Магнітне поле та його характеристики

1варинт 1.1 Магнітне поле та його характеристики

Магнітне  поле – особлива форма матерії, через яку взаємодіють рухомі заряджені частинки, або тіла, які мають магнітний момент. Магнітне поле є окремим проявом електромагнітного поля. Його утворюють лише електричний струм і постійні магніти. Магнітна взаємодія – це взаємодія електричних струмів. Магнітне поле чинить орієнтуючу дію на пробний контур.Величину р_с, що характеризує магнітні властивості контуру, називають магнітним моментом контуру. Він визначає поводження контуру в зовнішньому магнітному полі. .

    Магнітний момент контуру  – векторна величина. Напрям вектора  збігається з напрямом вектора  позитивної нормалі n до площини контуру.

Основними характеристиками магнітного поля є індукція магнітного поля, магнітний  потік.

1.2.  Магнітне поле соленоїда

Соленоїд – котушка, на яку намотано довгий провідник (l>>d).

Нехай струм І тече по провіднику, який намотано на довгий циліндр (соленоїд). На одиницю довжини циліндра припадає n витків провідника.

Якщо крок даної котушки малий, то кожен виток можна приблизно  замінити замкненим витком. Також  вважаємо, що переріз циліндра настільки малий, що струм можна вважати таким, що тече по його поверхні.

Чим довший соленоїд, тим менша  індукція ззовні нього. Магнітне поле ззовні нескінченного соленоїда  відсутнє.З міркувань симетрії індукція всередині соленоїда направлена по його осі і складає з напрямом сили струму правогвинтову систему.Візьмемо прямокутний контур. Тоді циркуляція магнітної індукції по контуру буде чисельно дорівнювати Bl. В такому випадку контур охоплює струм nlI. За теоремою про циркуляцію вектора магнітної індукції

.

Тоді всередині довгого соленоїда  поле визначається за формулою:

.

Поле однорідне за виключенням  областей, які прилягають до торців соленоїда.

Добуток nI називають числом Ампер-витків.

1.3.  Робота при переміщенні контуру  з струмом в магнітному полі

Якщо при даному переміщенні  струм постійний, то

      (3.8)

 та  – магнітні потоки крізь контур в початковому і кінцевому положеннях.Робота сил Ампера дорівнює добутку сили струму на приріст магнітного потоку крізь контур і рівняння (3.8) дає не лише величину, а й знак роботи, яка виконується.

Робота здійснюється не за рахунок  енергії зовнішнього магнітного поля (магнітне поле не змінюється), а  за рахунок джерела ЕРС, що підтримує струм в контурі.

1.4.  Магнітний момент атома, класифікація  магнетиків

За значенням величини магнітної  проникності  всі магнетики поділяють на:

діамагнетики ( <1);парамагнетики ( >1);феромагнетики ( >>1).

1.5.  Явище електромагнітної індукції. Закон Фарадея

Якщо в одному провіднику змінювати електричний струм, то в сусідньому також виникає струм. Аналогічний результат одержують тоді, коли біля замкненого провідника переміщають магніт. Електричний струм в обох випадках наводиться (індукується) змінним магнітним полем. Такий струм називають індукційним, а явище виникнення струму в замкненому провіднику під дією змінного магнітного поля — явищем електромагнітної індукції.

,                                  (6.4)

де d(ВІх) — зміна магнітного потоку, який пронизує замкнений провідний контур при переміщенні провідника l на відстань dх.

Вираз (6.4) називають законом електромагнітної індукції Фарадея.

,                                         (6.7)

де L — довільний замкнений контур; S — довільна поверхня, яка спирається на контур L.

Закон, який описується співвідношенням (6.7), називають основним законом електромагнітної індукції Фарадея: при всякій зміні в часі потоку магнітного поля в точках простору, де є така зміна, збуджується вихрове електричне поле, циркуляція напруженості Е якого по довільному замкненому контуру L дорівнює швидкості зміни потоку магнітної індукції крізь довільну поверхню S, яка спирається на контур L.

1.6. Квазістаціонарний  струм

При розгляді коливань маємо справу з струмом, що змінюється в часі. Закони Ома, Кірхгофа залишаються справедливими лише для миттєвих значень струму і напруги, при умові, що їх зміна відбувається не достатньо швидко. Електромагнітні збурення поширюються по колу з швидкістю світла.Нехай довжини кола чисельно дорівнює l і якщо за час , необхідний для передачі цього збурення у найвіддаленішу точку кола, сила струму змінюється незначно, то миттєве значення струму в усіх перерізах кола будуть однакові. І тоді струми, які задовольняють дану умову називаються квазістаціонарними.

Для струмів, що періодично змінюються, умова квазістаціонарності має  вигляд: ,де Т – період даних змін.

1.7. Добротність  полів контуру

Добротність(Q) – характеристика коливального контуру. Це безрозмірна величина,що характеризує відносний показник втрати енергії у контурі:

                                 Q=2πW/ΔW,

де ΔW- спад енергії за один період; W- енергія у контурі у даний  момент.

                      

Тут Q – добротність контуру. Таким чином, добротність контуру показує, у скільки разів напруга на конденсаторі може перевищити прикладену до контуру напругу.

Добротність контуру визначає також  гостроту резонансних кривих. Можна  показати, що відношення широти резонансної  кривої, взятої на висоті 0,7 до резонансної частоти дорівнює величині, оберненій до добротності контура:

                                         .                                                 

1.8. Система  рівнянь Максвела

Система рівнянь Максвела є узагальненим математичним записом основних експериментальних законів електромагнітних явищ у довільному середовищі. Ці рівняння встановлюють співвідношення між векторами електромагнітного поля Е, В, D і Н та розподілом у просторі їх джерел: електричних зарядів і струмів. Обмеження, які накладаються на застосовність цих рівнянь, такі: тіла, вміщені в поле, є нерухомими; параметри ε, та σ, які характеризують властивості речовини в кожній точці, є незмінними в часі і не залежать від температури та напруженості зовнішнього поля; в полі немає постійних магнітів, сегнетоелектриків та феромагнетиків. В інтегральній формі система рівнянь Максвела записується так:

;     (8.9)     ;       (8.10)                              

;         (8.11) ;        (8.12)                               

а у диференціальній – ;         (8.13)  ;     (8.14)                                            

;                      (8.15) .     (8.16)                                           

    Перше рівняння Максвела – це узагальнення закону Біо-Савара-Лапласа і є більш загальною формою закону повного струму, який відображає той експериментальний факт, що джерелами вихрового магнітного поля можуть бути струми провідності і струми зміщення.

Друге рівняння Максвела є математичним записом експериментального закону електромагнітної індукції Фарадея. Узагальнений фізичний зміст його полягає в тому, що всяка зміна в часі магнітного поля спричиняє збудження вихрового електричного поля.

Третє рівняння Максвела відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів, тобто відсутність джерел магнітного поля, подібних до джерел електричного поля (зарядів).

Четверте рівняння Максвела є узагальненням  на основі теореми Гауса закону Кулона і фізично вказує на існування  в природі джерел електричного поля у вигляді електричних зарядів, розподілених у просторі з об'ємною густиною ρ.

2Вариант

2.1.  Явище електромагнітної індукції

Якщо в одному провіднику змінювати електричний струм, то в сусідньому також виникає струм. Аналогічний результат одержують тоді, коли біля замкненого провідника переміщають магніт. Електричний струм в обох випадках наводиться (індукується) змінним магнітним полем. Такий струм називають індукційним, а явище виникнення струму в замкненому провіднику під дією змінного магнітного поля — явищем електромагнітної індукції.

,                                  (6.4)

де d(ВІх) — зміна магнітного потоку, який пронизує замкнений провідний контур при переміщенні провідника l на відстань dх.

Вираз (6.4) називають законом електромагнітної індукції Фарадея.

2.2. Магнітне  поле тороїда

                                        

Тороїд – провідник, намотаний на каркас, який має форму тора (рис.2.2).

   Лінії магнітної індукції у випадку тороїда направлені по колу. В якості контуру можна взяти одне з таких кіл. Якщо контур знаходиться всередині тороїда (кола радіуса r), то він містить струм NI, де N – кількість витків, охоплених контуром.

За теоремою про циркуляцію:    .

І відповідно поле всередині тороїда: .                                      (2.10)

Таким чином, всередині тороїда  магнітне поле співпадає з полем  прямого струму NI, який тече по його осі.

Якщо  при незмінному перерізі тороїда отримаємо формулу (2.9) для соленоїда.

Якщо контур знаходиться ззовні тороїда, то струмів він не охоплює, . Отже ззовні тороїда поле відсутнє.

2.3. Рух  заряджених частинок в магнітному  полі

Нехай магнітне поле однорідне. Якщо частинка влітає в магнітне поле індукцією В, то залежно від знаку заряду, вона буде відхилятися праворуч, або ліворуч.

Радіус кривизни траєкторії R, по якій буде рухатись частинка можна знайти з умови рівності доцентрової сили і сили Лоренца.

,       .

Якщо частинка, швидкість якої   буде направлена під певним кутом до ліній магнітної індукції, влітає в магнітне поле, то вона почне рухатися по гвинтовій лінії, причому швидкість розкладається на дві складові. Ще однією характеристикою руху частинки буде крок спіралі (визначається тангенціальною складовою швидкості). Радіус спіралі визначається нормальною складовою швидкості.

На елементарний заряд, що рухається  одночасно в електричному та магнітному полях діє результуюча сила F:

.

Між електричною і магнітною  складовими цієї сили є принципова відмінність: електричне поле змінює швидкість, а отже і кінетичну енергію  частинки, однорідне магнітне поле змінює лише напрям її руху.

2.4. Діамагнетики

У більшості атомів діамагнетиків  немає власних магнітних моментів і його магнітний момент індукується зовнішнім полем, подібно до того, як виникає електричний момент у неполярних діелектриках.

Якщо врахувати, що наведений магнітний  момент пропорційний зовнішньому полю індукцією В₀, можна записати

.

В даному випадку магнітна проникність  <1.

Розглянемо на прикладі Борівської моделі природу діамагнетизму. Нехай  електрон рухається з деякою швидкістю V по орбіті радіуса R.

Через площину, яка розташована  в будь-якому місці на шляху електрона за одиницю часу переноситься заряд , де е – заряд електрона, – число обертів за одиницю часу.

Електрон утворює коловий струм I, направлений протилежно напрямку руху електрона (оскільки заряд електрона негативний) і даний струм чисельно дорівнює:

I=

.

Магнітний момент струму, який створює  електрон –  p_m:

Величина  дасть нам швидкість V. Тоді

.                                                 (5.1)

Момент, обумовлений рухом електрона  по орбіті називається орбітальним магнітним моментом електрона.

Напрямок вектора p_m утворює з напрямом вектора намагнічування J правогвинтову систему (правило свердлика).

Електрон, що рухається по коловій  орбіті має момент імпульсу М:

.                                                (5.2)

Вектор М називається орбітальним механічним моментом електрона і утворює з напрямом руху електрона правогвинтову систему. Відношення магнітного моменту елементарної частинки до її механічного моменту називається магнітомеханічним, або гіромагнітним відношенням.

Для електрона гіромагнітне відношення

.                                                 (5.3)

Знак  „мінус” вказує на те, що напрямок руху магнітного p_m і орбітального  М моментів різний. В результаті руху навколо ядра електрон стає подібним до дзиґи і дане явище лежить в основі магнітомеханічних явищ. Намагнічування магнетиків приводить до його обертання і навпаки – обертання магнетика викликає його намагнічування.

Діамагнітний ефект не залежить від температури, оскільки тепловий рух атомів не порушує орієнтації індукованих струмів всередині  атомів. Діамагнітний ефект властивий будь-якій речовині.

До діамагнетиків відносяться: вода, деякі метали (золото, ртуть, мідь), інертні гази.

2.5. Струми  Фуко

У масивних провідниках зі зміною магнітного потоку, що їх пронизує, індукуються замкнені електричні струми, які називають вихровими або струмами Фуко. Фізична природа цих струмів така сама, як і довільних індукційних струмів. Вихрові струми виникають або під час руху масивних провідників у магнітному полі, або при розміщенні їх у змінних магнітних полях. Ці струми замикаються безпосередньо в об'ємі провідника у вигляді вихороподібних замкнених ліній. За правилом Ленца вихрові струми напрямлені так, що їхнє магнітне поле протидіє змінам потоку магнітної індукції, який спричинив виникнення вихрових струмів. Це можна спостерігати, наприклад, під час руху магніту над провідною поверхнею. При цьому вихрові струми створюють гальмівну силу, пропорційну швидкості руху, подібно до механічних в'язких сил.

Струми Фуко в одних випадках відіграють корисну роль, в інших  — шкідливу. Корисну роль відіграють вихрові струми в роторах асинхронних  електричних двигунів, оскільки в  основі їхнього принципу роботи лежить явище виникнення струмів Фуко. Використовуючи змінні магнітні поля, можна зумовити появу значних вихрових струмів і за допомогою їх нагрівати або й плавити метали. В окремих випадках цей спосіб зручніший порівняно з іншими. Разом з тим в осердях електромагнітів, трансформаторів, інших електротехнічних пристроїв виникнення значних вихрових струмів є шкідливим, оскільки призводить до їхнього перегрівання, втрати електричної енергії. У цих випадках намагаються зменшити вихрові струми переважно способом набору осердь з окремих тонких пластинок магнітного матеріалу, ізольованих одна від одної діелектриком.

2.6. Електромагнітне  поле та його характеристики

Електромагнітне поле є формою матерії, через яку здійснюється взаємодія між електричнозарядженими частинками. Поле заряджених електричних частинок або струмів зосереджене в усіх точках простору, що їх оточує. У кожній такій точці електромагнітне поле характеризується енергією, імпульсом тощо.

Електромагнітне поле може існувати і вільно, незалежно від джерел, які його створили, у вигляді електромагнітних хвиль. Електромагнітне поле у вакуумі характеризується векторами напруженості електричного поля й індукції магнітного поля . Цими векторами визначаються сили, які діють з боку електромагнітного поля на рухомі й нерухомі електричнозаряджені частинки. У середовищі електромагнітне поле характеризують двома додатковими параметрами: вектором індукції (зміщення) електричного поля D і вектором напруженості магнітного поля Н.

Електромагнітне поле в будь-якому  середовищі описується в макроскопічній електродинаміці системою рівнянь Максвела, які дають можливість визначити силові характеристики поля і залежно від розподілу зарядів і струмів. Вихрове електричне поле збуджується змінним магнітним полем, а вихрове магнітне поле — змінним у часі електричним полем. Електромагнітна взаємодія як між окремими електричними зарядами, так і їхніми сукупностями (рухомими або нерухоими) є невід'ємною властивістю матерії і, отже, фундаментальною взаємодією поряд із сильною, слабкою та гравітаційною взаємодіями, які проявляються в природі. Електромагнітна взаємодія є далеко діючою і може спричиняти як притягання, так і відштовхування між зарядженими тілами або струмами. До електромагнітної взаємодії зводиться більшість макроскопічних явищ: сили пружності, тертя, поверхневий натяг.

2.7. Логарифмічний  дикримент затухання

Затухання коливань прийнято характеризувати логарифмічним дикриментом затухання.

,           

де  а(t) – амплітуда відповідної величини (q, U чи I).

Логарифмічний дикримент затухання обернений до числа коливань N_е, що здійснюються за час, протягом якого амплітуда зменшується в е раз:

.  .

Частота , а відповідно і визначається параметрами контуру L, C, R. Таким чином, логарифмічний дикримент затухання є характеристикою контуру.

2.8. Вільні  незгасаючі коливання в коливальному  контурі

В колі, що має індуктивність і  ємність, можуть виникати електричні коливання. Таке коло називається коливальним  контуром.

Коливання в контурі можна викликати, надавши обкладкам конденсатора певний початковий заряд або збудивши в індуктивності струм

Знайдемо рівняння коливань в контурі  без активного опору. Будемо вважати позитивним струм, який заряджає конденсатор. Тоді

.              Запишемо для кола 1-3-2 (рис. 7.2) вираз закону Ома

.                                           (7.1.2)

В нашому випадку R=0, , . Підстановка цих значень в (7.1.2) дає  .                                              (7.1.3)

Замінивши dI/dt через отримаємо рівняння .             

Якщо ввести позначення    (7.1.5), рівняння (7.1.4) набуває вигляду

.                                               (7.1.6)

Розв’язком цього рівняння є  функція

.                                      (7.1.7)

Таким чином, заряд на обкладках конденсатора змінюється по гармонічному закону з частотою, що визначається виразом (7.1.5). Ця частота називається власною частотою контуру (вона відповідає власній частоті гармонічного осцилятора). Для періоду коливань отримуємо, так звану, формулу Томсона:

.                                           (7.1.8)

Напруга на конденсаторі відрізняється  від заряду множником 1/С:

.                      (7.1.9)

Про диференціювавши функцію (7.1.7) по часу, отримаємо вираз для сили струму

.             (7.1.10)

Таким чином, сила струму випереджає по фазі напругу на конденсаторі на .

Зіставлення формул (7.1.7) і (7.1.9) з формулою (7.1.10) показує, що в момент, коли струм  досягає найбільшого значення, заряд  і напруга обертаються в 0 і  навпаки. Це співвідношення між зарядом  і струмом також було встановлено з енергетичних міркувань.

З формул (7.1.9) і (7.1.10) слідує, що ,  .

Взявши відношення цих амплітуд, отримаємо .                                              

Цю формулу можна отримати також  виходячи з того, що найбільше значення енергії електричного поля повинно  дорівнювати найбільшому значенню енергії магнітного поля.

3 вариант

3.1. Вільні  затухаючі коливання

Будь-який реальний контур володіє  активним опором. Енергія, накопичена в контурі, поступово витрачається в цьому опорі на нагрівання, внаслідок чого вільні коливання затухають. Запишемо рівняння для простого контуру:

                                          .  

Розділимо це рівняння на L і замінивши І через , а dI/dt через , отримаємо

.     Позначивши  ,  (7.2.3) рівнянню (7.2.2) можна надати вигляд

.            (7.2.4)

        Останнє рівняння  співпадає з диференціальним  рівнянням затухаючих механічних коливань.

За умови, що , розв’язок рівняння (7.2.4) має вигляд

,де . .                                                 

Таким чином, частота затухаючих коливань менше власної частоти . При R=0 вираз переходить .           

Оскільки  , а , значення лежить в межах від до . Таким чином, при наявності в контурі активного опору сила струму випереджає по фазі напругу на конденсаторі на (при R=0 випередження складає ).

3.2. Вихрове  електричне поле Фуко

Джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або змінні в часі магнітні поля. У першому випадку поле електричних зарядів описується узагальненим законом Кулона . Це поле є потенціальним, й інтеграл по довільному замкненому контуру L дорівнює нулеві . Силові лінії електричних полів є незамкненими: вони виходять з позитивних зарядів і входять у негативні або простягаються в нескінченність. З цієї причини електростатичне поле не може забезпечити неперервний рух електричних зарядів уздовж замкнених провідників, тобто створити електричний струм. Щоб виник й існував тривалий час електричний струм у замкненому електричному колі, потрібна наявність сторонніх сил. Тоді . Електричне поле напруженістю Е, яке при цьому виникає в провіднику і зумовлює постійне напрямлене переміщення електричних зарядів уздовж замкненого електричного кола, докорінно відрізняється від електростатичного поля. Лінії напруженості Е цього поля є замкненими вздовж провідного контуру, тому циркуляція вектора Е не дорівнює нулеві . Такі поля називають вихровими.Електричні поля, які збуджуються змінними в часі магнітними полями, також є вихровими і для них циркуляція вектора напруженості Е по довільному замкненому контуру і не дорівнює нулеві, як в електростатичних полях, а дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, який пронизує довільну поверхню, що спирається на контур інтегрування.

Такі вихрові електричні поля зумовлюють неперервний рух електричних зарядів уздовж замкнених провідників, вміщених у це поле, тобто можуть спричинювати виникнення індукційних струмів, що вперше і спостерігалося в дослідах Фарадея.

Вихрове електричне поле виникає скрізь, де є змінне магнітне поле, силові лінії  його є замкненими і воно здатне індукувати електричні струми. Закон електромагнітної індукції в узагальненому вигляді записується так: . Такий запис закону свідчить про те, що скрізь, де є змінне магнітне поле , виникає вихрове електричне поле.

3.3. Магнітний  момент атома

Природа молекулярних струмів стала  зрозуміла після того, як Резерфорд дослідно встановив, що атоми всіх речовин складаються з позитивно зарядженого ядра і негативно заряджених електронів. Рух електронів підпорядковується квантовім законам і таке поняття як траєкторія для електронів не застосовується. Але для пояснення деяких явищ, таких як намагнічування магнетиків, можна використати одну з моделей атома, наприклад Борівську, згідно якої електрони в атомах рухаються по стаціонарним круговим орбітам.

3.4 Парамагнетики

Молекули парамагнетиків мають  відмінні від нуля власні магнітні моменти і, якщо зовнішнього магнітного поля немає, ці моменти розміщуються хаотично, тому сумарний вектор намагнічування дорівнює нулю.

Якщо парамагнетик внести в магнітне поле, то магнітні моменти окремих  атомів або молекул орієнтуються за напрямом поля так, що власне поле парамагнетика підсилює зовнішнє поле. Якщо такий ефект існує, то він завжди має перевагу над діамагнетизмом.

Властивості парамагнетиків:

1Тепловий рух атомів і молекул  руйнує взаємну орієнтацію магнітних моментів молекул і тому намагніченість парамагнетиків залежить від температури і відносна магнітна проникність парамагнетиків спадає із збільшенням температури.

2Відносна магнітна проникність  парамагнетиків, як і діамагнетиків,  не залежить від магнітної  індукції зовнішнього магнітного  поля.

До парамагнетиків слід віднести: лужні метали, кисень, алюміній, платину.

3.5. Закон  Біо-Савара-Лапласа

Для магнітного поля справедливий принцип  суперпозиції:

.                                                   (1.3)

Розглянемо магнітні поля, створені постійними електричними струмами.

Заряд Q, який рухається з постійною швидкістю V створює магнітне поле індукцією В (рис.1.5):

,       де μ₀ – магнітна стала ( ), r – радіус-вектор від заряду до точки спостереження. Кінець радіус-вектора нерухомий в даній системі відліку, а початок рухається зі швидкість V. Тому магнітна індукція залежить не лише від положення точки спостереження, а і від часу: .

Нехай заряд рівномірно розподілено  по поверхні з поверхневою густиною , тоді         Врахуємо, що і підставимо значення заряду в формулу (1.4), тоді вона набуде вигляду (1.5): .           Якщо струм тече по тонкому провіднику, в якому площа поперечного перерізу , то

, де dl – елемент довжини провідника.

Введемо вектор в напрямі протікання струму І. Тоді

,                                               (1.6)

 – об’ємний елемент струму, – лінійний елемент струму.

Замінимо в формулі (1.5) об’ємний елемент струму лінійним:

.                                        (1.7)

Формули (1.5) і (1.7) є математичними  записами закону Біо-Савара-Лапласа. Для знаходження магнітної індукції поля в даній точці, за принципом суперпозиції про інтегруємо (1.5) або (1.7): .