Логико-дидактический анализ темы «Многоугольники»

Логико-дидактический  анализ темы «Многоугольники» 

      Анализ  темы «Многоугольники» будет выполнен по учебнику А.В. Погорелова [113].

1. Цели образовательные и воспитательные изучения темы «Многоугольники».
1. Продолжить раскрытие содержания геометрии как дедуктивной системы знаний:

а) построить  систему определений основных фигур  темы на основе логической связи их между собой;

б) раскрыть конструктивную природу определений  многоугольника и угла с учетом нового подхода (как части плоскости);

     в) раскрыть операционный состав единого математического приема неполной индукции, используемого при доказательстве основных утверждений темы, и степень строгости проводимых доказательств.

   2. Систематизировать и обобщить некоторые метрические свойства многоугольников, рассмотренные ранее для треугольников и четырехугольников и в связи с окружностью.

   3. Типизировать математические задачи, раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов, показать практические приложения изучаемой в данной теме теории.

  Непосредственными мотивами изучения этой темы могут быть следующие:

  1) Весь понятийный аппарат темы составит основу понятийного аппарата темы «Многогранники» в курсе стереометрии.

  2) Изучаемые свойства правильных многоугольников применяются при конструировании различных деталей (гайки восьмиугольные и шестиугольные) и сооружений (можно решить задачи № 21. 22, 40).

  3) Теория и практика паркетов построена на свойствах многоугольников и особенно правильных многоугольников (статья А. Н. Колмогорова «Паркеты и правильные многоугольники», [72]).

  4) На основе свойств правильных многоугольников можно решать интересные задачи на разбиение фигур (см.: Квант.—1982.— № 12). Решение таких задач развивает логическое и конструктивное мышление учащихся.

2. Логико-математический анализ темы. Материал в теме организован на дедуктивной основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения. Можно проследить логическую цепочку в конструировании определений фигур.

      Выстроенная цепочка позволяет решать вопросы раскрытия логического действия – конструирования определений объектов.

      Математический  анализ этой цепочки связанных понятий  показывает, что наиболее трудными для объяснения будут понятия  плоского и выпуклого многоугольников, так как здесь используются такие объекты, как часть плоскости  и принадлежность  прямой полуплоскости. Названные понятия вводятся на основе иллюстраций, и этот факт накладывает определенные требования на использование наглядности. Существенно новым и важным для данного курса геометрии является вводимое здесь понятие плоского угла. Так как по современной программе вопросы, связанные с длиной дуги и радианной мерой угла, изучаются в связи с изучением тригонометрических функций, то здесь данные понятия можно только актуализировать.

  В теме доказывается четыре утверждения. Одно — о длине ломаной —фактически  есть обобщение неравенства треугольника. Второе — о сумме углов выпуклого  многоугольника — есть обобщение  утверждения о сумме углов  треугольника. Третье — конструктивная теорема существования правильного многоугольника. И четвертое дает в определенной мере обоснование числа p.

  В основе доказательства первых двух утверждений  лежит идея обобщения неравенства  треугольника и суммы углов треугольника, она же используется и как прием доказательства. От одного неравенства треугольника переходим к следующему звену и т. д. и индуктивно делаем общий вывод. Аналогичный прием и в двух следующих теоремах. Поэтому необходимо раскрыть операционный состав приема и суть умозаключения по индукции, чтобы были усвоены и действия, приводящие к обоснованию утверждения.

  Значительные  содержательные сложности скрыты в  доказательстве теоремы об отношении длины окружности к диаметру, так как здесь неявно используется понятие предела. Опять важно использование средств наглядности, особенно здесь хорошо использовать мультфильм.

  Факты, связывающие длину стороны правильного  многоугольника с радиусом окружности, устанавливаются в значительной мере алгебраически.

    Математические задачи, приведенные  в учебнике, можно по соответствию теоретическим сведениям объединить в пять групп:

первая  группа задачи — № 1—7, вторая —  № 8—18, третья № 19— 29, четвертая № 30—40, пятая № 41—47.

  В соответствии с. обязательными результатами решение «типичных» задач второй, третьей и четвертой групп должно быть хорошо отработано в классе и со всеми учащимися.

  Для определения «типичных» задач необходимо наборы групп задач учебника сравнить с обязательными результатами и  выделить их пересечение. В каждой из групп есть задачи, решая которые можно формировать основные элементы математической деятельности на школьном уровне. Из первой группы это задачи № 5, 7; из второй — № 9, 13, 14, 15, 16, 18; из третьей—№ 23, 24, 25; из четвертой— № 38, 39.

    Выделение основного («ядерного») материала темы, установление групп математических задач, соответствующих основному материалу, выделение «типичных» задач группы и задач, позволяющих обучать математической деятельности, позволяют определить основные учебные задачи и действия по их решению.

  3. Учебные задачи и действия, им адекватные. Основной учебной задачей темы, как вытекает из целей обучения теме и анализа содержания учебного материала, может быть формирование нового понимания геометрической фигуры как части плоскости и раскрытие некоторых ее конструктивных и метрических свойств на основе решения математических задач.

  При решении этой учебной задачи можно  решить следующие подзадачи:

  а) Раскрыть логическую структуру взаимосвязи  определений фигур темы от ломаной  до правильного многоугольника. Результатом решения этой подзадачи будет «цепочка» взаимосвязанных определений и умения конструировать их, выделяя родовое свойство и видовые отличия. Материал темы позволяет (сконцентрировано в одном месте восемь взаимосвязанных объектов) действие конструирования определений фигур сделать актуально значимым.

  б) Раскрыть структуру приема доказательства утверждений по индукции. Результат  решения – овладение последовательностью  действий, составляющих прием доказательства по индукции.

  в) Раскрыть соотношение между линейными и угловыми элементами правильных многоугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей и конкретизировать его при решении математических задач. Результат решения — последовательность действий при применении формул к решению математических задач, так как эти действия в значительной мере однообразны во всех задачах. А именно эти задачи составляют основное содержание задач обязательных результатов обучения.

  г) Раскрыть специфику получения формулы  длины окружности (на основе интуитивного понимания понятия «близко» между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников) и применить ее к нахождению длин окружностей и их частей. Результат решения — понимание особого приема доказательства теоремы и последовательность операций по применению формулы в аналогичных задачах.

 д) Овладеть приемами поиска решения математических задач путем использования общих  приемов решения задач на доказательство и конкретных эвристик, использующих выведенные в теме свойства фигур. Результат решения — актуализированные общие приемы поиска решения задач на доказательство и специфические эвристики.

   4. Средства и приемы обучения. Средства: модели плоских и неплоских ломаных; модели и чертежи многоугольников (выпуклых, невыпуклых, правильных, вписанных и т. п.); магнитная доска, складной метр; динамическая модель описанного и вписанного многоугольников; математические задачи как средство подведения под понятие фигуры и конкретизации теоретического факта; математические задачи как цель реализации математической деятельности на школьном уровне.

П р  и е м ы: использование графов для построения «родословной» понятия; составление пошагового доказательства теоремы 12.1 для создания возможностей переноса структуры доказательства на доказательство последующих теорем: 12.2 и 12.3; работа с учебником при доказательстве теорем 12.2 и 12.3; составление таблиц формул для а_n и b_nчерез R и r и представление их в классе для постепенного, непроизвольного запоминания; набор эвристик при обучении поиску решения задач.  

  5. Формы контроля и оценки. Контролироваться и оцениваться при обучении данной теме будет следующее: 1) знание основных («ядерных») фактов: определения правильного многоугольника;

теоремы существования правильного многоугольника (возможности вписания (описания) правильного многоугольника в окружность); формулы, выражающей зависимость а_n от R и г, обоснования числа p, плоского угла; 2) владение методом доказательства по индукции, приемом составления «родословной» взаимосвязанных определений фигур; приемом обоснования числа p; общими приемами решения задач, конкретизирующих теоретические факты на уровне обязательных результатов обучения; общими приемами поиска решения нестандартных математических задач.

 На  основе логико-дидактического анализа  темы, который возможно выполнять с разной степенью детализации и конкретизации. можно далее решать различные методические задачи.

  В частности, на первых практических занятиях, после того как будут усвоены  общие подходы выполнения логико-дидактического анализа тем, необходимо решить методическую задачу: «Составить таблицу — развернутый тематический план изучения темы «Многоугольники» (табл. 17)».

 Дадим комментарий к каждой графе.

  1. Количество уроков взять пока такое же, как в программе, так как нет учета работы реального класса и конкретного учителя (см.: Математика в шк.— 1985.—№ 6).

  2. Темы уроков сформулировать на основе логико-дидактического анализа темы, но каждый„урок должен иметь свою тему.

 3. Цели уроков детерминированы только содержанием материала и получат корректировку в реальном классе. Сформулированные ранее учебные задачи и подзадачи существенно помогают постановке целей урока.

 4—5. Распределение математических задач по урокам и на домашние и классные детерминируется целями урока и обязательными результатами обучения (см.: Математика в шк.—1985.—№ 3).

6. Самостоятельные работы зависят от реализуемых целей и вида деятельности учащихся на уроке. Их содержание приведено в журнале «Математика в школе».— 1985.— № 1. В этой графе важно предусмотреть степень самостоятельности выполнения учащимися каждой самостоятельной работы: работа проводится с указанием общих рекомендаций о ее выполнении, с использованием учебников и тетрадей, с использованием консультаций учителей или товарищей, полностью самостоятельно без какой-либо помощи и т. п.

  7. В графе «ТСО и наглядность» можно использовать результаты анализа темы и конкретные изготовленные наглядные пособия, а также диафильмы и диапозитивы.

  8. Повторение необходимо спланировать с учетом целей обучения.

  9. Материал, способствующий созданию положительной мотивации, можно найти в книгах для внеклассной работы.

  Составленное  примерное методическое планирование темы не является обязательным и предметом  обсуждения на занятиях.

  Достоинствами предложенного планирования можно считать объединение в один урок всего понятийного аппарата правильных многоугольников, объединение в один урок доказательства двух теорем, так как метод доказательства их одинаков, концентрацию на небольшом числе уроков изучения теории с целью выделения большего времени для решения различных задач, а не только задач из группы, принадлежащей изучаемой теории, и т. п.

  На  материале этого планирования можно  поставить следующие методические задачи:

  Задача 1. Разработайте план урока по введению всего понятийного аппарата темы. Предложите систему наглядности и набор вопросов, помогающих установить существенные свойства объектов и логические связи между определениями объектов темы.

  Задача 2. Проанализируйте группу математических задач с № 19 по 29. Расположите  их по степени нарастания сложности. Предложите методику решения «типичной» задачи группы. Как «типичная» задача связана с обязательными результатами обучения и как это учтено в методике ее обучения?

  Задача 3. Разработайте методику использования  исторического материала при изучении данной темы. Предложите приемы вовлечения учащихся в ознакомление с историческим материалом.

  Задача 4. Разработайте таблицу, в которой  были бы представлены в обобщенном виде (вариант опорного конспекта) основные факты темы. Такую же таблицу можно составить по методам, используемым в теме, и по приемам поиска решения математических задач.

  Задача 5. Предложите формы контроля и критерии оценки сформированности учебных и  математических действий и операций по итогам изучения темы «Многоугольники».

 Логико-дидактический  анализ темы «Неравенства» 

 1. Обучение теме можно начать с создания положительных мотивов ее изучения. Широким познавательным мотивом здесь могут выступать изучение свойств числовых неравенств, методы решения линейных неравенств с одной переменной и их систем. Учебно-познавательным мотивом может быть интерес к анализу доказываемых неравенств, получению выводов. Примером мотивации может служить разбор «доказательства» софизма «Положительное число меньше нуля».

  Пусть а и b – произвольные положительные числа, удовлетворяющие неравенству

 a > b  

 Умножим (1) на b – a:

  a(b – a) > (b – a)b, ab – a² > b² – ab, 0 > a² – 2ab – b², 

 0 > (a – b)².

 Однако  (a – b)², где a ¹ b, есть число положительное, так как квадрат числа, отличного от 0, положителен.

 Соотношение (2) позволяет утверждать, что положительное  число меньше 0.

 Или другой пример мотивации:

 Какое из выражений принимает большее  значение при всех значениях переменной:

 6m(m – 2) + 4(m + 3) или (3m + 2) (2m – 4)?

 Как сравнить два выражения? Укажите основные операции сравнения.

 Третий  пример: Укажите значения площади  боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его линейные измерения найдены в границах

 1,5 £ а £ 1,6;

 2,3 £ b £ 2,4;

 4,1£ c £ 4,2. 

 В технике  используются понятие «допуски», допускаемые отклонения числовой характеристики каких-либо параметров (например, в деталях машин и механизмов) от их расчетного значения в соответствии с заданным классом точности. Допуски широко используются в машиностроении, строительстве и многих других областях. Вычисление допусков требует знания действий с числовыми неравенствами, которые выполняются на основании свойств числовых неравенств.

 Кроме указанных познавательных мотивов, очень важны для учащихся этого  возраста узкие социальные мотивы, в частности, может быть использован мотив овладения способом налаживания сотрудничества в учебном труде.

 2. Известно, что неравенства, как условные, так и безусловные, широко используются в трудовой деятельности человека, а также в самой математике. Исходя из этого перед учащимися ставится у ч е б н а я   з а д а ч а: сформировать общие и специфические учебные действия доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств и их систем для получения общего способа выяснения интервалов знакопостоянства, возрастания и убывания изучаемых функций.

 Эту задачу можно считать решенной, если будут решены такие учебные подзадачи:

• выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия;
• раскрыть характеристики оценки результатов действий над переменными, значения которых находятся в заданных границах;
• определить компоненты учебного действия «перевод задания числового промежутка с одного «языка» на другой»;
• раскрыть алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;
• выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;
• сформировать предписание, которое позволяло бы устанавливать промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функций определенного вида.

   3. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических.

      Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:

  — составление разности выражений, стоящих в левой и правой частях неравенств;

  — выполнение тождественных преобразований;

  — установление знака разности выражений;

  — подведение под понятия «больше», «меньше»;

— изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка на «языке» неравенств;

  — алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;

  — алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;

  — определение границ выражения, если переменные заданы своими границами.

  Операционный  состав этого действия может быть фиксирован в такой последовательности:

   а) установить границы каждой переменной, входящей в выражение;

   б) выяснить, с помощью каких действий над переменными и числами  получено выражение;

   в) определить порядок действий;

   г) вычислить последовательно границы результата каждого действия, используя свойства неравенств; 

   д) записать, в каких границах находится  данное выражение;

— установление характера изменения функции при заданных значениях аргумента.

   Операционный  состав этого действия следующий:

   а) выбрать два произвольных значения аргумента из указанного промежутка;

   б) сравнить значения х₁ и х₂ (*);

в) найти  значения f(х₁) и f (х₂) (**);

г) сравнить соответствующие значения функции (**);

д) выяснить одинаковость смысла числовых неравенств (*) и (**);

е) получить вывод о характере изменения  функции на указанном промежутке;

  — найти промежутки знакопостоянства.

   Здесь отмечены только специфические учебные  действия, однако при решении подзадач будут использоваться и такие учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения для данной задачи и др.

   4. Логический анализ темы «Неравенства»  дает основание сделать вывод, что тема организована дедуктивно-индуктивно, так как дано определение понятий «больше», «меньше»; свойства числовых неравенств сформулированы в виде теорем, которые доказаны;

сформулированные  теоремы равносильности (названные  свойствами) не доказываются. Алгоритмы доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств введены индуктивно на конкретных примерах, анализ решения которых и позволяет учителю, сделав обобщение, сформулировать алгоритмы. Структура вводимых определений (решения неравенств, равносильных неравенств, решения системы неравенств) одинакова, а следовательно, их изучение может осуществляться по одному плану, т. е. на уровне теоретического обобщения. Теоремы о свойствах неравенств имеют одну и ту же структуру: А /\ В ==> С, а это позволяет осуществить перенос знаний, так как с теоремами такой структуры учащиеся работали уже в предыдущем классе.

  Вводятся  понятия нестрогого и строгого неравенств, линейного неравенства, системы  неравенств.

  5. «Ядерным» материалом темы являются:

  — понятия «больше», «меньше», неравенства, решения неравенства, решения системы неравенств, равносильных неравенств;

  — свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

  — операции над числовыми неравенствами;

  — алгоритмы решения неравенств с одной переменной и решения системы неравенств;

  — прием доказательства безусловных неравенств и прием использования неравенства для выяснения возрастания, убывания функции.

   Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, понятие координатной прямой, законы арифметических действий.

   При доказательстве свойств числовых неравенств используются логические правила вывода, определения «больше», «меньше».

   При изучении темы могут быть информационно-словесный, репродуктивный методы, а в некоторых случаях – метод проблемного изложения (например, решения системы неравенств с одной переменной).

   6. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). (Здесь задачи могут выступать и как средство обучения, и как цель изучения) Так, учебная подзадача «Выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия» может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся предлагается типичная задача:

   «Докажите неравенство a² +(a – 3)² > 3a(a – 2) – 2a²».

   Учащиеся  знают, что сравнить выражения возможно, составив разность и определив знак этой разности, что для этого следует  упростить полученную разность, выполнив тождественные преобразования.

   В данном случае разность тождественно равна выражению а² + 9, значение которого при всех значения а положительно.

   Значит, при любых значения а верно  данное неравенство, т.е.

   а² +(a – 3)² > 3a(a – 2)+ 2a².

   Анализ  решения задач дает возможность  установить операции и их последовательность.

   Решение одной задачи не позволяет говорить о сформированности умения доказывать неравенства; поэтому учащимся предлагается серия задач, которая может быть, например, такой:

   а) (3 + b) (2 – b) + (a² – b) £ 2a (a – b);

   б) (6a – 1) (a + 2) < (3a + 4) (2a + 1);

   в) a² + b² + 2 ³ 2 (a + b);

   г) (x + 1)² < 4x.  

  Предложенный  набор задач охватывает все возможные  случаи а следовательно, можно утверждать, что позволяет сформировав учебное действие «доказывать неравенства».

  При решении учебных подзадач «Определить  компоненты учебного действия ,,перевод  задания числового промежутка с одного языка на другой" и «Выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной» может быть использован, магнитная координатная прямая с двумя-тремя прозрачными цветными полосками (целлофан, лавсан, полиэтилен).

  Естественно, что решения можно показать, пользуясь  только доской и мелом, но магнитная  координатная прямая имеет ряд; преимуществ: не надо вычерчивать координатную прямую, не над( заштриховывать. переход к новому заданию не занимает много времени (не надо стирать с доски и вычерчивать новый чертеж). Кроме того, яркий зрительный образ позволяет повысить активность и внимательность.