Математическая статистика в технологии машиностроения

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

Кафедра “Технология машиностроения”

 

Дисциплина:

«Математическая статистика

в технологии машиностроения»

 

Контрольная работа

 

 

Выполнил:             ТМС уз-11                                                Махнёв ДВ

Студент группы     _________        ___________     _________________

                                    шифр                       подпись                       Ф. И. О.

 

 

Дата поступления контрольной  работы _______________

 

Проверил:                                                     Донсков АС

Преподаватель         ___________     ____________________

                                         подпись                               Ф. И. О.

Содержание.

Задание  1                                                                                                             2

Задание  2                                                                                                             6

Задание  3                                                                                                            12    

Задание  4                                                                                                            15

Cписок литературы, использованной при выполнении заданий                   20   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

Анализ статистических данных. Законы распределения

случайных величин.

 

Исследована стойкость сверл диаметром 3 мм в партии объемом 60 шт. при сверлении  деталей из стали 40Х. Скорость резания  v = 19,2 м/мин; подача s = 0,04 мм/об; глубина сверления 16 мм. Работа велась до поломки. Результаты исследований приведены в табл. 1.

Выполнить статистический анализ полученных данных и выдвинуть гипотезу о  законе распределения стойкости  сверл.

 

Таблица 1

Результаты исследования стойкости  сверл

 

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

1

6,0

13

4,1

25

42,6

37

35,4

49

19,9

2

2,6

14

3,1

26

23,6

38

37,2

50

4,4

3

38,5

15

22,5

27

12,2

39

18,2

51

6,0

4

18,2

16

0,5

28

4,1

40

36,8

52

8,1

5

67,9

17

21,8

29

19,3

41

5,4

53

16,7

6

2,5

18

9,7

30

53,2

42

7,9

54

70,2

7

11,5

19

2,5

31

18,9

43

8,3

55

17,3

8

12,2

20

11,9

32

19,5

44

4,8

56

5,9

9

56,2

21

6,2

33

30,6

45

5,4

57

7,5

10

19,1

22

28,6

34

77,1

46

22,1

58

25,9

11

1,7

23

13,6

35

17,0

47

6,2

59

4,6

12

61,8

24

11,9

36

16,4

48

0,4

60

24,3


 

 

 

 

 

 

Результаты выполнения задания

 

  1. Выполнив с использованием функций табличного процессора Excel ранжирование значений времени работы сверла в порядке их возрастания, получим распределение, приведенное в табл. 2. Согласно приведенным в табл. 2 данным, наибольшее время работы xmax = 77.1 мин, наименьшее xmin = – 0.4 мин. Размах распределения данных составляет

.

 

Таблица 2

Ранжированные значения времени работы сверла в мин.

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

№ сверла

Стойкость T, мин

48

0,4

41

5,4

7

11,5

31

18,9

33

30,6

16

0,5

45

5,4

20

11,9

10

19,1

37

35,4

11

1,7

56

5,9

24

11,9

29

19,3

40

36,8

6

2,5

1

6

8

12,2

32

19,5

38

37,2

19

2,5

51

6

27

12,2

49

19,9

3

38,5

2

2,6

21

6,2

23

13,6

17

21,8

25

42,6

14

3,1

47

6,2

36

16,4

46

22,1

30

53,2

13

4,1

57

7,5

53

16,7

15

22,5

9

56,2

28

4,1

42

7,9

35

17

26

23,6

12

61,8

50

4,4

52

8,1

55

17,3

60

24,3

5

67,9

59

4,6

43

8,3

4

18,2

58

25,9

54

70,2

44

4,8

18

9,7

39

18,2

22

28,6

34

77,1




 

  1. Принимая число интервалов, равным 9, находим цену интервала t = 76,7/9 »8,52 мин. Полученная величина интервала в восемь раз больше цены деления шкалы измерительного прибора, что вполне приемлемо.
  2. Составим таблицу 3 эмпирического распределения отклонения времени работы сверла от номинального времени работы, в которой два первых столбца содержат граничные значения интервалов от xmin до xmin + t; от xmin + t до xmin + 2t и т.д. В каждый интервал включаем значения отклонения времени работы, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно до наибольшего значения интервала, исключая его.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

Эмпирическое распределение отклонения диаметра роликов

от номинального размера в мм.

 

Интервалы х

Середина разряда

Частота fi

Частость

от

до

0,4

8,92

4,66

23

0,23

8,92

17,44

13,18

11

0,11

17,44

25,96

21,7

13

0,13

25,96

34,48

30,22

2

0,02

34,48

43

38,74

5

0,05

51,52

60,04

55,78

2

0,02

60,04

68,56

64,3

2

0,02

68,56

77,1

72,83

2

0,02

 


 

  1. По результатам табл. 3 отобразим эмпирическую кривую распределения (рис. 1). Статистические характеристики распределения и s находим по формулам:

 

Рис 1

 

На основании результата визуального анализа эмпирической кривой распределения можно предположить, что теоретическое распределение  генеральной совокупности отклонения времени стойкости сверла от номинального описывается экспоненциальным законом .Однако окончательное заключение о законе распределения может быть сделано только на основании результатов статистической проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения случайной величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Статистическая проверка гипотез. Проверка

гипотезы о законе распределения параметра исследуемого объекта процесса механической обработки.

 

С целью изучения времени работы сверлом диаметром 3и мм, взята выборка объемом n = 60 шт. Время работы было измерено сикундомером. При статистическом анализе данных выборки были получены следующие результаты:

  • среднее арифметическое отклонение от номинального времени работы сверла ;
  • среднее квадратическое значение отклонения ;
  • частоты отклонения и эмпирическая кривая распределения значений отклонения приведены в табл. 3 и на рис. 1.

Выдвинута гипотеза, что распределение погрешности  времени работы сверла  подчиняется экспоненциальному закону ( .) распределения.

Требуется проверить возможность принятия гипотезы о экспоненциальном законе распределения погрешности времени работы сверла.

 

Результаты выполнения задания

 

Построение  теоретической кривой экспоненциального распределения.

 

Согласно понятию  дифференциальной функции распределения  φ(x), как плотности вероятности, можно считать, что на i – м интервале распределения случайной величины

.                                                   (1)

Так как уравнение  закона экспоненциального распределения имеет вид

то, подставив выражение  для φ(x) в формулу (1), получим

                                                (2)

где - теоретическая частота случайной величины на i – м интервале распределения; n – объем выборки (объем эмпирической совокупности); l – величина интервала эмпирической совокупности; λ-количество сломанных свёрл за интервала эмпирической совокупности  l ;x –интервал с которым ломаются свёрла в данном интервале эмпирической совокупности.

Вычисление теоретических частот по формуле (2) выполним в среде Microsoft Excel, используя данные табл. 3 предыдущего задания. Результаты расчета теоретических частот приведены в табл. 4. На рис. 2 отображены полученные теоретическая и эмпирическая (по данным табл. 3) кривые распределения. Визуальный анализ результатов совмещения двух кривых распределения случайной величины (отклонения от номинального времени работы сверла) позволяет заключить, что эмпирическое распределение может рассматриваться как распределение по экспоненциальному закону.

 

                                                        Таблица 4                                            

        Результаты вычисления теоретических  частот экспоненциального распределения.                                                                                                                    

Интервалы х

Середина разряда

Частота fi

от

до

0

0,4

0,2

0

0

0,4

8,92

4,66

23

25

8,92

17,44

13,18

11

12

17,44

25,96

21,7

13

14

25,96

34,48

30,22

2

2

34,48

43

38,74

5

5

51,52

60,04

55,78

2

2

60,04

68,56

64,3

2

2

68,56

77,1

72,83

2

2

77,1

85,62

81,36

0

0


 

 

 

 

Теоретическая (1) и эмпирическая (2) кривые нормального  распределения

 

Рис. 2.

 

Проверка гипотезы о экспоненциальном распределении

 

Для проверки гипотезы о экспоненциальном распределении генеральной совокупности по взятой из нее выборке можно использовать как критерий λ А.Н. Колмогорова, так и критерий χ2 Пирсона. Выполним проверку по обоим критериям.

 

Проверка гипотезы экспоненциальности распределения по критерию l.

 

Для вычисления величины λ  необходимо предварительно определить значения эмпирической Fп (х) и теоретической F(х) интегральной функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюденного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности значений этих функций определить λ при помощи следующей формулы:

.                                  (3)

Так как  и , где и - накопленные теоретические и эмпирические частоты, а n - объем выборки, то вместо формулы (3) можно пользоваться формулой:

                                         (4)

Накопленной частотой любого m-го значения xi называется сумма частот всех предшествующих значений xi, включая и частоту самого xi, т. е.

                                                  (5)

где m — число значений хi; fi - частота i-го значения х.

Используя данные табл. 4 для теоретических и эмпирических частот, получим результаты вычисления , и , приведенные в табл. 5.

 

Таблица 5

Данные для вычисления критерия l

xi

fi

0,2

0

0

0

0

0

4,66

23

25

23

25

2

13,18

11

12

34

37

3

21,7

13

14

47

51

4

30,22

2

2

49

53

4

38,74

5

5

54

58

4

55,78

2

2

56

60

4

64,3

2

2

58

62

4

72,83

2

2

60

64

4

Σ

60

64

      



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальная разность функций и составляет . По формуле (4) получим

.

 

По табл. 1 приложения 2 по значению l находим вероятность того, что выдвинутая гипотеза о законе распределения отклонения диаметра роликов от номинального размера является достоверной. Так как значению l = 0,52 соответствует , нашу нулевую гипотезу считаем верной.

 

Проверка гипотезы нормальности распределения по критерию χ2.

 

Используя результаты вычисления теоретических и эмпирических частот и , приведенных в табл. 4, вычислим критерий χ2 по формуле

.

Результаты вычисления критерия χ2 приведены в табл. 18. Заметим, что поскольку частоты с 3 по 8-ой интервал менее 5, то они объединены с соседними интервалами. По табл. 6 имеем . Число степеней k = т - р- 1 = 5 - 2 - 1 = 2, где m = 5 - число интервалов, p = 2 - число параметров закона распределения. По табл. 2 приложения 2 находим . Эта вероятность больше доверительной вероятности q = 0,05, следовательно, и по критерию χ2 нашу нулевую гипотезу можно считать верной.

 

Таблица 6

Таблица для вычисления

.

x

от

до

0,4

8,92

23

 

25

 

2

4

0,16

8,92

17,44

11

  

12

  

1

1

0,08

17,44

25,96

13

15

14

16

1

1

0,06

25,96

34,48

2

2

34,48

43

5

7

5

7

0

0

0

51,52

60,04

2

2

60,04

68,56

2

4

2

4

0

0

0

68,56

77,1

2

2

 


 

Задание 3.

Исследование  взаимосвязей параметров и факторов

процессов механической обработки деталей

 

Выдвинута рабочая гипотеза о наличии при точении стали 40Х нелинейной связи между температурой резания θ и скоростью обработки v. Для установления достоверности этой гипотезы осуществлен эксперимент, результаты которого приведены в табл. 7.

Выполнить корреляционный и регрессионный  анализы опытных данных и сформулировать основные выводы о наличии связи  между температурой резания θ  и скоростью обработки v стали 40Х, ее силе и виде уравнения регрессии, отражающего эту связь.

 

                                                                                 Таблица 7

 

Скорость резания v, м/мин

Температура резания θ, °С

опыт 1

опыт 2

опыт 3

опыт 4

опыт 5

10

250

280

310

350

210

40

480

520

440

470

420

100

700

650

740

620

660

200

805

850

720

780

830

300

860

950

900

800

840

400

900

860

950

970

890

600

940

980

900

920

1000


 

 

Результаты выполнения задания

 

Решение вопроса  о наличии или отсутствии связи  между температурой резания и скоростью обработки выполним с помощью электронной таблицы Excel.

Занесем данные табл. 8 в ячейки A2:A31 и B2:B31 (рис. 3). В ячейках A1 и B1 укажем наименования соответствующих столбцов. Вычислим коэффициент корреляции, используя функцию Excel «Корреляция». Для этого в меню пакета Microsoft Excel выберем «Сервис», в котором обращаемся к команде «Анализ данных». В меню «Инструменты анализа» выделим «Корреляция» и в появившемся окне заполним требуемые данные для вычисления коэффициента корреляции и укажем адрес F2 ячейки вывода результатов расчета.

По значению коэффициента корреляции (в ячейке G4 массива F2:H4 результатов функции «Корреляция») можно заключить, что между температурой резания и скоростью обработки  существует достаточно тесная связь, которая может быть описана линейной зависимостью.

Для определения графическим  методом вида уравнения регрессии  θ на v построим с помощью «Мастера диаграмм» пакета Excel точечные графики экспериментальных данных, используя массив ячеек D1:E31 (рис. 3). Отобразим на них линии тренда: линейную (график а), полиномиальную второй степени (график б), степенную (график в) и экспоненциальную (график г).

Визуальный анализ характера разброса точек экспериментальных данных и расположения относительно них линий тренда позволяет заключить, что наиболее подходящим уравнением регрессии, отражающим взаимосвязь между температурой резания θ и скоростью обработки v, является полином второй степени (график б рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таб.8                                                                                                      

Рис.3

Задание 4.

Статистический  анализ точности

процесса механической обработки

С токарного полуавтомата, обрабатывающего валы диаметром  , взята выборка n = 50. Валы были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01 мм. Результаты измерений деталей выборки приведены в нижеприведенной таблице .

Определить точность процесса, его устойчивость, точность настройки  и возможный процент брака  при существующей настройке станка на размер.

 

Таблица 9.

Результаты измерений  диаметра роликов

Вариант №4

1

49,84

11

49,91

21

49,90

31

50,04

41

49,97

2

49,95

12

50,00

22

49,97

32

49,95

42

49,94

3

49,90

13

49,98

23

49,92

33

49,93

43

49,98

4

49,94

14

49,89

24

50,01

34

49,94

44

49,93

5

49,94

15

49,94

25

49,87

35

50,01

45

49,97

6

49,96

16

49,98

26

49,94

36

49,92

46

49,98

7

49,92

17

49,95

27

49,94

37

49,93

47

49,93

8

49,90

18

49,94

28

49,90

38

49,96

48

49,98

9

49,94

19

49,97

29

49,93

39

49,98

49

49,95

10

49,89

20

49,96

30

49,92

40

49,98

50

49,94

Математическая статистика в технологии машиностроения 📙 Контрольная → 🆔 85923

Математическая статистика в технологии машиностроения 📙 Контрольная → 🆔 85923

Математическая статистика в технологии машиностроения