционерная нефтяная компания "Башнефть", ОАО	5	19 513 178	52 034 182	47 002 385	23 780 450
АЛРОСА-Газ, ОАО	6	28 973	602 229	1 545 052	204 181
Арктическая газовая компания,ОАО	7	-780 599	311 268	740 437	1 456 438
Барьеганнефтегаз, ОАО	8	2 598 165	464 651	11 925 177	5 566 412
Белкамнефть,ОАО	9	628 091	214 411	2 580 485	4 285 041
Белорусское управление по повышению нефтеотдачи пластов и капитальному ремонту скважин, ОАО	10	29 204	12 039	269 908	624 393
Битран, ОАО	11	1 945 560	9 670	229 855	2 918 345
Богородскнефть, ОАО	12	366 170	287 992	349 643	484 537
Братсэкогаз, ОАО	13	-20 493	1 105 293	934 881	9 865
Булгарнефть,ОАО	14	381 558	27 265	697 664	196 045
Варьеганнефть,ОАО	15	1 225 908	431 231	2 231 651	1 095 263
Верхнечонскнефтьгаз, ОАО	16	3 293 989	37 315 847	23 170 344	2 477 424
Восточная транснациональная компания,ОАО	17	416 616	2 122 138	3 509 537	48 174
Восточно-Сибирская нефтегазовая,ОАО	18	-564 258	1 395 080	1 290 245	286 058
Геолого-разведочный исследовательский центр,ОАО	19	221 194	13 429	607 249	72 854
Грознефтьгаз,ОАО	20	701 035	75 554	4 616 250	1 304 084
Губкинский газоперерабатывающий комплекс,ОАО	21	62 200	22 195	991 114	294 575
Дагнефтьгаз,ОАО	22	123 440	12 350	438 262	44 889
Елабуганефть,ОАО	23	55 528	14 686	75 442	24 275
Иделойл,ОАО	24	422 070	52 443	1 269 731	140 535
Избербашнефть,ОАО	25	-468	239 255	10 870	114 444
Инвестиционная нефтяная компания,ОАО	26	225 452	1 292	227 132	272 147
Инга,ОАО	27	-61 237	924 951	110 970	76 561
Каббалкнефть,ОАО	28	-540	0	21 278	25 017
Калининграднефть,ОАО	29	40 588	1 638	139 209	18 072
Камчатгазпром,ОАО	30	53 182	54 758	113 113	496 994
Кировское нефтегазодобывающееуправление,ОАО	31	-210	8	12 685	602
Когалымнефтепрогресс,ОАО	32	63 058	235 731	873 886	474 612
Комнедра,ОАО	33	1 197 196	2 232 742	2 307 478	1 040 387
Кондурчанефть,ОАО	34	221 177	4 682	331 954	55 155
Корпорация"Югранефть",ОАО	35	1 548 768	84 262	1 138 707	7 613 662
Краснодарское опытно-экспериментальное  управление по повышению нефтеотдачи пластов и капитальному ремонту скважин,ОАО	36	-33 030	106	16 705	5 038
Ленинграсланец,ОАО	37	-34 929	103 567	393 717	61 353
Меллянефть,ОАО	38	115 847	275 386	517 290	122 062
МНКТ,ОАО	39	35 198	20 624	484 228	168 314
Мохтикнефть,ОАО	40	788 567	33 879	42 613	317 153
Научно-производственное объяединение"Спецэлектромеханика,ОАО	41	309 053	99 670	18 776	212 882
Научно-производственное предприятие"Бурсервис",ОАО	42	8 552	257	12 381	63 550
НГДУ"Пензанефть",ОАО	43	173 079	6 120	176 126	147 549
Негуснефть,ОАО	44	1 227 017	33 757	2 063 285	171 162
Ненецкая нефтяная компания,ОАО	45	701 728	381 050	59 353	237 083
Нефтебурсервис,ОАО	46	17 927	53 260	84 818	73 343
Нефтегазовая компания"Славнефть",ОАО	47	2 557 698	4 537 040	3 841 845	33 477 251
Нефтеразведка,ОАО	48	0	194 091	33 112	15 161
Нефть,ОАО	49	5 406	1 185	38 560	7 540
Нефтьинвест,ОАО	50	40 997	101 706	178 604	58 762

 

 

Решение.

Задание № 1.

Постройте диаграммы рассеяния, представляющие собой зависимости Y от каждого из факторов Х. Сделайте выводы о характере взаимосвязи переменных.

С помощью средств  MS excel построим диаграмму рассеяния. Возьмём данные из таблицы 1 и перенесём их в MS excel. Выделим область Y и X1 в области меню нажмём вставка->Точечная диаграмма. Такую же последовательность действий сделаем с Х4 и Х5. Результаты отразим на рисунках 1,2,3.

 

 

Рисунок1. Диаграмма рассеяния зависимости Y от фактора X1

Связь прямая и сильная (R²=0,752)

 

 

 

Рисунок2. Диаграмма рассеяния зависимости Y от фактора X4

 

Связь прямая и сильная (R²=0,878)

 

 

Рисунок 3. Диаграмма рассеяния зависимости Y от фактора X5

 

Связь прямая и слабая (R² = 0,428).

 

Задание №2. а) Корреляционный анализ данных.

Прибыль (убыток)  – это  зависимая переменная Y (тыс. руб.).

Независимые, объясняющие  переменные:

X₁ – долгосрочные обязательства, руб.;

X₄ – основные средства, руб.;

X₅  – дебиторская задолженность (краткосрочные), руб.

Количество наблюдений n = 50, количество объясняющих переменных m = 3.

Для проведения корреляционного  анализа используем инструмент Корреляция (надстройка Анализ данных Excel).

В результате будет получена матрица коэффициентов парной корреляции (табл. 2).

 

Таблица 2. Результат корреляционного анализа

 

Анализ показывает, что зависимая переменная, то есть прибыль (убыток), имеет весьма тесную связь с основными средствами (ryx₄ = 0,937) и тесную связь с долгосрочными обязательствами (ryx₁ = 0,867). Фактор Х₅ имеет слабую связь с зависимой переменной и его не рекомендуется включать в модель регрессии.

Затем перейдем к анализу  остальных столбцов матрицы с  целью выявления коллинеарности. Факторы Х₁ и Х₄ тесно связаны между собой (rx₁x₅ = 0,953), что свидетельствует о наличии коллинеарности.

Таким образом, на основе анализа  только корреляционной матрицы остаются два фактора – Основные средства и Долгосрочные обязательства (n = 50, k =2).

Одним из условий классической регрессионной модели является предположение  о независимости объясняющих переменных. Мультиколлинеарность приводит к неопределенности значений параметров и к неустойчивости их оценок. Неустойчивость выражается в увеличении статистической неопределенности, в связи с чем конкретные результаты оценки могут сильно различаться.

Для выявления мультиколлинеарности выполняем тест Фаррара–Глоубера по факторам Х_1, Х₄, Х₅.

 

1)Проверка  наличия мультиколлинеарности всего массива переменных

1. Построим матрицу межфакторных корреляций R₁ (табл. 3) и найдем ее определитель с помощью функции МОПРЕД.

 

Таблица 3. Матрица R₁

		X1	X4	X5
R1 =		Долгосрочные  обязательства	Основные средства	Дебиторская задолженность (краткосрочная)
X1	Долгосрочные  обязательства	1	0,952609806	0,507984957
X4	Основные средства	0,952609806	1	0,565025248
X5	Дебиторская задолженность (краткосрочная)	0,507984957	0,565025248	1

 

2. Вычислим наблюдаемое  значение статистики Фаррара–Глоубера по следующей формуле:

где n = 50 – количество наблюдений;

k = 3 – количество факторов.

Фактическое значение этого  критерия FG_набл сравниваем с табличным значением χ² при степени свободы и уровне значимости α = 0,05. Табличное значение χ² можно найти с помощью функции ХИ2ОБР (рис. 1).

 

Рис. 1. Получение табличного значения χ²

Так как FG_набл > FG_крит (131,09 > 7,81), то в массиве объясняющих переменных существует мультиколлинеарность.

 

2)Проверка  наличия мультиколлинеарности каждой переменной с другими переменными

1. Вычислим обратную матрицу.  Для этого воспользуемся функцией  МОБР и комбинацией клавиш  Ctrl+Shift+Enter для расчета по всему массиву данных.

		X1	X4	X5
		Долгосрочные  обязательства	Основные средства	Дебиторская задолженность (краткосрочная)
X1	Долгосрочные  обязательства	10,96621798	-10,72198798	0,487520145
X4	Основные средства	-10,72198798	11,95217291	-1,306670865
X5	Дебиторская задолженность (краткосрочная)	0,487520145	-1,306670865	1,49064913

 

2. Вычислим F-критерии _, где c_jj – диагональные элементы матрицы C:

 

3. Фактические значения F-критериев сравниваем с табличным значением (функция FРАСПОБР) F_табл = 2,807 при n₁ = 3 и n₂ = (n – k – 1) = 46 степенях свободы и уровне значимости α = 0,05, где k – количество факторов.

4. Так как F₁ > F_табл и F₄ > F_табл, то независимые переменные Х₁ и Х₄ мультиколлинеарны.

 

3)Проверка  наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных

1. Вычислим частные коэффициенты корреляции по формуле , где c_jj – элементы матрицы C:

 

2. Вычислим t-критерии по формуле :

t_1,4 = 18,028;

t_1,5 = -0,821;

t_4,5 = 2,211;

Фактические значения t-критериев сравниваются с табличным значением (функция СТЬЮДРАСПОБР) при степенях свободы (n – k – 1)=46 и уровне значимости α = 0,05: t_табл = 2,013. Так как | t_1,4 | > t_табл и r_1,4 = 0,936 "1, то между независимыми переменными Х₁ и Х₄ существует мультиколлинеарность.

Для того, чтобы избавиться от мультиколлинеарности, нужно исключить одну из переменных мультиколлинеарной пары Х₄, Х₆. Удалить следует переменную Х₄, так как у нее больше значение F-критерия. Следовательно, она больше влияет на общую мультиколлинеарность факторов.

Выводы, сделанные ранее только на основе корреляционной матрицы различаются с результатами теста Фаррара–Глоубера, после его выполнения делаем выбор в пользу двух факторов Х₁ и Х₅.

Получим следующую модель регрессии: Ŷ = 81259,86 + 0,2269Х₁ + 0,1394Х₅

 

б) Выбор факторных признаков для построения регрессионной модели методом исключения.

Для проведения регрессионного анализа используем инструмент Регрессия (надстройка Анализ данных в Excel).

На первом шаге строится модель регрессии по всем факторам:

Ŷ = - 165474,89  – 0,068Х₁  +  0,397Х₄  +  0,084Х₅

                            (0,05)      (0,06)       (0,03)

 

В скобках указаны значения стандартных ошибок коэффициентов  регрессии.

Фрагмент протокола регрессионного анализа приведен в табл. 4.

 

Таблица 4. Модель регрессии по трем факторам

 

После построения уравнения  регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент  при котором незначим и имеет  наименьший по абсолютной величине коэффициент t при 5%-ном уровне значимости, а именно Х₁. Все остальные регрессионные коэффициенты значимы, так как табличное значение критерия Стьюдента равно: t_табл (α = 0,01; df = n – k-1 = 46) = 2,69  и t_расч > t_табл

Таблица 5. Модель регрессии со значимыми факторами

 

Получаем уравнение регрессии, коэффициенты которого значимы не только при 5%-ном уровне значимости, но и при 1%-ном уровне значимости:

Ŷ = - 120917,83  +  0,32Х₄  +  0,09Х₅

                              _{(0,02)        (0,03)}

Сравнивая результаты   выбора факторных признаков для  построения регрессионной модели:  а) на основе анализа матрицы коэффициентов  парной корреляции с проверкой гипотезы о независимости объясняющих  переменных  на основе теста Фаррара–Глоубера  и б) методом исключения приходим к выводу о необходимости применения теста на выбор «длинной» и «короткой» регрессии.

Этот тест используется для  отбора наиболее существенных объясняющих  переменных. Иногда переход от большего числа исходных показателей анализируемой  системы к меньшему числу наиболее информативных факторов может быть объяснен дублированием информации, из-за сильно взаимосвязанных факторов. Стремление к построению более простой  модели приводит к идее уменьшения размерности модели без потери ее качества. Для этого используют тест проверки «длинной» и «короткой» регрессий.

Алгоритм проверки следующий:

1. Построим по МНК «длинную»  регрессию по всем факторам Х₁, Х_4, Х₅ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_длин.

2. Построим по МНК «короткую»  регрессию по факторам Х₁, Х₅ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_кор(2,6) и вычислим F-статистику.

3. Построим по МНК «короткую»  регрессию по факторам Х₄, Х₅ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_кор(4,6) и вычислим F-статистику.

4. Если F_набл > F_табл (α, ν₁ = q, ν₂ = n – k – 1), то выбираем «длинную» регрессию, в противном случае – «короткую» регрессию.

На основании данных сравним три модели – «длинную» (с факторами X₁, X₄, X₅) и две «короткие» (с факторами X₁, X₅ и Х₄, Х₅).

1) Построим «длинную»  регрессию по всем факторам X₂, X₄, X₆ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_длин , а также рассчитаем F_табл с помощью функции FРАСПОБР.

 

 

 

 

 

2) Построим «короткую» регрессию по факторам X₁, X₅ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_кор , а также вычислим F_{набл(1,5)} .

3) Построим «короткую» регрессию по факторам X₄, X₅ и найдем для нее сумму квадратов остатков ESS_кор , а также вычислим F_{набл(4,6)} .

4) Так как F_{набл(4,5)} < F_табл < F_{набл(1,5)} (2,08 < 4,052 < 44,30), выбираем «короткую» регрессию с факторами Х₄, Х_5.

Ŷ = - 120917,83  +  0,32Х₄  +  0,09Х₅

3. Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами.

Для учета влияния факторов, воздействующих на прибыль (убыток) от добычи сырой нефти и природного газа используется множественная регрессия:

  y_i = a₀ + a₁· x_i1 + a₂· x_i2 + … + a_j · x_ij +…+ a_m· x_im + ε_i ,

где i = 1,2,…,n – номер наблюдения,

      j = 1,2,…,m – номер фактора,

Уравнение множественной  регрессии рассчитываем с помощью  функции ЛИНЕЙН.

 

Ŷ = - 120 917,83  +  0,32Х₄  +  0,09Х₅

 

Коэффициент регрессии при  каждом из двух факторов характеризует  среднее изменение Прибыли (убытка) Y с изменением Основных средств X₄ и Дебиторской задолженности (краткосрочной) X₅ на одну единицу, при условии, что другой не изменяется. Например, величина, равная 0,09 (коэффициент при X₅), показывает, что при увеличении запасов готовой продукции и товаров для перепродажи на 1000 руб. прибыль увеличится на 0,09 тыс. руб.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, или из последней таблицы регрессионного анализа Вывод остатка (столбец Предсказанное Y).

 

4. Сравнительная оценка силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

 

 

Учитывая, что коэффициент  регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния  факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты:

Э₄ = 0,32 ´ 2467176,64 / 826148,04 = 0,81;

Э₅ = 0,09 ´ 1883334,96 / 826148,04 = 0,21.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении  фактора на один процент.

β₄ = 0,32 ´ 7413147,46 / 2811671,66 = 0,71;

β₅ = 0,09 ´ 5804522,84 / 2811671,66 = 0,19.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую  часть величины среднеквадратического  отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированных на постоянном уровне значениях остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении дебиторской задолженности на 5804522,84 тыс. руб. прибыль увеличится на 534217,60 тыс. руб. (0,19 × 2811671,66).

Долю влияния фактора  в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов D_j:

D₄ = 0,953 × 0,71 / 0,91 = 0,74;

D₅ = 0,508 × 0,19 / 0,91 = 0,106.

Вывод: на прибыль (убыток) более сильное влияние оказывает фактор Основные средства.

5. Расчет параметров линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Х_j.

Уравнение линейной регрессии  имеет следующий вид:

y_расч = a₀ + a₁·x

Найдем значения параметров модели:

…

y_расч = -50626,66 + 0,36∙х₄

С увеличением основных средств  Х₄ на 1 млн. руб. прибыль Y увеличится в среднем на 360 тыс. руб., что свидетельствует об эффективной работе предприятий по добыче сырой нефти и природного газа.

 

6. Оценка качества построенной модели с помощью коэффициента детерминации, F-критерия Фишера.

Для модели линейной парной регрессии:

– значение коэффициента детерминации можно вычислить по формуле:

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого фактора. Следовательно, вариация прибыли (убытка) Y на 87,8 % объясняется вариацией фактора X₄ – основных средств.

– значение F-критерия Фишера можно вычислить по формуле:

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности  α = 0,05 и числе степеней свободы, равном k₁= m =1 и k₂ = n - m -1= 50 - 1- 1=48 составляет 4,04.

Поскольку F_расч > F_табл, уравнение регрессии с вероятностью 0,95 следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.

 

 

 

 

 

7. Проверка выполнения условия гомоскедастичности.

Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех Х.

Проверка на гомоскедастичность осуществляется с помощью теста  Гольдфельда–Квандта.

График можно получить в отчете, который формируется  в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных.

 

Рис. 2. График остатков

 

1. Упорядочим переменную Y по возрастанию фактора X₄ (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка – по возрастанию X₄):

2. Уберем из середины  упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12 значений. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х₄.

3. Для каждой совокупности  выполним расчеты. Результаты  получены с помощью инструмента Регрессия поочередно к каждой из полученных совокупностей.

 

 

 

4. Найдем отношение полученных  остаточных сумм квадратов (в  числителе должна быть большая  сумма):

F_набл = 40418798738560,10 / 536978115257,97 =75,27.

5. Вывод о наличии гомоскедастичности  остатков делаем с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы , где р – число параметров уравнении регрессии:

Так как  , то подтверждается гетероскедастичность в остатках двухфакторной регрессии.

Проблема гетероскедастичности в большей степени характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Это можно объяснить следующим образом: при перекрестных данных учитываются экономические субъекты (потребители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны и т. п.), имеющие различные доходы, размеры, потребности. Но в этом случае возможны проблемы, связанные с эффектом масштаба. 

Во временных рядах обычно рассматриваются одни и те же показатели в различные моменты времени (например, ВНП, чистый экспорт, темпы инфляции и т. д. в определенном регионе за определенный период времени). Однако при увеличении (уменьшении) рассматриваемых показателей с течением времени может также возникнуть проблема гетероскедастичности.

 

8. Используя результаты регрессионного анализа, выполнение ранжирования компаний по степени эффективности.

Эффективность деятельности компаний по добыче сырой нефти и  природного газа определяется прибылью. Упорядочим переменные, воспользовавшись командой Данные – Сортировка – по возрастанию Прибыль (убыток).

…

Далее с помощью инструмента Регрессия проанализируем вывод остатка по нашим данным.

 

В результате по степени  эффективности:

– на первом месте находится предприятие №5;

– на втором месте находится предприятие №16;

– на третьем месте находится предприятие № 8.

 

 

 

 

 

 

9. Осуществление прогнозирования среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х_j составит 80% от его максимального значения. Представление на графике фактических данных Y, результатов моделирования, прогнозных оценок и границ доверительного интервала.

Прогнозируемое значение переменной получается при подстановке  в уравнение регрессии ожидаемых  значений объясняющего фактора Х.

Для того, чтобы осуществить прогноз, необходимо рассчитать интервалы, в которых будет находиться значение показателя. Воспользуемся формулой:

 

 

Расчет элементов данной формулы представлен ниже:

…

E53 = СУММ (E3:E52)

F53 = (B53-B54)^2

Регрессионная статистика:

   …  

Критерий Стьюдента = 1,68 (СТЬЮДРАСПОБР (0,1;48).

Стандартная ошибка (из Регрессионной  статистики) = 992604,61.

Интервал U по формуле = 1683248,20.

В результате получаем: -1733846,44 < Y_прогн < 1632649,97.

Таким образом, с вероятностью 90% прибыль (убыток) в среднем составит от -1733846,44 млн руб. до 1632649,97 млн руб. при основных средствах, составляющих 80% от максимального значения показателя.

 

Полученные данные представим на графике:

Рис.3. График прогноза показателя «Прибыль (убыток)» с помощью Мастера диаграмм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Составление уравнения нелинейной регрессии:

а) гиперболической;

б) степенной;

в) показательной.

а) Уравнение гиперболической модели:     

ŷ = a₀ + a₁ / x .

Для построения этой модели произведем ее линеаризацию путем замены переменных:  X= 1 / x .

Получим линейное уравнение  регрессии:

 ŷ = a₀ + a₁ ·X.

Далее рассчитаем параметры  модели с помощью регрессии.

Уравнение гиперболической  модели:

                        ŷ = 1069444 – 15776768621,62 / х

 

б) Уравнение степенной модели: 

             ŷ = a₀·x ^a1.

Произведем линеаризацию уравнения путем логарифмирования его обеих частей:

            lg ŷ = lg a₀ + a₁· lg x .

Обозначим:  Y = lg ŷ,  A = lg a₀ ,  X = lg x.         

С учетом этого получим линейное уравнение регрессии:     

            Y = A + a₁ · X

Далее рассчитаем параметры  модели.

 

Уравнение регрессии имеет  вид:

                                            Y = -7503314,6 + 652996,55·X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование   последнего уравнения:                   ŷ = 10^-7503314,6·x ^652996,55.

Тогда окончательно имеем  уравнение степенной модели:

                                    ŷ = 750331,46 · x^652996,55

 

в) Уравнение показательной  кривой:     

ŷ = a₀·a₁ ^x.

Для построения этой модели произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a₀ + x · lg a₁

Обозначим Y = lg ŷ,  A = lg a₀ ,  B = lg a₁.

Получим линейное уравнение  регрессии:  Y = A + B ·x .

Далее рассчитаем параметры  модели.

Уравнение будет иметь  вид: Y=11,03 + 0,0000017·x

Выполним потенцирование и перейдем к исходным переменным x и y:

                  ŷ = 10^11,03 · (10^0,0000017) ^x = 106 025 715 881,33· 1,00000038 ^x

 

 

11. Приведение графиков построенных уравнений регрессии.

 

 

 

 

 

 

12. Для нелинейных моделей нахождение коэффициентов детерминации и средних относительных ошибок аппроксимации. Сравнение модели по этим характеристикам и вывод о лучшей модели.

а) гиперболическая модель:

б) степенная модель:

в) показательная модель:

Для выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов  расчета:

Параметры Модель	Коэффициент детермин. R2	Средняя отн. Ошибка εотн
Линейная	0,878	0,028
Степенная	0,233	0,000
Показательная	0,172	1,99997
Гиперболическая	0,024	0,000054

 

Вывод. Большее значения коэффициента детерминации R² имеет линейная модель. По значению ошибки аппроксимации все модели практически одинаковы. Выбор сделаем в пользу линейной модели, т.к. по сравнению с другими она всё же самая лучшая.