Математические методы. 2

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО  Российский заочный институт легкой и текстильной промышленности

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Экономико – математические методы»

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                Выполнила: студентка  группы 080502СП

                Мухарямова  А.Р.

                7 вариант

                Шифр 7409027С 
                 
                 

      Задача  1

      Запишем исходные данные:

    Материалы Модели  пальто Фонд  времени
    I II III
    Трудоемкость  на ед. продукции, час 3,94 2,48 2,95 25600
    Расход  ткани на ед. продукции, кв.м. 2,6 3,1 3,2 22900
    Прибыль на ед. продукции, руб. 13,9 12,5 15,2 -

      Выпуск  пальто модели I (не более), ед. 2000

      Какое количество изделий каждого вида необходимо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль.

      При решении задачи студент должен выполнить:

      1) на основании данных таблицы  построить модель задачи линейного  программирования;

      2) Решить задачу графическим или  симплексным методом;

      3) дать развернутое экономическое  истолкование полученного решения. 

      Решение 

     Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

     Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 13.9x1+12.5x2+15.2x3 при следующих условиях-ограничений.

     3.94x1+2.48x2+2.95x3≤25600

     2.6x1+3.1x2+3.2x3≤22900

     x1≤2000

     Для построения первого опорного плана  систему неравенств приведем к системе  уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

     В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.

     3.94x1 + 2.48x2 + 2.95x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 25600

     2.6x1 + 3.1x2 + 3.2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 22900

     1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 2000

     Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений  имеет вид: 

     Базисные  переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

     Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

     x4, x5, x6,

     Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

     X1 = (0,0,0,25600,22900,2000)

     Базисное  решение называется допустимым, если оно неотрицательно. 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 25600 3.94 2.48 2.95 1 0 0
x5 22900 2.6 3.1 3.2 0 1 0
x6 2000 1 0 0 0 0 1
F(X0) 0 -13.9 -12.5 -15.2 0 0 0
 

     Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

     Итерация  №0.

     1. Проверка критерия  оптимальности.

     Текущий опорный план неоптимален, так как  в индексной строке находятся  отрицательные коэффициенты.

     2. Определение новой  базисной переменной.

     В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

     3. Определение новой  свободной переменной.

     Вычислим  значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

     и из них выберем наименьшее: 

     Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

     Разрешающий элемент равен (3.2) и находится  на пересечении ведущего столбца  и ведущей строки. 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4 25600 3.94 2.48 2.95 1 0 0 8677.97
x5 22900 2.6 3.1 3.2 0 1 0 7156.25
x6 2000 1 0 0 0 0 1 -
F(X1) 0 -13.9 -12.5 -15.2 0 0 0 0
 

     4. Пересчет симплекс-таблицы.

     Формируем следующую часть симплексной  таблицы.

     Вместо  переменной x5 в план 1 войдет переменная x3

     Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3.2

     На  месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

     В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.

     Таким образом, в новом плане 1 заполнены  строка x3 и столбец x3 .

     Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

     Для этого выбираем из старого плана  четыре числа, которые расположены  в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

     НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

     СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий  элемент (3.2), А и В - элементы старого  плана, образующие прямоугольник с  элементами СТЭ и РЭ.

     Представим  расчет каждого элемента в виде таблицы: 

 

     После преобразований получаем новую таблицу: 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 4489.06 1.54 -0.38 0 1 -0.92 0
x3 7156.25 0.81 0.97 1 0 0.31 0
x6 2000 1 0 0 0 0 1
F(X1) 108775 -1.55 2.23 0 0 4.75 0
 

     Итерация  №1.

     1. Проверка критерия  оптимальности.

     Текущий опорный план неоптимален, так как  в индексной строке находятся  отрицательные коэффициенты.

     2. Определение новой  базисной переменной.

     В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

     3. Определение новой  свободной переменной.

     Вычислим  значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

     и из них выберем наименьшее: 

     Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

     Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и  ведущей строки. 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4 4489.06 1.54 -0.38 0 1 -0.92 0 2909.07
x3 7156.25 0.81 0.97 1 0 0.31 0 8807.69
x6 2000 1 0 0 0 0 1 2000
F(X2) 108775 -1.55 2.23 0 0 4.75 0 0
 

     4. Пересчет симплекс-таблицы.

     Формируем следующую часть симплексной  таблицы.

     Вместо  переменной x6 в план 2 войдет переменная x1

     Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1

     На  месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

     В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

     Таким образом, в новом плане 2 заполнены  строка x1 и столбец x1 .

     Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

     Представим  расчет каждого элемента в виде таблицы: 

B x1 x2 x3 x4 x5 x6
             
             
2000 / 1 = 2000 1 / 1 = 1 0 / 1 = 0 0 / 1 = 0 0 / 1 = 0 0 / 1 = 0 1 / 1 = 1
             
 

       После преобразований получаем  новую таблицу: 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 1402.81 0 -0.38 0 1 -0.92 -1.54
x3 5531.25 0 0.97 1 0 0.31 -0.81
x1 2000 1 0 0 0 0 1
F(X2) 111875 0 2.23 0 0 4.75 1.55
 

     1. Проверка критерия  оптимальности.

     Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

     Окончательный вариант симплекс-таблицы: 

Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 1402.81 0 -0.38 0 1 -0.92 -1.54
x3 5531.25 0 0.97 1 0 0.31 -0.81
x1 2000 1 0 0 0 0 1
F(X3) 111875 0 2.23 0 0 4.75 1.55
 

     Оптимальный план можно записать так:

     x4 = 1402.81

     x3 = 5531.25

     x1 = 2000

     F(X) = 13.9*2000 + 15.2*5531.25 = 111875 

      Экономическое истолкование полученного  решения

      Таким образом, для получения максимальной прибыли от реализации продукции равной 111875 руб. предприятию необходимо производить пальто модели I – 2000 ед., пальто модели III – 5531.25 ед. Дополнительные переменные х4 и х5 показывают разницу между запасами ресурсов и их потреблением. При оптимальном плане производства продукции, х5 = 0, т.е. ресурс второго вида (Расход ткани на ед. продукции, кв.м.) используется полностью, а х4 = 1402.81, т.е. остатки ресурсов первого вида (трудоемкость на ед. продукции, час) составят 1402.81 час.

      Задача 2 

      Введем  переменные х – показатель сортности  продукции, %; у - показатель коэффициента качества труда

      Для выполнения расчетов заполним следующую  таблицу 

      х у х*х у*у х*у у^ |(y-y^)/y|
    1 97,9 0,6 9584,41 0,36 58,74 0,49695 0,17
    2 95,9 0,48 9196,81 0,2304 46,032 0,45595 0,05
    3 97,6 0,59 9525,76 0,3481 57,584 0,4908 0,17
    4 98,1 0,37 9623,61 0,1369 36,297 0,50105 0,35
    5 99,1 0,53 9820,81 0,2809 52,523 0,52155 0,02
    6 98 0,44 9604 0,1936 43,12 0,499 0,13
    7 99,6 0,6 9920,16 0,36 59,76 0,5318 0,11
    8 98,1 0,58 9623,61 0,3364 56,898 0,50105 0,14
    9 94,4 0,41 8911,36 0,1681 38,704 0,4252 0,04
    10 98,6 0,38 9721,96 0,1444 37,468 0,5113 0,35
    Сумма 977,3 4,98 95532,49 2,5588 487,126   1,53
    средние значения 97,73 0,498 9553,249 0,25588 48,7126    
 

      1.Рассчитать  коэффициент парной корреляции  и проверить его значимость  по t-критерию Стьюдента.

      Коэффициент парной корреляции

       , - среднеквадратические отклонения х и у.

       , , - средние значения

      

      

      Таким образом, получаем

      

.

      Проверим  значимость коэффициента корреляции. Найдем статистику

      

;

      где n – количество измерений, n=10.

      По  таблице Стьюдента находим критическое  значение при уровне значимости : , где k=n-2=10-2=8 – число степеней свободы.

      Так как  , то гипотезу о значимости коэффициента корреляции отвергаем. 

      2. Построить уравнение парной регрессии  и определить качество модели  по средней ошибке аппроксимации.

      Уравнение парной регрессии имеет вид  .

      

      

      Таким образом, получаем искомое уравнение 

      Найдем  среднюю ошибку аппроксимации  .

      Так как  , значение средней ошибки аппроксимации превышает допустимый предел 8÷10%. 

      3. Рассчитать коэффициент эластичности  и детерминации.

      Коэффициент эластичности

      Данный  коэффициент эластичности означает, что при изменении х на 1% от своего среднего значения, у изменится на 5,39% от своей средней величины.

      Коэффициент детерминации показывает долю общей вариации зависимой переменной у, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной х.

      Задача 3 

      1. Построить сетевой график и рассчитать его параметры графическим методом. 

      Код работы Продолжительность выполнения работ
      1-2 12
      1-4 5
      1-5 4
      2-3 10
      2-4 3
      3-8 9
      4-6 7
      4-7 2
      5-8 3
      6-7 1
      7-8 5
 

      Построим  сетевой график:

        

      Найдем  параметры сетевого графика графическим  методом.

      

      Ранний  срок свершения события определяется величиной наиболее длительного  отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем tр(1)=0, а tр(N)=tкр(L):

      

      Поздний срок свершения события характеризует  самый поздний допустимый срок, к  которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва свершения  конечного события:

       , причем tп(N)=tр(N).

      Резерв R(i)=tn(i)-tp(i)

      Ранний  срок начала

      Ранний  срок окончания

      Поздний срок окончания

      Поздний срок начала

      Полный  резерв времени показывает, на сколько  можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что  срок выполнения всего комплекса  работ не изменится

      Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие – начинаются в ранние сроки

Математические методы. 2 📙 Контрольная → 🆔 85927

Математические методы. 2 📙 Контрольная → 🆔 85927