Линейные балансовые модели в экономике

Линейные балансовые модели в экономике

 

Балансовая  модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую прибыль».

Например, чтобы  правильно отразить взаимосвязи  между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической  и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей.

Таким образом, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных ее видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведенной на предприятиях, относящихся к другим отраслям

I. Межотраслевой баланс

 

Балансовые  модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризующую связи между отраслями (экономическими объектами) экономической системы.

Предположим, что экономическая система состоит  из n         взаимосвязанных отраслей P₁, Р₂, ..., Р_n. Валовой продукт 
i-й отрасли обозначим через X_i (X₁ – валовой продукт P₁ 
Х₂ – валовой продукт Р₂, ..., Х_n валовой продукт Р_n). Конечный продукт каждой отрасли обозначим буквой Y с индексом, соответствующим ее номеру (Y_i - конечный продукт P_i). Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использует продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрикатов и т. п.

Пусть X_ij – затраты продукции i-й отрасли на производство продукции Р_j. Условно чистую продукцию i-й отрасли обозначим V_i.

Если  перечисленные показатели представлены в межотраслевом балансе в тоннах, литрах, километрах, штуках и т. д., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном, выражений. Мы же договоримся, что под X_i, У_j, V_j и X_ij будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость         соответствующей продукции. Такой баланс называется            стоимостным.

Всю информацию об экономической системе сведем в   таблицу – межотраслевой баланс (таблица).

 

Таблица

Анализ общей структуры межотраслевого баланса

 

Отрасли	P1	P2	…	Pi	…	Pn	Итого	Конечный продукт	Валовой продукт
P1	X11	X12	…	X1i	…	X1n	ΣX1j	Y1	X1
P2	X21	X22	…	X2i	…	X2n	ΣX2j	Y2	X2
…	…	…	…	I квадрант			…	II квадрант
Pi	Xi1	Xi2	…	Xii	…	Xin	ΣXij	Yi	Xi
…
Pn	Xn1	Xn2	…	Xni	…	Xnn	ΣXnj	Y1	X1
Итого	ΣXk1	ΣXk2	…	ΣXki	…	ΣXkn	ΣΣXkj	ΣYk	ΣXk
Условно чистая продукция	V1	V2	…	Vi	…	Vn	ΣVj	IV квадрант
			III квадрант
Валовой продукт	X1	X2	…	Xi	…	Xn	ΣXj

 

Первый квадрант. В таблице каждая отрасль представлена двояким образом. Как элемент строки, она выступает в роли поставщика производимой ею продукции, а как элемент столбца –  в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.

Если Р₁ – производство электроэнергии, а P₂ – угольная промышленность, то Х₁₂ – годовые затраты электроэнергии на производство угля, а Х₂₁ – аналогичные затраты угля на производство электроэнергии. Р₁ выступает как поставщик электроэнергии и как потребитель угля. Отрасль Р₁ является также потребителем собственной продукции. Электроэнергия стоимостью Х₁₁ денежных единиц используется внутри отрасли на обеспечение работы электротехники, на освещение производственных помещений и т. д. Аналогичный смысл имеет X₂₂ и все X_ii. В общем случае, Х_i1, Х_i2, ..., Х_ii, ..., Х_in – объемы поставок продукции i-й отрасли отраслям, входящим в экономическую систему. Сумма этих поставок

X_i1 + X_i2 +…+ X_in = Σ X_ij

выражает суммарное производственное   потребление   продукции Р_i и записывается в i-й строке (n + 1)-го столбца таблицы.

  В нашем примере

X₁₁ + X₁₂ +…+ X_1n = Σ X_1j

есть  суммарное производственное потребление  электроэнергии, а

X₂₁ + X₂₂ +…+ X_2n = Σ X_2j

– суммарные затраты угля на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему.

Посмотрим теперь на P_i как на элемент столбца. В столбце с номером _i расположены объемы текущих производственных затрат продукции отраслей, входящих в экономическую систему, на производство продукции i-й отрасли. В (n + 1)-й строке указанного столбца записана сумма текущих производственных затрат Р_i за год:

= X_1i + X_2i + … +X_ni

 

Просуммировав первые n элементов (n + 1)-й строки, получим величину текущих производственных затрат всех отраслей:

+ +…+ +…+ =  (1)

Сумма первых n элементов (n + 1)-го столбца

+ +…+ +…+ =  (2)

есть  стоимость продукции всех отраслей, которая была использована на текущее производственное потребление.

Нетрудно  убедиться в том, что суммы (1) и (2) состоят из одних и тех же слагаемых (всех X_kj) и поэтому равны между собой:

=                     (3)

Равенство (3) означает, что текущие производственные      затраты всех  отраслей равны   их  текущему  производственному  потреблению. Число есть так называемый промежуточный продукт экономической системы.

Элементы, стоящие на пересечении первых (n + 1) строк и первых (n + 1) столбцов, образуют первый квадрант (четверть). Это важнейшая часть межотраслевого баланса, поскольку именно в ней содержится информация о межотраслевых связях.

Второй квадрант расположен в таблице справа от первого. Он состоит из двух столбцов. Первый из них – столбец конечного потребления продукции отраслей. Под конечным потреблением понимают личное и общественное потребление, не идущее на текущие производственные нужды. Сюда включаются накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата и оборону, затраты по обслуживанию населения (здравоохранение, просвещение и т. д.), сальдо экспорта и импорта продукции. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей. Суммарный (валовой) выпуск i-й отрасли определяется как

                        (4)

Равенство (4) означает, что вся произведенная i-й отраслью продукция потребляется. Часть ее, в форме суммарного производственного потребления продукции P_i идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.

Так, часть продукции угольной промышленности, как мы уже отмечали, используется внутри экономической системы, а другая – в качестве сырья, топлива – будет потреблена отраслями, не вошедшими в состав экономической системы, и составит часть экспорта страны, пойдет на отопление жилищ и т. п.

Квадранты I и II отражают баланс между производством и потреблением.

Ко второму  квадранту относится также и  та часть (n+1)-й строки, в которой расположены суммарный конечный продукт

и суммарный  валовой продукт

Третий квадрант расположен в таблице под первым. Он состоит из двух строк. Одна из них содержит объем валового продукта по отраслям, а другая – условно чистую продукцию отраслей V₁, V₂ ,..., V_n. В состав условно чистой продукции входят амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов, заработная плата, прибыль и т.д.

Она определяется как разность между  валовым продуктом отрасли и  суммой ее текущих производственных затрат. Так, для Р_i имеет место равенство

                        (5)

Первый  и третий квадранты отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли. Так, равенство (5) показывает, что стоимость валового продукта X_i i-й отрасли складывается из стоимости той части продукции отраслей системы, которая была использована для производства Х_i, из амортизационных отчислений, затрат на оплату труда, из чистого дохода отрасли, из стоимости ресурсов, не производящихся внутри экономической системы, и т.д.

Используя равенства (4) и (5), подсчитаем суммарный  валовой продукт.

Из (4) следует, что

   (6)

а из (5) получаем:

                      (7)

Вторые  слагаемые в правых частях равенств (6) и (7) выражают одну и ту же величину – промежуточный продукт. Отсюда и из равенства левых частей (6) и (7) делаем вывод о равенстве первых слагаемых:

=                    (8)

Итак, суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.

 

Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому мы его заполнять не будем.

В IV квадранте показывается, как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная плата, личные доходы членов кооперативов, денежное довольствие военнослужащих и т. д.), государства (налоги, прибыль с производства государственного сектора и т. д.), кооперативных и других предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-политические организации и т. д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т. д.

 

 

Выводы:

1. Межотраслевой  баланс – это таблица,  характеризующая 
   связи между экономическими объектами, входящими в                      экономическую систему.
2. Различают межотраслевой баланс в натуральном и       стоимостном выражении.
3. Межотраслевой   баланс   состоит   из   четырех   квадрантов. I квадрант – его важнейшая часть. В нем содержится информация о межотраслевых связях.
4. Вся произведенная внутри экономической системы       продукция потребляется. Часть ее в форме суммарного производственного потребления идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.
5. I и II квадранты отражают баланс между производством и 
   потреблением.
6. I  и III   квадранты отражают стоимостную структуру        продукции каждой отрасли.
7. Суммарный   конечный   продукт   равен   суммарной   условно чистой продукции.
8. Межотраслевой баланс был построен по данным отчетного 
   периода (например, истекшего года),
9. С   построением   балансовой таблицы   завершается   первый этап  решения задачи  методом математического моделирования: выявлены   объекты   изучения,   установлены   существенные связи между ними, собрана статистическая информация.

Основные соотношения

– баланс между производством потреблением.

–  стоимостная структура продукции i-ой отрасли

– равенство суммарного конечного продукта и суммарной условно  
чистой продукции.

4. – промежуточный продукт экономической системы.

 

Пример.

Завершим  составление баланса, располагая следующими данными об экономической системе, состоящей из трех   экономических объектов (например, Р₁ – промышленность, Р₂ – сельское хозяйство, Р₃ – транспорт). Прочерки в таблице означают, что X₂₂= X₃₁=0.

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50			200	300
P2	10	-	40			500
P3	-				240
Σ				310
V		390
X

 

 

Решение.

 

1. Используем  баланс  между производством  и потреблением продукции Р₁, для отыскания , а затем и X₁₃:

2. Аналогично, используя баланс между производством и  потреблением продукции Р₂, найдем  V₂, предварительно подсчитав .

3. Значения   X₁   и   Х₂   запишем   на   первых   двух   местах   в последней строке таблицы (строка X). Таблица принимает вид:

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-				240
Σ				310
V		390
X	300	500

4. Найдем теперь 

(использовали соотношение между элементами столбца Σ)

(использован  баланс между производством и потреблением продукции P₃).

6. Теперь запишем величину X₃ в столбец X и строку X.
7. Суммарные затраты  всех трех отраслей  на   производство

продукции первой отрасли  запишем на первом месте в строке Σ.

8. Теперь  можно  найти условно чистую  продукцию   V_l  как разность  между валовым   выпуском  и  суммарными затратами   :  

Таблица принимает вид:

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-			160	240	400
Σ	30			310
V	270	390
X	300	500	400

 

9. Из   равенства   между   суммарным   конечным   продуктом   и суммарной условно чистой продукцией получаем величину
10. Теперь, когда строки  V и X полностью заполнены, можно определить суммарные затраты на производство продукции второй и третьей отраслей:

11. Завершит составление баланса вычисление затрат продукции третьей отрасли на производство продукции Р₂ и на собственные производственные нужды P₃:

Окончательно  получаем:

 

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-	60	100	160	240	400
Σ	30	110	170	310
V	270	390	230
X	300	500	400

 

 

II. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства

Как известно, при построении математической модели конкретного объекта или процесса невозможно учесть все многообразие его свойств, связей, особенностей. В первую очередь все сказанное относится к экономико-математическому моделированию. Это связано со сложностью, многогранностью изучаемого объекта, с большим количеством самых разнообразных зависимостей между его отдельными элементами. Поэтому построению математической модели предшествует этап выделения главных, существенных связей, которые и будут в дальнейшем изучаться. Здесь же формулируется цель построения модели.

Основные предположения  о свойствах экономической системы

1. Экономическая система состоит из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может быть охарактеризовано одним числом.

Мы  договорились под экономическими объектами  понимать чистые отрасли. Поэтому в  качестве такого числа разумно использовать валовой выпуск отрасли в натуральном или стоимостном выражении. В силу принятого выше условия будем в дальнейшем считать, что все характеристики, в том числе и валовой выпуск, представлены в стоимостном выражении (т. е. в рублях, тыс. руб., млн. руб. и т. п.).

Итак, в качестве характеристики выпускаемой  каждым экономическим объектом продукции выбираем ее валовой выпуск:

P₁→X₁ P₂→X₂…P_n→X_n

2. Комплектность потребления: для выпуска данного количества продукции X_i экономический объект Р_i должен получить строго определенное количество продукции других объектов:

                                                                                                                           

                                                                    X_i

Вспомним, что под X_ki мы понимаем стоимость той части продукции k-й отрасли P_k, которую должна использовать Р_i в качестве сырья, полуфабрикатов, топлива и т.д., чтобы обеспечить выпуск своей продукции в объеме X_i.

3. Линейность: увеличение выпуска продукции в некоторое число раз k требует увеличения потребления экономическим объектом всех указанных в п. 2 продуктов также в k раз. Другими словами, нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции. Для того чтобы Р_i выпустила валовой продукции стоимостью в одну денежную единицу, она должна получить от отраслей системы продукции на а_1i, а_2i, ..., а_ni денежных единиц, а для обеспечения всего валового выпуска i-й отрасли потребуется соответственно

            

         (1)

продукции отраслей системы.

Аналогичные соотношения имеют место для  всех отраслей:

          (2)

Функции вида (2) – однофакторные производственные функции, представленные как функции затрат.

Все n² указанных функций линейны относительно объема выпускаемой продукции. Поэтому мы и говорим о линейных балансовых моделях.

Коэффициенты пропорциональности а_ij называют технологическими коэффициентами или коэффициентами прямых внутрипроизводственных затрат.

4. Выпускаемая каждым экономическим объектом продукция частично потребляется другими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребление), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в форме конечного продукта):

       (3)

Построение балансовой  модели

Используя предположения 1–4, производственные функции (2) и балансовые уравнения (3), приходим к линейной балансовой модели:

            (4)

 

Как мы видим, система (4) содержит n² + 2n величин: n² технологических коэффициентов а_ij, n конечных продуктов Y_i и n валовых продуктов X_j. Система линейна как относительно X_j, так и относительно Y_i.

 

III. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели

Эта математическая модель имеет вид  системы n линейных уравнений с 2n неизвестными. Первая группа неизвестных X₁, X₂,…, X_n представляет объемы валовой продукции экономических объектов P₁, P₂,…, P_n,   которую   предстоит   произвести   в   планируемом периоде. Вторую группу Y₁, Y₂,…, Y_n составляют конечные продукты P₁, P₂,…, P_n, т. е. та часть валовой (или суммарной) продукции, которая в будущем пойдет на личное потребление, а также на производственное потребление за пределами изучаемой экономической системы (в других отраслях, регионах, странах).

Технологические коэффициенты а_ij считаем известными. А именно предполагаем, что они имеют те же значения, что и в отчетном периоде.

Если  в системе (4) задать любые n из 2n неизвестных, то получим систему n линейных уравнений относительно оставшихся n = 2n - n неизвестных.

В связи  с этим возникают следующие три основные задачи:

 

1. По данному вектору-столбцу X,  который  будем  называть вектором-столбцом объемов производства, найти вектор-столбец конечной продукции Y.
2. Обратная задача: по заданному вектору Y  найти вектор X.
3. Смешанная  задача:   зная   значения   части   X_i  и   Y_j,   найти соответствующие Y_i и X_j.

Получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат

Технологические коэффициенты, или, как их еще называют, коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат а_ij показывают, какое количество продукта i-й отрасли надо затратить на производство единицы валового продукта j-й отрасли. Коэффициенты прямых затрат считаются постоянными величинами в статических межотраслевых моделях.

Прежде  всего возникает вопрос о том, каким образом можно получить значения коэффициентов а_ij.

Есть  два основных пути.

1. Статистический. Коэффициенты а_ij определяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигается подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно крупных отраслей коэффициенты а_ij оказываются достаточно устойчивыми.

где X_ij и X_j взяты из отчетного баланса.

2. Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокупность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Определив коэффициенты а_ij, можно использовать систему (4) для решения сформулированных выше задач 1 – 3.

Технологические коэффициенты а_ij обладают следующими свойствами:

 

Пример. Используя отчетный баланс:

1. Найдите а_ij.
2. Постройте систему балансовых уравнений.
3. По вектору Y = (10, 20) найдите вектор X.
4. Найдите вектор Y , если X=(50,100).

 

	P1	P2	Σ	Y	X
P1	5	12	17	23	40
P2	6	12	18	32	50