Логические основы теории аргументации. 2

2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: ЛОГИКА

Логические основы теории аргументации

Контрольная работа студентки группы ИЮБ-11/ 3с:

                                                                             Преподаватель:

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. /1.1 Понятие доказательства…………………………………………………3

     1.2 Структура доказательства: тезис, аргументы, демонстрация…………5

     1.3 Виды аргументов…………………………………………………………5

2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательства……………………………6

3. Понятие опровержения……………………………………………………….9

     3.1 Опровержение тезиса…………………………………………………….8

     3.2 Критика аргументов……………………………………………………...10

     3.3 Выявление несостоятельности демонстрации………………………….11

4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях…………………………………………...11

     4.1 Правила по отношению  к тезису………………………………………11

     4.2 Ошибки относительно доказываемого тезиса………………………….12

     4.3 Правила по отношению к аргументам………………………………….13

     4.4 Ошибки в основаниях (аргументах) доказательства…………………..14

     4.5 Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации)..14

     4.6 Ошибки в форме доказательства………………………………………..14

5. Понятие о софизмах и логических парадоксах……………………………..16

     5.1 Понятие о логических парадоксах………………………………………17

     5.2 Парадоксы теории множеств…………………………………………….17

6. Искусство ведения дискуссии………………………………………………..18

Литература…...…………………………………………………………………..24

                        1. Понятие доказательства

1.1

     Познание отдельных предметов, их свойств начинается с чувственных форм (ощущений и восприятий). Мы видим, что этот дом еще не достроен, ощущаем вкус горького лекарства и т.д. Открываемые этими формами ис-тины не подлежат особому доказательству, они очевидны. Однако во мно-гих случаях, например, на лекции, в сочинении, в научной работе, в докла-де, в ходе полемики, на судебных заседаниях, на защите диссертации и во многих других, нам приходится доказывать, обосновывать высказываемые нами суждения.

     Доказательность — важное качество правильного мышления. Доказа-тельство связано с аргументацией, но они не тождественны.

     Аргументация — способ рассуждения, включающий доказательство и опровержение, в процессе которого создается убеждение в истинности тезиса и ложности антитезиса как у самого доказывающего, так и у оппо-нентов; обосновывается целесообразность принятия тезиса с целью выра-ботки активной жизненной позиции и реализации определенных про-грамм действий, вытекающих из доказываемого положения. Понятие «ар-гументация» богаче по содержанию, чем понятие «доказательство»: целью доказательства является установление истинности тезиса, а целью аргумен-тации — еще и обоснование целесообразности принятия этого тезиса, по-каз его важного значения в данной жизненной ситуации и т.п. В теории ар-гументации «аргумент» также понимается шире, чем в теории доказатель-ства, ибо в первой имеются в виду не только аргументы, подтверждающие истинность тезиса, но и аргументы, обосновывающие целесообразность его принятия, демонстрирующие его преимущества по сравнению с други-ми подобными утверждениями (предложениями). Аргументы в процессе аргументации гораздо разнообразнее, чем в процессе доказательства.

     Форма аргументации и форма доказательства также не совпадают полностью. Первая, как и последняя, включает в себя различные виды умозаключений (дедуктивные, индуктивные, по аналогии) или их цепь, но, кроме того, сочетая доказательство и опровержение, предусматривает обоснование. Форма аргументации чаще всего носит характер диалога, ибо аргументирующий не только доказывает свой тезис, но и опровергает антитезис оппонента, убеждая его и/или являющуюся свидетелем дискуссии аудиторию в правильности своего тезиса, стремится сделать их своими единомышленниками.

     Диалог как наиболее аргументированная форма ведения беседы пришел
к нам из древности (так, Древняя Греция — родина диалогов Платона, техники спора в форме вопросов и ответов Сократа и т.п.). Но диалог — это
внешняя форма аргументации: оппонент может только мыслиться (что
особенно наглядно проявляется в письменной аргументации). Внутренняя
форма аргументации представляет собой цепь доказательств и опровержений аргументирующего в процессе доказательства им тезиса и осуществления убеждения. В процессе аргументации выработка убеждений у собеседника или аудитории часто связана с их переубеждением. Поэтому в аргументации велика роль риторики в ее традиционном понимании как искусства красноречия. В этом смысле до сих пор представляет интерес «Риторика» Аристотеля, в которой наука о красноречии рассматривается как теория
и практика убеждения в процессе доказательства истинности тезиса. «Слово есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно
незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх
изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить», — писал древнегреческий ученый Горгий об искусстве аргументации. Не было периода в истории, когда бы люди не аргументировали.
Без аргументации высказываний невозможно интеллектуальное общение,
ибо она — необходимый инструмент познания истины.

     Теория доказательства и опровержения является в современных условиях средством формирования научно обоснованных убеждений. В науке ученым приходится доказывать самые различные суждения, например, суждения о том, что существовало до нашей эры, к какому периоду относятся предметы, обнаруженные при археологических раскопках, об атмосфере планет Солнечной системы, о звездах и галактиках Вселенной, теоремы математики, суждения о направлениях развития элек-тронной техники, о возможности долгосрочных прогнозов погоды, о тайнах Мирового океана и космоса. Все эти суждения должны быть научно обоснованы.

    Доказательство — это совокупность логических приемов обоснования истинности тезиса. Доказательство связано с убеждением, но не тождествен-но ему: доказательства должны основываться на данных науки и обществен-но-исторической практики, убеждения же могут быть основаны, например, на религиозной вере, на предрассудках, на неосведомленности людей в во-просах экономики и политики, на видимости доказательности, основанной на различного рода софизмах. Поэтому убедить — еще, не значит доказать.

1.2 Структура доказательства: тезис, аргументы, демонстрация

     Тезис — это суждение, истинность которого надо доказать. Аргументы - это- те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса. Формой доказательства, или демонстрацией, называется способ логической связи между тезисом и аргументами.

     Приведем пример доказательства. Поль С. Брэгг высказал такой тезис: «Купить здоровье нельзя, его можно только заработать своими собственны-ми постоянными усилиями». Этот тезис он обосновывает так: «Только упорная и настойчивая работа над собой позволит каждому сделать себя энергичным долгожителем, наслаждающимся бесконечным здоровьем. Я сам заработал здоровье своей жизнью. Я здоров 365 дней в году, у меня не бывает никаких болей, усталости, дряхлости тела. И вы можете добиться таких же результатов!»

1.3 Виды аргументов

     Различают несколько видов аргументов:

1. Удостоверенные единичные факты. К такого рода аргументам относит-ся так называемый фактический материал, т.е. статистические данные о на-селении, территории государства, выполнении плана, количестве вооружения-, свидетельские показания, подписи на документах, научные данные, научные факты. Роль фактов в обосновании выдвинутых положений, в том числе научных, велика.

     Факты — воздух ученого. Без них вы никогда не сможете взлететь. Без них ваши «теории» — пустые потуги.

2. Определения как аргументы доказательства. Определения понятий обычно даются в каждой науке. Правила определения и виды определений понятий были рассмотрены в теме «Понятие», и там же были приведены многочисленные примеры определений понятий различных наук: матема-тики, химии, биологии, географии и пр.

3. Аксиомы. В математике, механике, теоретической физике, математи-ческой логике и других науках, кроме определений, вводят аксиомы. Акси-омы — это суждения, которые принимаются в качестве аргументов без до-казательства.

4. Ранее доказанные законы науки и теоремы как аргументы доказательст-ва. В качестве аргументов доказательства могут выступать ранее доказан-ные законы физики, химии, биологии и других наук, теоремы математики (как классической, так и конструктивной). Юридические законы являются аргументами в ходе судебного доказательства.

     В ходе доказательства какого-либо тезиса может использоваться не один, а несколько из перечисленных видов аргументов.

2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательства

     Доказательства по форме делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т.е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргумента-ми. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) не-обходимо следует доказываемый тезис q. По этому типу проводятся доказа-тельства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьни-ков, при изложении материала учителем и т.д.

     Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях, в художественной и дру-гой литературе.

     Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса «Народ — творец истории» показывает, во-первых, что народ является создателем матери-альных благ, во-вторых, обосновывает огромную роль народных масс в по-литике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-третьих, раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

     В современном журнале мод «Бурда» тезис «Зависть — корень всех зол» обосновывается с помощью прямого доказательства следующими аргумента-ми: «Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может при-вести и к более серьезным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера.

     Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Человек зави-дует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то более повезло».

     Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства лож-ности антитезиса. Если тезис обозначить буквой а, то его отрицание (ā) бу-дет антитезисом, т.е. противоречащим тезису суждением.

     Апагогическое косвенное доказательство (или доказательство «от против-ного») осуществляется путем установления ложности противоречащего те-зису суждения. Этот метод часто используется в математике.

     Пусть а — тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т.е. истинно не-а (или ā). Из допущения ā выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем а V ā, при этом ā — ложно, значит, истинно его отрицание, т/е. ā, которое по закону двузначной классической логики (ā → а) дает а. Значит, истинно а, что и требовалось доказать.

     Следует заметить, что в конструктивной логике формула ā → а не яв-ляется выводимой, поэтому в этой логике и в конструктивной математи-ке ею пользоваться в доказательствах нельзя. Закон исключенного тре-тьего здесь также «отвергается» (не является выводимой формулой), по-этому косвенные доказательства здесь не применяются. Примеров дока-зательства «от противного» очень много в школьном курсе математики. Так, например, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом «от противного» доказывается и следующая теорема: «Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они парал-лельны». Доказательство этой теоремы прямо начинается словами: «Предположим противное, т.е. что прямые АВ и CD не параллельны».

     Разделительное доказательство (методом исключения). Антитезис являет-ся одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы, например:

Преступление мог совершить либо А, либо В, либо С.

Доказано, что не совершали преступление ни А, ни В.

       Преступление совершил С.

     Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказа-тельства ложности всех членов разделительного суждения, кроме одного.

     Здесь применяется структура отрицающе-утверждающего модуса раздели-тельно-категорического силлогизма. Заключение будет истинным, если в раз-делительном суждении предусмотрены все возможные случаи (альтернати-вы), т.е. если оно является закрытым (полным) дизъюнктивным суждением:

     Как отмечалось ранее, в этом модусе союз «или» может употребляться и как строгая дизъюнкция (), и как нестрогая дизъюнкция (v), поэтому ему отвечает также схема:

3. Понятие опровержения

     Опровержение — логическая операция установления ложности или нео-боснованности ранее выдвинутого тезиса.

     Опровержение должно показать, что: 1) неправильно построено само доказательство (аргументы или демонстрация); 2) выдвинутый тезис ложен или не доказан.

     Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опроверже-ния. Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргу-ментами опровержения.

     Существуют три способа опровержения: I) опровержение тезиса (прямое и косвенное); II) критика аргументов; Ш) выявление несостоятельности демонстрации.

3.1 Опровержение тезиса

     Опровержение тезиса осуществляется с помощью следующих трех спо-собов (первый — прямой способ, второй и третий — косвенные способы).

     1. Опровержение фактами — самый верный и успешный способ опровер-жения. Ранее говорилось о роли подбора фактов, о методике оперирования ими; все это должно учитываться и в процессе опровержения фактами, противоречащими тезису. Должны быть приведены действительные собы-тия, явления, статистические данные, которые противоречат тезису, т.е. оп-ровергаемому суждению. Например, чтобы опровергнуть тезис «На Венере возможна органическая жизнь», достаточно привести такие данные: темпе-ратура на поверхности Венеры 470-480°С, а давление — 95-97 атмосфер. Эти данные свидетельствуют о том, что жизнь на Венере невозможна.

     2. Устанавливается ложность (или противоречивость) следствий, вытекаю-щих из тезиса. Доказывается, что из данного тезиса вытекают следствия, противоречащие истине. Этот прием называется «сведение к абсурду» (reductio ad absurdum). Поступают так: опровергаемый тезис временно при-знается истинным, но затем из него выводятся такие следствия, которые противоречат истине.

     В классической двузначной логике (как уже отмечалось) метод «сведе-ния к абсурду» выражается в виде формулы:

  ā = а → F

   Df

     где F — противоречие или ложь.

     В более общей форме принцип «сведения (приведения) к абсурду» выра-жается такой формулой: (а →  b) → ((а →) → ā).

     3. Опровержение тезиса через доказательство антитезиса. По отношению к опровергаемому тезису (суждению а) выдвигается противоречащее ему суждение (т.е. не-а), и суждение не-а (антитезис) доказывается. Если антитезис ис-тинен, то тезис ложен, и третьего не дано по закону исключенного третьего.

     Например, надо опровергнуть широко распространенный тезис «Все собаки лают» (суждение А, общеутвердительное). Для суждения А противо-речащим будет суждение О — частноотрицательное: «Некоторые собаки не лают». Для доказательства последнего достаточно привести несколько при-меров или хотя бы один пример: «Собаки у пигмеев никогда не лают». Итак, доказано суждение О. В силу закона исключенного третьего, если О — истинно, то А — ложно. Следовательно, тезис опровергнут.

3.2 Критика аргументов

     Подвергаются критике аргументы, которые были выдвинуты оппонен-том в обоснование его тезиса. Доказывается ложность или несостоятель-ность этих аргументов.

     Ложность аргументов не означает ложности тезиса: тезис может оставаться истинным.

     Нельзя достоверно умозаключать от отрицания основания к отрицанию следствия, Но бывает достаточно показать, что тезис не доказан. Иногда бывает, что тезис истинен, но человек не может подобрать для его доказа-тельства истинные аргументы. Случается и так, что человек не виновен, но не имеет достаточных аргументов для доказательства этого. В ходе опро-вержения аргументов следует об этих случаях помнить.

3.3 Выявление несостоятельности демонстрации

     Этот способ опровержения состоит в том, что показываются. ошибки
в форме доказательства. Наиболее распространенной ошибкой является та, что истинность опровергаемого тезиса не вытекает, не следует из аргументов, приведенных в подтверждение тезиса. Доказательство может быть неправильно построенным, если нарушено какое-либо правило дедуктивного умозаключения или сделано «поспешное обобщение», т.е. неправильное умозаключение от истинности суждения I к истинности суждения А (ана-логично, от истинности суждения О к истинности суждения Е).

     Но обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опровергаем ее ход, но не опровергаем сам тезис. Задача же доказательства истинности тезиса лежит на том, кто его выдвинул.

     Часто все перечисленные способы опровержения тезиса, аргументов, хода доказательства применяются не изолированно, а в сочетании друг с другом.

4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях

     Если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных ниже правил, то могут произойти ошибки относительно доказываемого тезиса, ошибки по отношению к аргументам и ошибки в форме доказательства.

4.1 Правила по отношению  к тезису

     1. Тезис должен быль логически определенным, ясным и точным. Иногда люди в своем выступлении, письменном заявлении, научной статье, докла-де, лекции не могут четко, ясно, однозначно сформулировать тезис. Так, выступающий на собрании не может четко сформулировать основные по-ложения своего выступления и потому веско аргументировать их перед слу-шателями. И слушатели недоумевают, зачем он выступал в прениях и что хотел им доказать.

     2. Тезис должен оставаться тождественным, т.е. одним и тем же, на протя-жении всего доказательства или опровержения. Нарушение этого правила ведет к логической ошибке — «подмене тезиса».

4.2 Ошибки относительно доказываемого тезиса

     l. «Подмена тезиса». Тезис должен быть ясно сформулирован и оставать-ся одним и тем же на протяжении всего доказательства или опроверже-ния — так гласят правила по отношению к тезису. При нарушении их воз-никает ошибка, называемая «подменой тезиса». Суть ее в том, что один тезис умышленно или неумышленно подменяют другим и начинают этот новый тезис доказывать или опровергать. Это часто случается во время спора, дискуссии, когда тезис оппонента сначала упрощают или расширяют его содержание, а затем начинают критиковать. Тогда тот, кого критикуют, заявляет, что оппонент «передергивает» его мысли (или слова), приписывает ему то, чего он не говорил. Ситуация эта весьма распространена, она встречается и при защите диссертаций, и при обсуждении опубликованных научных работ, и на различного рода собраниях и заседаниях, и при редактировании научных и литературных статей.

     Здесь происходит нарушение закона тождества, так как нетождественные тезисы пытаются отождествлять, что и приводит к логической ошибке.

     2. «Довод к человеку». Ошибка состоит в подмене доказательства самого тезиса ссылками на личные качества того, кто выдвинул этот тезис. Например, вместо того чтобы доказывать ценность и новизну диссертационной работы, говорят, что диссертант — заслуженный человек, он много потрудился над диссертацией и т.д. Разговор классного руководителя с учителем, например русского языка, об оценке, поставленной ученику, иногда сводится не к аргументации, что данный ученик заслужил эту оценку своими знаниями, а к ссылкам на личные качества ученика: добросовестен в учебе, много болел в этой четверти, по всем другим предметам он успевает и т.д.

     В научных работах иногда вместо конкретного анализа материала, изучения современных научных данных и результатов практики в подтверждение приводят цитаты из высказываний крупных ученых, видных деятелей и этим ограничиваются, полагая, что одной ссылки на авторитет достаточно. Причем цитаты могут вырываться из контекста и иногда произвольно трактоваться. «Довод к человеку» часто представляет собой просто софистический прием, а не ошибку, допущенную непреднамеренно.

     Разновидностью «довода к человеку» является ошибка, называемая «довод к публике», состоящая в попытке повлиять на чувства людей, чтобы те поверили в истинность выдвинутого тезиса, хотя его и нельзя доказать.

     3. «Переход в другой род». Имеются две разновидности этой ошибки:
а) «кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает»; б) «кто
слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает».

     В первом случае ошибка возникает тогда, когда вместо одного истинного тезиса пытаются доказать другой, более сильный тезис, и при этом второй тезис может оказаться ложным. Если из а следует b, но из b не следует
а, то тезис а является более сильным, чем тезис b. Например, если вместо того чтобы доказывать, что этот человек не начинал первым драку, начина-ют доказывать, что он и не участвовал в драке, то этим ничего не смогут до-казать, если этот человек действительно дрался и это видели свидетели.

     Ошибка «кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает» воз-никает тогда, когда вместо тезиса а мы докажем более слабый тезис b. На-пример, если, пытаясь доказать, что это животное — зебра, мы доказыва-ем, что оно полосатое, то ничего не докажем, ибо и тигр — тоже полосатое животное.

4.3 Правила по отношению к аргументам

     1) Аргументы, приводимые для доказательства тезиса, должны быть истинными и не противоречащими друг другу.

     2) Аргументы должны быть достаточным основанием для доказа-тельства тезиса.

     3) Аргументы должны быть суждениями, истинность которых дока-зана самостоятельно, независимо от тезиса.

4.4 Ошибки в основаниях (аргументах) доказательства

     1. Ложность оснований («основное заблуждение»). В качестве аргументов берутся не истинные, а ложные суждения, которые выдают или пытаются выдать за истинные. Ошибка может быть непреднамеренной. Например, до Коперника ученые считали, что Солнце вращается вокруг Земли и, ис-ходя из этого ложного аргумента, строили свои теории. Ошибка может быть и преднамеренной (софизмом) с целью запутать, ввести в заблужде-ние других людей (например, дача ложных показаний свидетелями или об-виняемыми в ходе судебного расследования, неправильное опознание ве-щей или людей и т.п., из чего затем делаются ложные заключения).

     2. «Предвосхищение оснований». Аргументы не доказаны, а тезис опира-ется на них. Недоказанные аргументы только предвосхищают, но не дока-зывают тезис.

     3. «Порочный круг». Ошибка состоит в том, что тезис обосновывается ар-гументами, а аргументы обосновываются этим же тезисом. Например, К. Маркс вскрыл эту ошибку в рассуждениях Д. Уэстона, одного из деятелей английского рабочего движения. Маркс пишет: «Итак, мы начинаем с за-явления, что стоимость товаров определяется стоимостью труда, а кончаем заявлением, что стоимость труда определяется стоимостью товаров. Таким образом, мы поистине вращаемся в порочном кругу и не приходим ни к какому выводу».

4.5 Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации)

     Тезис должен быть заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или полученным в соответствии с пра-вилами косвенного доказательства.

4.6 Ошибки в форме доказательства

          1. Мнимое следование. Если тезис не следует из приводимых в его подтверждение аргументов, то возникает ошибка, называемая «не вытекает», «не следует». Люди иногда вместо правильного доказательства соединяют аргументы с тезисом посредством слов «следовательно», «итак», «таким образом», «в итоге имеем» и т.п., полагая, что они установили логическую связь между аргументами и тезисом. Эту логическую ошибку часто неосознанно допускает тот, кто не знаком с правилами логики и полагается только на свой здравый смысл и интуицию. В результате возникает словесная видимость доказательства.

          2. От сказанного с условием к сказанному безусловно. Аргумент, истинный только с учетом определенного времени, отношения, меры, нельзя приво-дить в качестве безусловного, верного во всех случаях. Так, если кофе поле-зен в небольших дозах (для поднятия артериального давления, например), то в больших дозах он вреден. Аналогично, если мышьяк в небольших дозах добавляют в некоторые лекарства, то в больших дозах он — яд. Лекарства врачи должны подбирать для больных индивидуально. Педагогика требует индивидуального подхода к учащимся. Этика определяет нормы поведения людей, и в различных условиях они могут несколько варьироваться (напри-мер, правдивость — положительная черта человека, но если он выдаст тай-ну врагу, то это будет преступлением).

       3. Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии):

а). Ошибки в дедуктивных умозаключениях. Например, в условно-категорическом умозаключении нельзя вывести заключение от утверждения следствия к утверждению основания. Так, из посылок «Если число оканчивается на 0, то оно делится на 5» и «Это число. делится на 5» не следует вывод: «Это число оканчивается на 0». Ошибки в дедуктивных умозаключениях были подробно освещены ранее.

б). Ошибки в индуктивных умозаключениях. «Поспешное обобщение», на-пример, утверждение, что «все свидетели дают необъективные показания». Другой ошибкой является «после этого — значит, по причине этого» (на-пример, пропажа вещи обнаружена после пребывания в доме этого челове-ка, значит, он ее унес).

в). Ошибки в умозаключениях по аналогии. Например, африканские пиг-меи неправомерно умозаключают по аналогии между чучелом слона и жи-вым слоном. Перед охотой на слона они устраивают ритуальные танцы, изображая эту охоту, копьями протыкают чучело слона, считая (по анало-гии), что и охота на живого слона будет удачной, т.е. что им удастся прон-зить его копьем.

5. Понятие о софизмах и логических парадоксах

     Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышлении, назы-вается ларалогизмом. Паралогизмы допускают многие люди, Преднамерен-ная ошибка с целью запутать своего противника и выдать ложное суждение за истинное называется софизмом. Софистами называют людей, которые ложь пытаются выдать за истину путем различных ухищрений.

    В математике имеются математические софизмы. В конце XIX — начале XX в. большой популярностью среди учащихся пользовалась книга В.И. Обреимова «Математические софизмы», в которой собраны многие софизмы. И в ряде современных книг собраны интересные математические софизмы. Например, Ф.Ф. Нагибин формулирует следующие математиче-ские софизмы:

     1) «5=6»;

     2) «2∙2=5»;    

     3) «2=3»;

     4) «Все числа равны между собой»;

     5) «Любое число равно половине eгo»;

     6) «Отрицательное число равно положительному»;

     7) «Любое число равно нулю»;

     8) «Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра»;

     9) «Прямой угол равен тупому»;

     10) «Всякая окружность имеет два центра»;

     11) «Длины всех окружностей равны» и многие другие.

     2 ∙ 2 = 5. Требуется найти ошибку в следующих рассуждениях. Имеем
числовое тождество: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части этого
тождества общий множитель. Получим 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1). Числа в скобках
равны. Поэтому 4=5, или 2 ∙ 2=5.

     5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по
отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и — 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?