Математические методы в менеджменте

Предпоследняя цифра – 0

Последняя цифра – 2

ЗАДАНИЕ 1. Производственные функции.

1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственная функция 

2. Производственная функция коммерческого предприятия имеет вид , где f – товарооборот, тыс. руб.; х₁-производственная площадь, тыс. м²; х₂ – численность работников, сотни человек. Рассмотрите изокванту уровня и найдите на ней точку С₁ с координатами , где , и точку С₂ с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов , . Полученные результаты изобразите графически.

Решение:

1. Производственная функция (также функция производства) — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий. Может выражаться как множество изоквант.

Изокванта — это кривая равного выпуска продукта (кривая безразличия для производителей). Все точки на этой кривой показывают различное сочетание факторов производства для выпуска одинакового количества продукции.

Взаимозаменяемость ресурсов — возможность альтернативного использования разных ресурсов: а) для сохранения или достижения заданного уровня производства б) для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

2. При

 

Уравнение изокванты будет равно:

Найдем координаты точки С₁:

Так как  , то из уравнения изокванты находим:

Аналогично С₂. Так как , то .

Построим изокванту выпуска  продукции:

 

 х₂

 

 

 

 

 

 

 

 

С₂

2,59

 

 

1,44 С₁

 

    0 2,51  4,51

х₁

 

Рисунок 1 – Изокванта производства

 

 

Таким образом, 144 работника используя 4,51 тыс. м² производственной площади, обеспечат товарооборот тыс. руб, и такой же товарооборот могут обеспечить 251 работник, используя 2,59 тыс. м² производственной площади.

 

ЗАДАНИЕ 2. Классификация товаров.

1. Дайте понятие малоэлостичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары являются взаимозаменяемыми?
2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Товар	I	II	III
I
II
III

 

Решение:

1. Обозначим Y = (у₁,у₂,…,у_n) - спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и P = (р₁,р₂,…,р_n) - цены на эти товары, т.е. р_i - цена на i-й товар; y_i - спрос на i-й товар. y= f(p)

Величина является математической идеализацией процентного изменения спроса на i-й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар. 

ε_ij=

Эластичность при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов  изменится спрос на i-й товар  при увеличении на 1% цены на этот же товар.

Эластичность при i j называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

1) если |ε_ii| < 1, то i-й товар называется малоэластичным;

2) если |ε_ii| = 1, то i-й товар называется среднеэластичным;

3) если |ε_ii| > 1, то i-й товар называется высокоэластичным;

4) если увеличение цены на j-й  товар приводит к увеличению  спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемым.

5) если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.

2. При

Товар	I	II	III
I	-0,59	-0,005	0,195
II	-0,005	-0,89	-0,305
III	0,19	-0,305	-1,29

|ε₁₁|=0,59<1 – первый товар малоэлостичен

 |ε₂₂|=0,89<1 – второй товар малоэлостичен

|ε₃₃|=1,29>1 – третий товар высокоэлостичен

поскольку ε₁₃>0 и ε₃₁ >0 – то первый и третий товары взаимозаменяемые

поскольку ε₁₂<0 и ε₂₁ <0 – то первый и второй товары взаимодополняемые

поскольку ε₂₃<0 и ε₃₂ <0 – то второй и третий товары взаимодополняемые

 

ЗАДАНИЕ 3. Межотраслевой  баланс.

1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
2. За отчетный период имел место следующий баланс предприятия:

х₁=х₁₁+х₁₂+у₁

х₂=х₂₁+х₂₂+у₂

х₁₁=800-

х₁₂=700-

х ₂₁=750-

х₂₂=850-

у₁=300

у₂=220

а) Вычислите коэффициенты прямых затрат

б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции =350; =250 при условии неизменности технологии  производства.

Решение:

1. Коэффициенты прямых затрат в межотраслевом балансе — средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (в единицах изделий, тоннах, тысячах кВт•ч энергии и т. д.) и в ценностной (в руб.). Следовательно, чтобы рассчитать эти коэффициенты, надо разделить величины межотраслевых потоков на валовую продукцию потребляющих отраслей.

Например расход угля в килограммах на 1000 квт (ч электроэнергии).

Коэффициенты прямых затрат используются при вычислении затрат предметов труда, отраслевых показателей затрат сырья, материалов, топлива и энергии на производство единицы продукции. Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

2. При

x₁ = 698

x₂ = 718

x₁₁= 249

x₁₂ = 149

x₂₁ = 199

x₂₂ = 299

y₁ = 300

y₂ = 220

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат:

 

б) Вычислим плановый объем валовой  продукции отраслей

Решаю систему получим:

x₁=629,722 – плановый объем валовой продукции первой отрасли

х₂=504,382 - плановый объем валовой продукции второй отрасли

 

 

ЗАДАНИЕ 4. Использование метода теории игр в торговле.

1. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегии с позиции крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.
2. Выберете стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма- пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

 

А1		-480	620 -
А2	610 -	620 -	630 -
А3			640 -

 

Решение:

1. В соответствии с  величиной H, стратегия разделяется:

 При λ=0 H=max , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

При λ=1 H=max , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

Величина H при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

 

 

а затем выберем наибольшее γ=max(γ_i)

 

Стратегию, на которой достигается  величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. При

А1	61	71	69
А2	59	69	79
А3	11	19	89

 

Выберем по каждой строке таблицы  минимальное число α _i и максимальное β _i , затем вычислим их полусумму γ_i

				α i	β i	γi
А1	61	71	69	61	71	66
А2	59	69	79	59	79	69
А3	11	19	89	11	89	50

Получим

α = max(α ₁, α ₂, α ₃)=61

β = max(β ₁, β ₂, β ₃)=89

γ = max (γ_1, γ₂, γ₃)=69

Так как α =61 и это число находится в строке А₁, то А₁ – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 61 единицам.

Так как β =89 и это число находится в строке А₃, то А₃ – стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 89 единиц.

Так как γ =69 и это число находится в строке А₂, то А₂ стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 69 единиц.

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 5. Системы массового обслуживания.

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?
2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди.

Решение:

1. Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

 

Обслуживание требований в СМО  производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

 

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной  из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

 

Экономические показатели, характеризующие  работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,..,n;

L - средняя длина очереди

P₀ - вероятность того, что система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в  обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

n_зан - среднее количество занятых каналов

t_ож - среднее время нахождения в очереди

2. При

α=9,51/8,51=1,118

Р₀=(2-1,118)/(2+1,118)=0,283 (Р₀=28,3%)

L₁=(1,118)³/(4-1,118)=0,48 (треб)

Если интенсивность λ станет равной треб./мин., то в силу неравенства 14,9<2*8,51 условие стационарности СМО выполнимо, и можно вычислить среднюю длину очереди:

α=14,9/8,51=1,75

L₂=(1,75)³/(4-1,75)=2,38 (треб)

Итак, при интенсивности обслуживания треб./мин. и интенсивности входа треб./мин. доля времени простоя касс составляет 28,3% времени, а средняя длина очереди равна 0,48 треб. Если же интенсивность входа станет равной 14,9 треб./мин., то средняя длина очереди уменьшится в 0,2 раза. 
ЗАДАНИЕ 6. Оптимальное управление запасами

1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.
2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.
3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической а и предельной арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

Решение:

1. Задача оптимального управления запасами будет формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

2. Экономически λ интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата α меньше либо равна предельной λ т. е. α≤λ, то аренда выгодна, и объем заказываемой партии вычисляется по формуле

 

q= .

 

 

Если же α>λ, то аренда невыгодна, и тогда объем заказа надо уменьшать, он рассчитывается в этом случае по формуле

 

q=

3. При

α =0,037 (руб./кг.сут.)

λ=0,038 (руб./кг.сут.)

α<λ - фактическая арендная плата больше предельной арендной плате. Следовательно, аренда выгодна и объем заказываемой партии

 

ЗАДАНИЕ 7. Выборочный метод

1. Дайте понятие генеральной и выборочной совокупностей.
2. Определите соотношения между доверительными интервалами:

• при фиксированных значениях среднеквадратического отношения , надежность Р и различных значениях объема выборки:

n₁=610-

n₂= -490;

• при фиксированных значениях среднеквадратического отношения , объема выборки n и различных значениях надежности:

• при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения:

Решение:

1. Совокупность генеральная - множество результатов всех возможных наблюдений, которые могли бы быть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупность генеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производится выборка.

Выборочная совокупность - часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

2. При

а) при фиксированных значениях  среднеквадратического отношения  , надежность Р и различных значениях объема выборки:

n₁=610- =59

n₂= -490=61

Объем выборки находится в соотношении  n₁ < n₂

Тогда из формул нахождения погрешности

следует, что при уменьшении объема выборки n значение ∆ увеличивается и ∆₁>∆₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий объему выборки n₁=59 будет больше доверительного интервала, соответствующего объему выборки n=61

 

б) при фиксированных значениях  среднеквадратического отношения  , объема выборки n и различных значениях надежности:

=0,623

=0,628

Так как р₁ <p₂ ,то исходя из формулы погрешности следует, что возрастание надежности Р значение увеличивается, так как увеличивается значение функции Стьюдента t_p(n). Следовательно, ∆₁<∆₂, т.е доверительный интервал, соответствующий среднеквадратичному отклонению Р₁=0,623 будет меньше доверительного интервала, соответствующего среднеквадратическому отклонению Р₁=0,628.

 

в) при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения:

=1,49

=1,51

<

Исходя из формулы погрешности  следует, что при возрастании среднеквадратического отклонения значение ∆ увеличивается. Следовательно,  ∆₁<∆₂, т.е доверительный интервал, соответствующий среднеквадратичному отклонению =1,49 будет меньше доверительного интервала, соответствующего среднеквадратическому отклонению =1,51.

 

 

ЗАДАНИЕ 8. Корреляционные методы

1. Дайте понятия функциональной и корреляционной зависимостей.
2. Коэффициент корреляции. Его смысл и свойства.
3. Оцените тесноту связи и направление связи между признаками х и у, если известны: b – коэффициент регрессии; и - среднеквадратическое отклонения признаков х и у.

Решение:

1. Корреляционная зависимость - это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака функции полностью определяется значениями факторных признаков.

Функциональная зависимость - форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение (определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака).

2. Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными.

Коэффициентом корреляции r_ху случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

r_xy = µ_xy*(σ_x/σ_y)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин  равен нулю.

Свойства:

1. Абсолютная величина корреляционного  момента двух случайных величин  Х и Y не превышает среднего  геометрического их дисперсий.

│µ_xy│≤

2. Абсолютная величина коэффициента  корреляции не превышает единицы.

│r_xy│≤ 1

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен  от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

3. При

r=

Полученный коэффициент корреляции показывает, что связб между Х  и У умеренная и обратная, т.е. при возрастании факторного признака х значение результативного признака у уменьшается. 
ЗАДАНИЕ 9. Транспортная задача

1. Дайте понятия плана перевозок и оптимального плана перевозок.
2. Критерий оптимальности в методе потенциалов.
3. Решите задачу:

На трех базах A₁, А₂, А₃ имеется однородный груз в количестве a₁ тонн на базе А₁, а₂ тонн на базе А₂ и а₃ тонн на базе А₃. Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: b₁ тонн - в пункт В₁, b₂ тонн – в пункт В₂, b₃ тонн  - в пункт В₃, b₄ тонн  - в пункт В₄, b₅ тонн  - в пункт В₅.

Затраты на перевозку 1 тонны груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов С (в тыс. руб).

Спланировать перевозки так, чтобы  их стоимость была минимальной.

Запасы груза	Потребность в грузе	Матрица тарифов
а1=250 а2=200 а3=150	b1=180 b2=120 b3=90 b4=105 b5=105	C=

Решение:

1. Рассмотрим деятельность региональной транспортной компании, специализирующейся на перевозках одного определённого продукта. Имеется n различных географических мест, в каждом из которых находится поставщик (или непосредственно производитель) продукта, располагающий запасом этого продукта в объёме a_i, i=1,2,…,n. В других различных m местах, удалённых от поставщиков, имеются потребители этого продукта в объёмах b_j, j=1,2,…m. Для поставщиков и потребителей продукт – товар, имеющий рыночную цену. Для транспортной компании продукт – груз, перевозка которого также имеет цену. Компания рассматривает поставщика как отправителя, а потребителя – как получателя груза.

Обозначим x_ij количество груза, перевозимого от i-го отправителя к        j-му получателю, x_ij>0. Известна матрица С внутренних цен (себестоимостей) перевозок c_ij – стоимостей доставки единицы количества груза от от i-го отправителя к j-му получателю. Цель компании – учитывая запросы потребителей и производителей продукта в его количествах, минимизировать затраты на перевозку при естественных ограничениях для x_ij. Составление оптимального плана перевозок, т.е. максимальное удовлетворение поставленным требованиям.

2. Критерии оптимальности: 

Для того чтобы допустимый план перевозок в транспортной задаче был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа u₁, u₂,…, u_n,v₁, v₂,…, v_n  , что X⁺= , (i=1, , j=1, )

                             если, u_i+v_j=c_ij, x_ij>0

                             если u_i+v_j c_ij, x_ij=0.                        

числа  A_i и B_j  называются потенциалами пунктов отправления и назначения  соответственно.

3.

 

 

Запасы груза	Потребность в грузе	Матрица тарифов
а1=250 а2=200 а3=150	b1=180 b2=120 b3=90 b4=105 b5=105	C=

 

Проверим необходимое и достаточное  условие разрешимости задачи.

∑a = 250+200+150 = 600

∑b = 180+120+90+105+105= 600

Занесем исходные данные в распределительную таблицу:

 

	1	2	3	4	5	Запасы
1	13	15	13	8	7	250
2	5	4	15	11	16	200
3	7	16	9	12	8	150
Потребности	180	120	90	105	105	600

 

Этап I. Определение опорного плана.

 

Используя метод минимальных себестоимостей, построим опорный план (Х⁺) транспортной задачи.

 

					250
					200
					150
180	120	90	105	105	600

 

					250
	120				80
					150
180	0	90	105	105	480

 

 

 

 

					250
80	120				0
					150
100	0	90	105	105	400