Математическая статистика. 2

Задание 1.

Составим  группированный (интервальный) статический ряд.  Величина интервала определяется по формуле Стержеса: 

Начало первого  интервала определяется по формуле: 
 

 

1. Составим  статическое распределение частот , относительных частот , накопленных частот и накопленных частостей . Для каждого интервала указывается частота (число студентов, попавших в данный интервал), относительная частота , накопленная частота (находится последовательным суммированием частот всех предыдущих интервалов) и накопленная частость .

 

Группированный  статический ряд, статическое распределение  частот,

относительных частот, накопленных частот и накопленных  частостей

 

2. Построим  гистограмму частот в координатах (, ) и относительных частот в координатах (, ). Если соединить середины интервалов, получим полигон частот и относительных частот.

Гистограмма и полигон частот и относительных  частот 

 

3. Построим  кумуляту. Кумулята (кривая накопленных частот ил частостей )представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами (, ) или (, ).

    Кумулята 

4. Найдем  эмпирическую (выборочную) функцию распределения . По определению эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что случайная величина X примет значение, меньше заданного x, т.е. . Другими словами, для данного x эмпирическая функция распределения представляет собой накопленную частость.

Для непрерывных  случайных величин значение эмпирической функции распределения можно  найти на концах интервала, так как  неизвестно, сколько значений случайной  величины, принадлежащих этому интервалу, меньше x. 

График  эмпирической функции распределения 
 

Значения  эмпирической функции распределения

 
 
 
 
 
 

5. Для облегчения вычислений выборочных числовых характеристик  составим таблицу.

 
 

6.1 Выборочное  среднее:

  МПа; 

6.2 Выборочная дисперсия:

(МПа)²; 

6.3 Выборочные среднее квадратическое отклонение:

МПа ; 

6.4 Выборочная мода ;

6.5 Выборочная медиана ;

6.6 Коэффициент  вариаций: 
 

6.7 Выборочный  коэффициент ассиметрии:

; 

6.8 Выборочный эксцесс и коэффициент : 

. 

6. Приблизительная проверка нормальности распределения:

 

7.1)по виду  гистограммы и полигона можно  считать распределение симметричным. 

7.2) Так как  , то распределение можно считать приблизительно нормальным. 

7.3) Так как     и   , то распределение можно считать распределение нормальным. 

7.4) Найдем  трехсигмовый интервал: 

      Все значения случайной величины попали в трехсигмовый интервал, поэтому распределение можно считать приближено номальным.

7. Так как выборочное распределение можно считать нормальным, найдем доверительный интервал математического ожидания M(x)=m при уровне надежности по следующей формуле:

 
 

По таблице  функции Лапласа найдем:

  и .

Найдем предельную ошибку выборки:

.

Найдем доверительный  интервал: 
 

С заданной надежностью (вероятностью) 0,95 можно ожидать, что находится в интервале от до . 

Задание 2.

Построить доверительный  интервал для математического ожидания, генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения, считая, что n=10 ; (малая выборка). 

Найдем доверительный  интервал для математического ожидания M(x)=m при уровне надежности           по следующей формуле: 

По таблице  Стьюдента найдем: 

Найдём предельную ошибку выборки:

  МПа

Найдем доверительный интервал: 
 

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что находится в интервале от 911,652278 до 926,747722.

Найдем доверительный  интервал для генеральной дисперсии при уровне надежности по следующей формуле: 

По таблице  распределения Пирсона найдем: 
 
 
 

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что генеральная  дисперсия находится в интервале от до (МПа)².

Найдем доверительный  интервал для генерального среднего квадратического отклонения: 
 
 

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что генеральное среднее квадратическое отклонение находится в интервале от до МПа. 

Задание 3.1

Проверим гипотезу, что истинное значение случайной величины равно (большая выборка: n – объем выборки индивидуального задания).

  МПа.                   МПа.                      МПа.                 

Выдвигаем нулевую  гипотезу . Относительно альтернативной гипотезу возможны два случая: а) ; б) (так как ). Рассмотрим эти случаи. 

А) МПа.

     МПа 

Проверка нулевой гипотезы:

1. По выборке определяем наблюдаемое значение критерия:

 

2. По таблице функции Лапласа определяем критическое значение из равенства:

ф

3. Так как ;

 

Б) .

     . 

Проверка  нулевой гипотезы:

1. По выборке определяем наблюдаемое значение критерия  .
2. По таблице Лапласа определяем критическое значение критерия из равенства:

ф

3. Так как , то нулевая гипотеза принимается. Таким образом с вероятностью 0,95 можно утверждать что выборочное среднее и математическое ожидание различаются незначимо.

 

Задание 3.2

Проверьте гипотезу, что истинное значение случайной  величины равно  (Малая выборка n=10; )

  МПа.                   МПа.                      МПа.                 

Выдвигаем нулевую  гипотезу . Относительно альтернативной гипотезу возможны два случая: а) ; б) (так как ). Рассмотрим эти случаи. 

А) .

     двусторонняя критическая область 

Проверка  нулевой гипотезы: 

1. По выборке  определяем наблюдаемое значение критерия :

 
 
 

2. По таблице критических точек распределения Стьюдента определяем критическое значение критерия , для двусторонней критической области в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы

 
 
 

 

Б) .

     правосторонняя критическая область

Порядок проверки:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, выборочное среднее и математическое ожидание различаются незначимо и, следовательно , истинное значение СВ равно:

 .

Задание 3.3

Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий для больших выборок (, где n- объем выборки индивидуального задания =925 МПа)

А)

     двусторонняя критическая область

Порядок проверки:

2. ф

 

Б)

     правосторонняя критическая область

2. ф

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что математические ожидания различаются незначимо и, следовательно, . 

Задание 3.4

Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий малых выборок (принять , , )

А)

     двусторонняя критическая область

 
 
 

 

Б)

     правосторонняя критическая область

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что математические ожидания незначительно различаются и, следовательно, по результатам проверки .

Задание 3.5

Проверить гипотезу о равенстве двух значений для малых выборок (принять , , ). 
 

  правосторонняя критическая  область 
 

2.     (для большей)

(для  меньшей) 
 

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что дисперсии различаются незначительно и, следовательно, .

Задание 3.6

Проверить гипотезу, что генеральная дисперсия СВ равна , при .

А)

    двухсторонняя критическая область

Проверка: 

 
 

Б)

    правосторонняя критическая область

Проверка:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что генеральная дисперсия СВ равна . 
 
 
 
 

Задание 4.

Проверка  гипотезы о законах распределения по критерию Пирсона.

Группированный  статистический ряд

Выдвигаем : СВ X имеет нормальный закон распределения с параметрами

Выдвигаем : СВ X не имеет нормальный закон распределения с параметрами  
 

Для 1-го интервала:

,

;

Для 2-го интервала:

,

;

Для 3-го интервала:

,

;

Для 4-го интервала:

,

;

Для 5-го интервала:

,

;

Для 6-го интервала:

,

;

Для 7-го интервала:

,

;

Для 8-го интервала:

,

;

Для 9-го интервала:

,

;

 

Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона.

 

Порядок проверки нулевой гипотезы:

 
 

Построение  нормальной кривой по опытным данным.

Гистограмма –  это фигура из столбцов, основание  которых равно ширине интервала  , а высота частоте . Если соединить середины интервалов отрезками прямых, получим полигон электрических частот координатах .

Определяем значения . Ширина интервала %, а объем выборки . Тогда получим: .

Полученные значения приведены в таблице для расчета критерия Пирсона.

Определяем «»-интервал:

;

Нормальная кривая симметрична относительно прямой:

;

Максимум нормальной кривой находится в точке:

,

;

 
 
 

 

 

 
 
 

Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Колмогорова.

Выдвигаем : СВ X имеет нормальный закон распределения с параметрами

Выдвигаем : СВ X не имеет нормальный закон распределения с параметрами

Группированный  статистический ряд, статистическое распределение  частот, относительных частот, накопленных  частот и частостей.

Для определения  теоретической функции распределения  используем функцию Лапласа. 

,

,

, 

,

,

,

,

,

,

Значения  эмпирической и теоретической функций распределения.

 
 

Графики эмпирической(2) и теоретической(1) функций распределения СВ X-содержания компонента.

 

 

Порядок проверки нулевой гипотезы: