Математические методы

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

Решить задачу графически и симплекс-методом.

Решение:

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 5x₁+3x₂ → max, при системе ограничений:

-x1+x2≤8	(1)
3x1+x2≥6	(2)
5x1-4x2≤12	(3)
x1≥0	(4)
x2≥0	(5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом).

или

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений  задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую  функцию задачи F = 5x₁+3x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 5x₁+3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (5; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
-x₁+x₂≤8 
5x₁-4x₂≤12 
 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 44, x₂ = 52 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 5*44 + 3*52 = 376

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой  функции F(X) = 5x₁ + 3x₂ при следующих условиях-ограничений.

- x₁ + x₂≤8

3x₁ + x₂≥6

5x₁ - 4x₂≤12

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₄ со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.

-1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 8

3x₁ + 1x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ = 6

5x₁-4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 12

Введем искусственные переменные x: в 2-м равенстве вводим переменную x₆;

-1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 8

3x₁ + 1x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 6

5x₁-4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 12

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем  так:

F(X) = 5x₁+3x₂ - Mx₆ → max

За использование искусственных  переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.

Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом  искусственного базиса.

Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений выражаем искусственные  переменные:

x₆ = 6-3x₁-x₂+x₄

которые подставим в целевую  функцию:

F(X) = 5x₁ + 3x₂ - M(6-3x₁-x₂+x₄) → max

или

F(X) = (5+3M)x₁+(3+M)x₂+(-M)x₄+(-6M) → max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы  уравнений имеет вид:

 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений  и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл  дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₃, x₆, x₅,

Полагая, что свободные  переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,8,0,12,6)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	8	-1	1	1	0	0	0
x6	6	3	1	0	-1	0	1
x5	12	5	-4	0	0	1	0
F(X0)	-6M	-5-3M	-3-M	0	M	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (- , 6 : 3 , 12 : 5 ) = 2

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	8	-1	1	1	0	0	0	-
x6	6	3	1	0	-1	0	1	2
x5	12	5	-4	0	0	1	0	22/5
F(X1)	-6M	-5-3M	-3-M	0	M	0	0	0

 

4. Пересчет  симплекс-таблицы.

Формируем следующую  часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая  переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной  строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого  плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А  и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	10	0	11/3	1	-1/3	0	1/3
x1	2	1	1/3	0	-1/3	0	1/3
x5	2	0	-52/3	0	12/3	1	-12/3
F(X1)	10	0	-11/3	0	-12/3	0	12/3+M

 

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i4

и из них выберем наименьшее:

min (- , - , 2 : 1²/₃ ) = 1¹/₅

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (1²/₃) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	10	0	11/3	1	-1/3	0	1/3	-
x1	2	1	1/3	0	-1/3	0	1/3	-
x5	2	0	-52/3	0	12/3	1	-12/3	11/5
F(X2)	10	0	-11/3	0	-12/3	0	12/3+M	0

 

4. Пересчет  симплекс-таблицы.

Формируем следующую  часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 2 войдет переменная x₄.

Строка, соответствующая  переменной x₄ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1²/₃

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₄ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 2 заполнены строка x₄ и столбец x₄.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной  строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	102/5	0	1/5	1	0	1/5	0
x1	22/5	1	-4/5	0	0	1/5	0
x4	11/5	0	-32/5	0	1	3/5	-1
F(X2)	12	0	-7	0	0	1	M

 

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (10²/₅ : ¹/₅ , - , - ) = 52

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (¹/₅) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	102/5	0	1/5	1	0	1/5	0	52
x1	22/5	1	-4/5	0	0	1/5	0	-
x4	11/5	0	-32/5	0	1	3/5	-1	-
F(X3)	12	0	-7	0	0	1	M	0

 

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую  часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₃ в план 3 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₃ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=¹/₅

На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.

В остальных клетках  столбца x₂ плана 3 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 3 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной  строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	52	0	1	5	0	1	0
x1	44	1	0	4	0	1	0
x4	178	0	0	17	1	4	-1
F(X3)	376	0	0	35	0	8	M

 

1. Проверка  критерия оптимальности.

Среди значений индексной  строки нет отрицательных. Поэтому  эта таблица определяет оптимальный  план задачи.

Окончательный вариант  симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	52	0	1	5	0	1	0
x1	44	1	0	4	0	1	0
x4	178	0	0	17	1	4	-1
F(X4)	376	0	0	35	0	8	M

 

Так как в оптимальном  решении отсутствуют искусственные  переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Оптимальный план можно  записать так:

x₂ = 52

x₁ = 44

F(X) = 3•52 + 5•44 = 376

Ответ: оптимальный план равен 376 у.е., при x₁ = 44 шт., x₂ = 52 шт.

Задача № 2.

На приобретение оборудования для нового производственного участка  имеются капиталовложения 21 тыс. у.е., а для его размещения выделена площадь 49 м². Можно приобрести оборудование двух видов. Единица оборудования первого вида занимает 7 м² и стоит 2 тыс. у.е. Для оборудования второго вида эти данные: 2 м² и 7 тыс. у.е. Прибыль от единицы нового оборудования составляет 4 тыс. у.е и 7 тыс.у.е соответственно. Сколько нужно приобрести нового оборудования каждого вида, чтобы получить наибольшую прибыль и при этом полностью израсходовать выделенные капиталовложения?

Решение:

Математическая модель задачи:

Пусть х₁ – количество оборудования первого вида

 х₂ – количество оборудования второго вида

Система уравнений определяющая условия  размещения оборудования первого и второго вида по размещению и стоимости:

Необходимо максимизировать целевую  функцию:

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой  функции F(X) = 4x₁ + 7x₂ при следующих условиях-ограничений.

7x₁ + 2x₂≤49

2x₁ + 7x₂≤21

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄.

7x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ = 49

2x₁ + 7x₂ + 0x₃ + 1x₄ = 21

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет  вид:

 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений  и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл  дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки  сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₃, x₄,

Полагая, что свободные  переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,49,21)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4
x3	49	7	2	1	0
x4	21	2	7	0	1
F(X0)	0	-4	-7	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (49 : 2 , 21 : 7 ) = 3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (7) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	min
x3	49	7	2	1	0	241/2
x4	21	2	7	0	1	3
F(X1)	0	-4	-7	0	0	0

 

4. Пересчет  симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=7

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены  строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана  четыре числа, которые расположены  в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого  плана, РЭ - разрешающий элемент (7), А  и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4
x3	43	63/7	0	1	-2/7
x2	3	2/7	1	0	1/7
F(X1)	21	-2	0	0	1

 

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (43 : 6³/₇ , 3 : ²/₇ ) = 6³¹/₄₅

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (6³/₇) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.