Математические задачи энергетики

Математические  задачи энергетики

Введение. Основные понятия и определения

Предмет и задачи курса

     Энергетика (топливно-энергетический комплекс) – область народного хозяйства, охватывающая энергетические ресурсы, предприятия по выработке, преобразованию и использованию различных видов энергии.

     Электроэнергетика - ведущая область энергетики.

     Развитие  электроэнергетики идет по пути развития электроэнергетических систем.

     Электроэнергетическая система - совокупность взаимосвязанных электрических станций, электрических и тепловых сетей, а также потребителей электрической и тепловой энергий, объединенных единством процесса производства, передачи и потребления энергии.

     Электрическая система - это электрическая часть электроэнергетической системы.

     Характерные математические задачи энергетики относятся к таким разделам математики как:

1. Матрицы. Использование матриц для формирования, анализа и преобразования уравнений состояния электрической сети.
2. Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электрических систем;
3. Расчет и анализ режимов электрических систем с применением методов ТВ и математической статистики при учете случайного характера используемых исходных данных о нагрузках электростанций и узлов сети;
4. Методы теории вероятности и математической статистики (ТВ и МС) как математическая основа теории надежности электрических систем;
5. Математические основы теории устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Частотные методы анализа устойчивости.

     Раздел 1. Матричные методы формирования и анализа

     уравнений установившихся режимов  электрических систем 

     На  территории РБ действует электрическая  система республики в целом. Это  совокупность крупнейших электрических станций республики (КЭС и ТЭЦ городов), связанных системообразующими электрическими сетями 330-220-110 кВ. Эта энергосистема условно распадается на 6 областных электрических систем. Их сети содержат также развитые распределительные сети 110, 35, 10, 6 кВ, в дополнение к вышеназванным системообразующим сетям 110, 220, 330, 750 кВ.

     Для реальных электрических сетей, системообразующих  и распределительных, характерно большое  число элементов: линий электропередач (ЛЭП) и подстанций (ПС). Соответственно, уравнения установившихся режимов  электрических систем служат для  нахождения параметров режимов электрических систем, характеризуются многомерностью, т.е. высоким порядком рассматриваемых систем уравнений (сотни ПС и линий электропередач).

     В задачу курса входит изучение уравнений, описывающих установившиеся режимы, и ознакомление с методами, позволяющими решить эти уравнения.

     Уравнения установившихся режимов электрических  систем в силу нелинейной связи параметров режима оказываются нелинейными. Поэтому  строгие аналитические методы для  их решения непосредственно не применяются, а применяются итерационные методы решения уравнений. Поэтому в курсе рассматриваются различные итерационные методы, способы анализа и обеспечения их сходимости, ее улучшения и ускорения.

     1.1. Понятие о режимах  электрических систем  и

     схемах  замещения.

     Режим электрической системы определяет ее состояние, описываемое набором характеристик или параметров режима электрической системы. Режимы бывают установившимися (стационарными) или переходными.

     Режим определяется нагрузками электрических  станций и потребителей электрических систем, а также состоянием схемы сети. Нагрузки электрических станций, отдельных генераторов и потребителей меняются в разрезе суток, в течение недели, в рабочие и выходные дни, посезонно. Поэтому установившихся режимов электрической системы может быть неисчислимое множество, но их параметры лежат в диапазоне от режима максимальных нагрузок до режима минимальных нагрузок.

     Изменение нагрузок происходит в каждый момент времени: тяговая нагрузка, станки, лифты и др., которым характерна переменная нагрузка.

     Установившимся  называется режим, при котором среднее  значение параметров неизменно.

     Переходные  режимы представляют совокупность процессов  перехода от одного установившегося  режима к другому.

     Установившиеся  режимы разделяют на нормальные эксплуатационные (max, min нагрузок), ремонтные, паводковые (в системах с гидроэлектростанциями), утяжеленные и послеаварийные режимы.

     Схемы замещения электрических систем представляют собой совокупность схем замещения отдельных элементов  – генераторов, трансформаторов, линий, нагрузок. Математическое описание и анализ схем замещения электрических систем ведется с использованием теории графов. В схемах замещения различают ветви, узлы и контуры, в теории графов – соответственно ребра и вершины графа, дерево схемы и хорды, образующие замкнутые контуры.

     Теория  графов применима для любых сетей (водопроводных, радиоэлектронных и  др.), разработана и развита в  текущем столетии, для аналитического описания графов эффективно используются матрицы.

     Для принципиальной схемы электрической системы (рис. 1) может быть составлена схема замещения (рис. 2), параметры которой приведены к одной ступени напряжения. Эта схема может быть упрощена, если нагрузки подстанции привести к стороне высшего напряжения, как на рис. 3.

     Технологической постановке задачи расчета режима соответствует определение напряжений узлов и токов ветвей сложнозамкнутой сети при известном напряжении как минимум в одном из узлов сети, называемом балансирующим, и заданных нагрузках в остальных узлах сети (как правило – на шинах электростанций и подстанций) энергосистемы. 
 
 
 
 

      Рис. 1. Принципиальная схема электрической  системы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис.2. Схема замещения электрической  системы; параметры схемы приведены  к одной ступени напряжения 

     Связанный направленный граф

     Таким образом, упрощенная схема замещения (рис. 3) представляет собой связанный  граф, описывающий конфигурацию электрической  сети (ЭС) плюс совокупность параметров ветвей схемы замещения R±jX или (Y – проводимость цепи), представленная диагональными матрицами параметров dZ_в и dY_в, dK_тв (коэффициенты трансформации в общем случае).

     Для записи, анализа и оптимизации  алгоритмов расчета режимов надо иметь возможность аналитически представлять информацию о конфигурации электрической сети или схемы ее замещения.

     Для аналитического описания схема замещения  и ее граф должны быть прежде всего  пронумерованы. Нумерация может  вестись произвольно или по принципу ярусности, обеспечивающему наглядность  и формализованный подход, поддающийся алгоритмизации и автоматизации.

     В схеме ЭС выбирают балансирующий  узел, мощность которого не фиксируется, и узел, опорный по напряжению, в  котором есть средства регулирования  напряжения позволяющие обеспечить желаемое напряжение в сети. Для  простоты мы будем совмещать узлы балансирующий и опорный.

     В балансирующем узле мощность равна  алгебраической сумме мощностей  узлов плюс сумма потерь мощности в сети, которые определяются по окончании расчета режима. Балансирующему узлу назначается последний номер.  

     Нумерация и топологический анализ схемы с  учетом принципа ярусности

     Необходимый этап идентификации сети – ее нумерация, т.е. присвоение номеров (или названий) узлам и ветвям сети. Нумерация  может быть произвольная или упорядоченная. На начальной стадии изучения предмета примем упорядоченную нумерацию с учетом принципа ярусности.

     Сущность  принципа ярусности при нумерации  схем:

1. Первый шаг. Последовательно рассматриваются все ветви, берущие начало от балансирующего узла, и присваиваются номера узлам, которые являются концами этих ветвей: концом 1 - й ветви является узел 1, концом 2 ветви – узел 2 и т.д. Т. е. номер ветви совпадает с номером (индексом и уровнем) узла, который является концом рассматриваемой ветви. Это условие облегчает алгоритмизацию и программирование учета конфигурационных связей при расчете токораспределения разветвленных разомкнутых сетей (здесь «уровень» узла соответствует его индексу - номеру), при организации цикла, в массиве узлов). Принцип ярусности согласрван с методом вторых адресных или идентификаторных отображений, используемых для учета конфигурационных связей в электросетевых расчетах.
2. Второй шаг. Рассматриваем последующие ветви схемы, которые составят второй и последующие ярусы. Начальными вершинами ветвей II яруса служат концы ветвей I яруса.

     Ветви схемы, обеспечивающие связь узлов  с балансирующим (условно – питание  этих узлов), составляют “дерево”* сети. Ветви схемы, походящие к узлам, ранее уже запитанным по “дереву”, образуют замкнутые контуры и относятся к “хордам”. Ветви дерева и хорды образуют отдельные массивы информации. Таким образом, параллельно с нумерацией ведется топологический анализ схемы и определяется структура и размерность матрицы (т.е. числовых массивов) исходной, промежуточной и выходной информации.

____________________________________

     * Дерево есть минимальный подграф, обеспечивающий связь незавивисимых узлов с балансирующим.

     После того как схема пронумерована, выделено дерево и хорды и определены (приняты) направления ветвей (от начала к  концу), составляются матрицы соединений узлов и ветвей или матрицы “инциденций”.

     Эти матрицы представляют собой прямоугольные  таблицы. I-ая матрица инциденций [M]_{n x m} имеет число строк, равное числу узлов, и число столбцов, равное числу ветвей схемы. На пересечении строки и столбца ставится M_ij = ± 1,0.

     +1 – если ветвь оттекает от  узла;

     -1 – если ветвь поддтекает к узлу

     0 – если ветвь не связана  с узлом.  

     Для схемы рис. 3 матрица М имеет  вид

          в е т в и 

     M =             
 

     Первая  матрица соединений М – блочная, имеет подматрицу М_a - для ветвей дерева, М_b - для хорд.

     По  определению, число ветвей дерева соответствует  числу независимых узлов в  схеме, поэтому матрица М_a - квадратная, а также обратимая.

     Выясним сейчас, ?

     Очевидно, что суммы элементов всех строк  для каждого столбца М_aS обращаются в 0 при учете строки для балансирующего узла М_БУ. Следовательно, если из этой прямоугольной подматрицы М_aS для дерева сети удалить строку для балансирующего узла, то мы получим матрицу М_a невырожденную и квадратную Матрица М_b “узлы – хорды” прямоугольная и обращена быть не может, непосредственно с этой матрицей системы уравнений не решаются. 

     I-й закон Кирхгофа для электрической сети  

     Первая  матрица соединений позволяет записать I-й закон Кирхгофа для электрической сети в целом в матричной форме. Для этого введем в рассмотрение столбцевые матрицы – токов узлов и токов ветвей  

           (1) 

            (2)

      Выражения (1) и (2) представляют собой матричную  запись I-го закона Кирхгофа для электрической сети в целом, они компактны, наглядны и исчерпывающие.  

Частный случай расчета токораспределения

для разомкнутой  сети 

      Представим  входящие в (2) матрицы в их блочной форме. 

           (3) 

           (4) 

      При разомкнутой схеме 

      I_b = 0  ,      (5)

т.е., токораспределение  в разомкнутой сети при заданных нагрузках узлов Jy можно определить только по ее конфигурации, без учета параметров. Матрица = C_0р называется матрицей коэффициентов токораспределения для разомкнутой сети или для дерева сети.

      Задающие  тока узлов Jy или задающие мощности Sy представляют суммарный ток нагрузки или суммарную мощность нагрузки в узле и в задаче расчета режимов являются независимыми переменными величинами.

      Матрица M_a содержит аналитические описание конфигурационных связей (связностей схемы).

      I_a в (5) – это вектор – столбец искомых токов ветвей.

      Домножим  обе части уравнения (5) M_a^-1 слева. Получим 

           Е 

      Откуда 

              (6) 
 
 

      Вторая  матрица соединений “ветви - контуры” 

      Вторая  матрица соединений “ветви - контуры” дает контурную модель конфигурации электрической сети. Представляет собой прямоугольную таблицу, у которой столбцы соответствуют ветвям схемы, а строки – независимым контурам.

      Для схемы замещения рис. 2, представленной связанным направленным графом рис. 3, N запишется:

                           N_a               N_b

      или N = [N_a N_b]

      Количество  строк матрицы N равно k - числу независимых контуров. Элемент матрицы принимает значение N_ij = ±1,0. На пересечении i-й строки и j-го столбца ставится n_ij = 1, если j-я ветвь входит i-й контур и ее направление совпадает с направлением обхода по контуру, n_ij = -1, если ветвь противоположна обходу по контуру, n_ij = 0, если j-я ветвь не входит в j-й контур.

      Направление обхода контура в схеме (рис.3) совпадает  с направлением тока в хорде. Очевидно, что при таком способе формирования контуров N_b - единичная матрица, N_a - прямоугольная матрица. Число столбцов матрицы N равно n + k = m, где m – число ветвей схемы, n – число независимых узлов, равное числу ветвей дерева m_a; k – число замкнутых контуров k=m_b, n=m_a. II матрица инциденций N “контуры – ветви” позволяет аналитически ввести информацию о конфигурации в уравнения II закона Кирхгофа. (II матрица инциденций позволяет из списка ветвей дерева и списка хорд (рис. 3а) и соответствующих им по структуре одномерных массивов для дерева и хорд Z_a, I_a, DU_a и др., Z_b, I_b, DU_b выбрать информацию по ветвям, образующим соответственно I-ый, II-ой и остальные замкнутые контуры). 

      II закон Кирхгофа  

      II закон Кирхгофа в записывается на основании закона Ома для участков цепи.  

      Рис. 4.  

      DU_вi=I_вiZ_вi-E_вi - закон Ома для участка цепи     

      DU_вi=dZ_в I_в - E_в – закон Ома для всей сети     (7)

      Согласно  II закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений по ветвям замкнутого контура равна 0. 

      NDU_в = 0 – II закон Кирхгофа        (8)

      С учетом (7),

       ,        (9)

где dZ_в- диагональная матрица сопротивлений ветвей сети.

       - второй  закон Кирхгофа для всей сети    (10) 

      Обобщенное  уравнение состояния электрической сети

      по  законам Кирхгофа

      Матрицы обобщенных параметров

            MI_в = J_y (11)

            NdZ_вI_в=NE_в 

      В выражении (11) все матрицы имеют  известную структуру. Подставим  их в виде блочных матриц  

               (12)

      или

         (13)

      Здесь F – вектор столбец независимых характеристик режима; I – искомые токи ветвей. [A] - матрица, содержит обе конфигурационные модели М и N параметры dZ_в.

      Определим порядок системы уравнений.

      Системы уравнений (12),(13) имеют порядок n + k, равный числу ветвей схемы. Матрица квадратная, блочная, в общем случае невырожденная, обратную к ней А^-1 также представим в виде блоков

             (14)

      Тогда токи ветвей

            (15)

      Обозначим - проводимость (размерность См=1/Ом),

      Тогда I_в = CJ_y + YE_в        (17)

      Выражение (16) позволяет записать токораспределение  в схеме с помощью матриц обобщенных параметров.

      Из  выражения (17) реализующему принципу наложения (суперпозиции), можно найти токораспределение в схеме. Оно представляет сумму двух составляющих С и J_y – обусловленной задающими токами узлов сети, и YE_в – обусловленной наличием ЭДС в ветвях схемы. Особенность ситуации в том, что в электрических сетях режим задают чаще всего узловыми токами J_y или мощностями S_y, а ЭДС в ветвях отсутствуют Е_в = 0, вместо ЭДС ветвей задают напряжения в части узлов сети (БУ, на шинах генераторов ЭДС). Тогда уравнение состояния (17) получает вид

            I_в = CJ_y (18)

      Мы  получаем частный случай уравнения состояния, где С – матрица коэффициентов распределения, E_в = 0. Выражение (18) дает нам метод коэффициентов распределения. Он справедлив с некоторым приближением и для мощностей (если умножить обе части выражения (18) на U_ном, например)

            S_в » CS_y, (19)

      Входящие в выражение (18) и (19) матрицы имеют комплексные элементы.

      Матрица коэффициентов распределения С = [C_ij]_{m n} прямоугольная. Ее элемент С_ij показавает долю тока i-го узла, протекающего по i-й ветвий. Определение элементов этой матрицы громоздко, однако вычисленная один раз, она позволяет безитерационным путем находить приближенное потокораспределение без учета потерь в сети. Приближенное значение потерь мощности на участках DS_i и суммарных потерь в сети легко определятся

              (20)

      На базе матрицы коэффициентов распределения на кафедре “Электрические системы” БГПА разработана полная система быстродействующих алгоритмов анализа и оптимизации режимов энергосистем [          ], предложены методы коррекции элементов матрицы [C] при переключениях в схеме (для анализа ремонтных режимов) и т.п.

      Другой  частный случай уравнений состояния (17) возникает, когда нагрузки в узлах  представляются сопротивлениями или  проводимостями, включенными на землю.

      Тогда J_y = 0 и

            I_в = YE_в или S_в » U_н (YE_в). (20а) 

      Здесь Y – матрица собственных и взаимных проводимостей ветвей электрической сети.

      Диагональный  элемент этой матрицы Y_ii (или собственная проводимость источника) определяет I_ii – собственный ток источника, т.е. величину и фазу тока i-ой ветви в цепи данного i-го источника) от действия ЭДС этой же ветви Е_i, т.е.

      Побочный  элемент матрицы Y_ij (или взаимная проводимость) определяет взаимный ток I_ij, т.е. величину и фазу тока в цепи i-го источника от действия ЭДС Е_j – j-го источника.

      Полный  ток ветви представляет алгебраическую сумму собственного и взаимных токов 

      т.е.

      или

      Эту матрицу Y используют для записи уравнений установившегося режима при анализе устойчивости электрических систем и называют матрицей собственных и взаимных проводимостей генераторных станций, или матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей.