Математические методы в психолого-педагогическом исследовании

  Введение.

  Психология  получила статус науки благодаря  эксперименту и использованию математики при обработке экспериментальных  данных и психологических исследований. Математика в психологии служит таким логическим инструментом доказательства, давая возможность научного понимания психологических закономерностей и более глубокого их анализа Математическая статистика - область современной математики, основанная на теории вероятностей и занятая поиском законов изменения и способов измерения случайных величин, обоснованием методов расчетов, производимых с такими величинами.

  Математическая  статистика возникла (XVII в) и развивалась  параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.

  В XX в. Наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стъюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

  Еще в  середине XIX начале XX века наблюдается, правда, еще не вполне регулярные, но, тем не менее, приносящие обоюдную пользу, - попытки провести аналогии между  психологическими и физическими  исследованиями, особенно в области  построения лабораторного эксперимента, анализа и обработки экспериментальных  данных. Почти одновременно в психологию и физику приходят вероятностные  и статистические методы, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и  другие. О том, чтобы математически  описать деятельность мозга мечтал И.П. Павлов.

  Благодаря проникновению в количественные свойства психических явлений, психология получила множество логических доказательств, которые явились научным обоснованием изучения психики человека. Именно поэтому математика как строгая логическая дисциплина необходима любому специалисту, практикующемуся в области психологии. Современная математическая статистика представляет собой большую и сложную систему знаний. Нельзя рассчитывать на то, что каждый психолог овладеет этими знаниями. Статистики разработали целый комплекс простых методов, которые совершенно доступны любому квалифицированному специалисту психологу.

     Все необходимые для их применения вычисления можно выполнять вручную или на компьютере. Уместное грамотное применение этих методов позволит практику и исследователю, во всяком случае проведя начальную обработку, получить общую картину того, что дают количественные результаты его исследований, оперативно проконтролировать ход исследований. Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явлениями. Однако необходимо твердо знать, что, как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Чтобы подтвердить или отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится продумывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из результатов этих экспериментов информацию, которая необходима исследователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, либо признать ее недоказанной.

Математическая  статистика также нужна психологу не только для проведения научных исследований, а постоянно в его повседневной работе.

 Далее в  этой работе мы рассмотрим только самые первые ступени длинной

и крутой лестницы которую нужно преодолеть на пути к уверенному применению математических методов.  
 
 
 
 

Основные  понятия , используемые в математической обработке психологических данных.

  1)генеральная совокупность и выборка

2) признаки и переменные.

3) шкалы измерения.

4) статистические гипотезы.

5) статистические критерии.

       В математической статистике  выделяют два фундаментальных  понятия: генеральная совокупность  и выборка. 

       Совокупностью – называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя;

       Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным.  Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины.        Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу; Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.

  Важным параметром является объем совокупности – количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.

        Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний. Репрезентативная – выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях.Иными словами репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру , но точную модель той генеральной совокупности которую она должна отражать , иначе результаты не совпадут с целями исследования [ 4; 33 ].

        Репрезентативность зависит от  объема, чем больше объем, тем  выборка репрезентативней.

       По схеме испытаний – выборки могут быть независимые и зависимые.

       По объему выборки делят на малые и большие. К малым относят выборки, в которых число элементов n ≤ 30. Понятие большой выборки не определено, но большой считается выборка в которой число элементов > 200 и средняя выборка удовлетворяет условию 30≤ n≤ 200. Это деление условно.

2. Признаки и переменные - это измеряемые психологические явления. Такими явлениями могут быть время решения задачи, количество допущенных ошибок, уровень тревожности, показатель интеллектуальной лабильности, интенсивность агрессивных реакций, угол поворота корпуса в беседе, показатель социометрического статуса и множество других переменных. Понятия признака и переменной могут использоваться как взаимозаменяемые. Они являются наиболее общими. Иногда вместо них используются понятия показателя или уровня, например уровень настойчивости, показатель вербального интеллекта и др.

     Математическая  обработка - это оперирование со значениями признака, полученными у испытуемых в психологическом исследовании. Такие индивидуальные результаты называют также "наблюдениями", "наблюдаемыми значениями", "вариантами", "датами" и др. значение признака определяется при помощи специальных шкал измерения.

     3. Шкалы измерения. Измерение - это приписывание числовых форм объектами или событиям в соответствии с определенными правилами.

     С. Стивенсом предложена классификация из 4 типов шкал измерения:

     а) Номинативная, или номинальная, или  шкала наименований;

     б) Порядковая, или ординальная, шкала;

     в) Интервальная, или шкала равных интервалов;

     г) Шкала равных отношений.

     Шкала наименований. К этой шкале относятся материалы, в которых изучаемые объекты отличаются друг от друга по их качеству. При обработке таких материалов нет никакой нужды в том, чтобы располагать эти объекты в каком-то порядке, исходя из их характеристик.

     Шкала порядка. Если в шкале наименований порядок следования изучаемых объектов практически не играет никакой роли, то в шкале порядка - это видно из ее названия - именно на эту последовательность переключается все внимание. К этой шкале в статистике относят такие исследовательские материалы, в которых рассмотрению подлежат объекты, принадлежащие к одному или нескольким классам, но отличающиеся при сравнении одного с другим: больше - меньше, выше - ниже и т.п.

     Шкала интервалов. К ней относятся такие материалы, в которых дана количественная оценка изучаемого объекта в фиксированных единицах. Например, в опытах учитывалось, сколько точек могут поставить, работая с максимально доступной скоростью, испытуемые. Оценочными единицами в опытах служило число точек. Подсчитав их, исследователь получил то абсолютное число точек, которое оказалось возможным поставить за отведенное время каждому участнику опытов. Главная трудность при отнесении материалов к шкале интервалов состоит в том, что нужно располагать такой единицей, которая была бы при всех повторных изменениях тождественной самой себе, т.е. одинаковой и неизменной.

     Шкала отношений. К этой шкале относятся материалы, в которых учитываются не только число фиксированных единиц, как в шкале интервалов, но и отношения полученных суммарных итогов между собой. Чтобы работать с такими отношениями, нужно иметь некую абсолютную точку, от которой ведется отчет. При изучении психологических объектов эта шкала практически неприменима.

     4. Статистические гипотезы. Формулирование гипотез систематизирует предположения исследователя и представляет их в четком и лаконичном виде. Благодаря гипотезам исследователь не теряет путеводной нити в процессе расчетов и ему легко понять после их окончания, что, собственно, он обнаружил. Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные, направленные и ненаправленные.

     Нулевая гипотеза - это гипотеза об отсутствий различий. Она обозначается как Н0 и называется нулевой потому, что содержит число 0: Х1 - Х2 = 0, где Х1, Х2 - сопоставляемые значения признаков. Нулевая гипотеза - это то, что мы хотим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

     Альтернативная  гипотеза - это гипотеза о значимости различий. Она обозначается как Н1. альтернативная гипотеза - это то, что мы хотим доказать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

     Нулевая и альтернативная гипотезы могут  быть направленными и ненаправленными.

     5. Статистические критерии. Статистический критерий - это правило, обеспечивающее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью. Статистический критерий обозначает метод расчета определенного числа и само это число. Среди  возможных  статистических  критериев  выделяют:  односторонние  и двусторонние,

параметрические и непараметрические, более и  менее мощные.

Параметрические критерии - это критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (t-критерий Стъюдента, критерий F и др.) Непараметрические критерии - это критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределения и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий-Q Розенбаума, критерий-Т Вилкоксона и др.)

     Параметрические критерии и непараметрические критерии имеют свои преимущества и недостатки.

      Параметрические  критерии  могут  оказаться  несколько  более  мощными,  чем непараметрические,  но  только  в  том  случае,  если  признак  измерен  по  интервальной  шкале  и нормально распределен. Лишь с некоторой натяжкой мы можем считать данные, представленные в стандартизованных  оценках,  как  интервальные.  Кроме  того,  проверка  распределения «на

нормальность» требует достаточно сложных расчетов, результат которых заранее не известен. Может оказаться, что распределение  признака отличается от нормального, и нам так или иначе все равно придется обратиться к непараметрическим критериям.

Непараметрические  критерии  лишены  всех  этих  ограничений  и  не  требуют  таких длительных и сложных расчетов. По сравнению с параметрическими критериями они ограничены лишь в  одном – с их помощью невозможно оценить взаимодействие двух или  более условий или  факторов, влияющих на изменение признака. [ 1; 16 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Статистический  анализ экспериментальных  данных 

       Рассматрим в самых общих чертах три главных раздела статистики.

1. Описательная статистика, как следует из названия, позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения и его размах и дисперсию.
2. Задача индуктивной статистики — проверка гипотезы о том, можно ли распространить результаты, полученные на данной выборке, на всю популяцию (генеральную совокупность), из которой взята эта выборка. Иными словами, правила этого раздела статистики позволяют выяснить, до какой степени можно путем индукции обобщить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении их ограниченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Таким образом, при помощи индуктивной статистики делают какие-то выводы и обобщения, исходя из данных, полученных при изучении выборки. 
3. Наконец, измерение корреляции позволяет узнать, насколько связаны между собой две переменные, с тем чтобы можно было предсказывать возможные значения одной из них, если мы знаем другую.

  Статистические  методы применяются при обработке  материалов психологических исследований для того, чтобы извлечь из тех  количественных данных, которые получены в экспериментах, при опросе и  наблюдениях, возможно больше полезной информации. В частности, в обработке  данных, получаемых при испытаниях по психологической диагностике, это  будет информация индивидуально-психологических  особенностях испытуемых.

  Методами  статистической обработки результатов  эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно  обобщать, приводить в систему, выявляя  скрытые в них закономерности. Речь идет о таких закономерностях  статистического характера, которые  существуют между изучаемыми в эксперименте переменными величинами.

  Некоторые из методов математико-статистического  анализа позволяют вычислять  так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распределение данных, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода, медиана  и ряд других. Иные методы математической статистики, например, дисперсионный  анализ, регрессионный анализ, позволяют  судить о динамике изменения отдельных  статистик выборки. С помощью  третьей группы методов, скажем, корреляционного  анализа, факторного анализа, методов  сравнения выборочных данных, можно  достоверно судить о статистических связях, существующих между переменными  величинами, которые исследуют в  данном эксперименте.

Все методы математико-статистического  анализа условно делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты производимых в эксперименте измерений. Соответственно под первичными статистическими показателями имеются в виду те, которые применяются в самих психодиагностических методиках и являются итогом начальной статистической обработки результатов психодиагностики. С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных непосредственно проверяются, доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы, как правило, сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют от исследователя хорошей подготовки в области элементарной математики и статистики.  

  Методы  первичной статистической обработки результатов  эксперимента

   К первичным методам статистической обработки относят, например, определение выборочной средней величины, выборочной дисперсии, выборочной моды и выборочной медианы. Рассмотрим методы вычисления элементарных математических статистик, начав с выборочного среднего.

  Выборочное  среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю  оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует  степень его развития в целом  у той группы испытуемых, которая  была подвергнута психодиагностическому  обследованию. Сравнивая непосредственно  средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной  степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

  Дисперсия как статистическая величина характеризует, на сколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных данных относительно средней используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадрат ному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата - :

  Медианой  называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную  по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в  упорядоченном ряду остается по одинаковому  количеству признаков.Модой называют количественное значение исследуемого признака , наиболее часто встречающегося в выборке .

     Выборочное  среднее (среднее арифметическое) значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень  его развития в целом у той  группы испытуемых, которая была подвергнута  психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние  значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной  степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

     Выборочное  среднее определяется при помощи следующей формулы: 

     где х - выборочная средняя величина или среднее арифметическое значение по выборке; n - количество испытуемых в выборке или частных психодиагностических показателей, на основе которых вычисляется средняя величина; х_k - частные значения показателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей n, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до n; ∑ - принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Выражение соответственно означает сумму всех х с индексом k, от 1до n. В психодиагностике и в экспериментальных психолого-педагогических исследованиях среднее, как правило, не вычисляется с точностью, превышающей один знак после запятой, т.е. с большей, чем десятые доли единицы. В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется и не имеет смысла, если принять во внимание приблизительность тех оценок, которые в них получаются, и достаточность таких оценок для производства сравнительно точных расчетов.

     Мода.Числовой характеристикой выборки, как правило, не требующей вычислений, является так называемая мода. Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Для симметричных распределений признаков, в том числе для нормального распределения, значение моды совпадает со значениями среднего и медианы. Для других типов распределении, несимметричных, это не характерно. К примеру, в последовательности значений признаков 1, 2, 5, 2, 4, 2, 6, 7, 2 модой является значение 2, так как оно встречается чаще других значений - четыре раза.

     Моду  находят согласно следующим правилам:

     1) В том случае, когда все значения  в выборке встречаются одинаково  часто, принято считать, что  этот выборочный ряд не имеет  моды. Например: 5, 5, 6, 6, 7, 7 - в этой  выборке моды нет.

     2) Когда два соседних (смежных) значения  имеют одинаковую частоту и  их частота больше частот любых  других значений, мода вычисляется  как среднее арифметическое этих  двух значений. Например, в выборке  1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных  значений 2 и 5 совпадают и равняются  3. Эта частота больше, чем частота  других значений 1 и 6 (у которых  она равна 1). Следовательно, модой  этого ряда будет величина =3,5

     3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные  частоты, которые больше частот  любого другого значения, то выделяют  две моды. Например, в ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят,  что выборка является бимодальной.

     Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод).

     4) Если мода оценивается по множеству  сгруппированных данных, то для  нахождения моды необходимо определить  группу с наибольшей частотой  признака. Эта группа называется  модальной группой.

     Медиана. Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Например, для выборки 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 7, 9 медианой будет значение 5, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет среднее, взятое как полусумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 3,5.

     Знание  медианы полезно для того, чтобы  установить, является ли распределение  частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к  так называемому нормальному  распределению. Средняя и медиана  для нормального распределения  обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. Если выборочное распределение признаков нормально, то к нему можно применять методы вторичных статистических расчетов, основанные на нормальном распределении  данных. В противном случае этого  делать нельзя, так как в расчеты  могут вкрасться серьезные ошибки.

     Разброс выборки. Разброс (иногда эту величину называют размахом) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки - разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т.е.

R= х_max - х_min

Понятно, что  чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот. Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Например, даны две выборки:

Х = 10 15 20 25 30 35 40 45 50X = 30 R = 40

Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y=30 R = 40

     При равенстве средних и разбросов  для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует  обратиться к их распределениям.

     Дисперсия. Дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.

     Дисперсия как статистическая величина характеризует, насколько частные значения отклоняются  от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. 

где 5 - выборочная дисперсия, или просто дисперсия;

     2 (^……) - выражение, означающее, что для всех х, от первого до последнего в данной выборке необходимо вычислить разности между частными и средними значениями, возвести эти разности в квадрат и просуммировать;

     п - количество испытуемых в выборке или первичных значений, по которым вычисляется дисперсия. Однако сама дисперсия, как характеристика отклонения от среднего, часто неудобна для интерпретации.

     Стандартное отклонение. Для того, чтобы приблизить размерность дисперсии к размерности измеряемого признака применяют операцию извлечения квадратного корня из дисперсии. Полученную величину называют стандартным отклонением.

     Из  суммы квадратов, делённых на число  членв ряда извлекаеся квадратный корень.

 Иными словами  стандартное отклонение есть  квадратный корень из дисперсии.  Стандартное  отклонение  является  более  удобным  показателем   в

отличие от дисперсии. Для многих распределений мы можем  приблизительно

знать, какой  процент  данных  лежит  внутри  одного, двух, трех  и  более

стандартных отклонений среднего. [ 3; 7 ]

     Иногда  исходных частных первичных данных, которые подлежат статистической обработке, бывает довольно много, и они требуют  проведения огромного количества элементарных арифметических операций. Для того чтобы сократить их число и вместе с тем сохранить нужную точность расчетов, иногда прибегают к замене исходной выборки частных эмпирических данных на интервалы. Интервалом называется группа упорядоченных по величине значений признака, заменяемая в процессе расчетов средним значением.

Вторичные методы обработки  материалов психологических  исследований.

     С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных непосредственно проверяются, доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы, как правило, сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют от исследователя хорошей подготовки в области элементарной математики и статистики. Обсуждаемую группу методов можно разделить на несколько подгрупп:

  1. Регрессионное  исчисление.

  2. Методы  сравнения между собой двух  или нескольких элементарных  статистик (средних, дисперсий  и т.п.), относящихся к разным  выборкам.

  3. Методы  установления статистических взаимосвязей  между переменными, например их  корреляции друг с другом.

  4. Методы  выявления внутренней статистической  структуры эмпирических данных (например, факторный анализ).

  Регрессионный анализ.  Регрессионное исчисление - это метод математической статистики, позволяющий свести частные, разрозненные данные к некоторому линейному графику, приблизительно отражающему их внутреннюю взаимосвязь, и получить возможность по значению одной из переменных приблизительно оценивать вероятное значение другой

   переменной  [ 6;556 ].