Математическое моделирование. 4

     Вариант 1 

1. Дайте классификационную  схему видов моделирования.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ  СИСТЕМ

  В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

  Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем. Классификация видов моделирования систем S приведена на рисунке.

  В зависимости от характера изучаемых  процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Дискретное  моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

  В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

  Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

  При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Аналоговое  моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное  место при мысленном наглядном  моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий - составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

  В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус - словарь, который очищен от неоднозначности, т. е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

  Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов.

  Математическое  моделирование. Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы S математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель.

  Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая,

  описывает реальный объект лишь с некоторой  степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

  Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродиф-ференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

  Наиболее  полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие  искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными  системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

  В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить  и те выводы, которые можно сделать  при использовании качественного  метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

  В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

  При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S.

  Основным  преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

  Когда результаты, полученные при воспроизведении  на имитационной модели процесса функционирования системы S, являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т. е. появился метод статистического моделирования. Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) - численный метод решения аналитической задачи.

  Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

  При решении задач машинного синтеза  систем на основе их имитационных моделей  помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы  необходимо также разработать алгоритмы поиска оптимального варианта системы. Далее в методологии машинного моделирования будем различать два основных раздела: статику и динамику, - основным содержанием которых являются соответственно вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами.

  Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

  Другие  виды моделирования. При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т. д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУ предприятием потребует, во-первых, создания такой АСУ, а во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т. е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно. Рассмотрим разновидности реального моделирования.

  Натурным  моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Надо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания, обладают высокой степенью достоверности.

  С развитием техники и проникновением в глубь процессов, протекающих  в реальных системах, возрастает техническая  оснащенность современного научного эксперимента. Он характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента, и в соответствии с этим появилось новое научное направление - автоматизация научных экспериментов.

  Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что  в нем могут появиться отдельные  критические ситуации и определяться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процессе функционирования объекта. Одна из разновидностей эксперимента - комплексные испытания, которые также можно отнести к натурному моделированию, когда вследствие повторения испытаний изделий выявляются общие закономерности о надежности этих изделий, о характеристиках качества и т. д. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений, проходящих в группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т. е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики.

  Другим  видом реального моделирования  является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени, а также может рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые "замороженные" процессы, которые фиксируются в некоторый момент времени. Наибольшие сложность и интерес с точки зрения верности получаемых результатов представляет физическое моделирование в реальном масштабе времени.

  С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить  на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

  Особое  место в моделировании занимает кибернетическое моделирование, в  котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как "черный ящик", имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причем на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Общая постановка задачи линейного программирования.

  Любое предприятие производит продукты, затрачивая ресурсы. Продукт - результат производства, то, что выходит из производства. Это может быть материальный продукт (хлеб, машина, кирпич, дом, книга, видеокассета), либо услуга (транспортная, парикмахерская, предоставление в аренду жилья). Ресурс – то, что используется в производстве (труд, земля, сырье, техника). Причем ресурс - это не сам человек, земля или машина, а время использования их в производстве. Продукты и ресурсы в совокупности называются ингредиентами, под которыми понимается все, что имеет отношение к производству: ресурсы входят в производство, затрачиваются, продукты выходят из производства, создаются, порождаются.

  Технологический способ – это обособленная, выделенная часть производства, использующая определенные ресурсы и производящая определенные продукты. Каждый технологический способ имеет идентификатор (имя или номер) и единицу измерения его мощности (интенсивности). Технологическим способом может быть отдельная технологическая линия, напр., конвейер по сборке автомашин, но это необязательно. Универсальное оборудование может выпускать различную продукцию, тогда технологическим способом будет производство на данном оборудовании какого-либо продукта, или целой группы продуктов, если они производятся вместе.

  Не  может быть так, чтобы некоторым  технологическим способом производилась  продукция и не затрачивались  никакие ресурсы. Эта фантастическая ситуация называется в русских сказках  скатертью - самобранкой, а в греческой мифологии - рогом изобилия козы Амалфеи, из которого кормили в младенчестве будущего верховного бога Зевса. Если бы такой способ существовал, можно было бы производить неограниченное количество продукции без всяких издержек, что, конечно же, невозможно. Аналогично, не может существовать технологический способ, затрачивающий  ресурсы, но ничего не производящий. Это был бы не способ производства,  а способ уничтожения ресурсов.

  С каждым технологическим способом связан интерес человека, занятого планированием. Две противоположные постановки проблемы планирования:

  а) при заданном наличии ресурсов произвести как можно больше продукции;

  б) произвести заданное количество продуктов  при наименьшем расходе ресурсов.

  В просторечии задачу производства иногда формулируют следующим образом: произвести как можно больше продукции при наименьшем расходе ресурсов (максимизировать продукцию при минимальных издержках). Такая постановка проблемы невозможна, т. к. можно максимизировать или минимизировать только одну величину при ограничениях на остальные.

  Введем  обозначения:

j=1,…, n – номер технологического способа, его идентификатор;

i =1,…, m – номер ингредиента;

i=1,…, k - номер продукта, номера от единицы до k  присваиваем продуктам;

i = k + 1,…, m – номер ресурса,  ресурсам присваиваем номера от  k+1 до m;

a_ij - технологический коэффициент i-го ингредиента при единичной интенсивности использования j-го технологического способа;

a_ij при I ≤ k – выход( производство) i-го продукта при единичной интенсивности j-го технологического способа;

a_ij при i > k – расход i-го ресурса при единичной интенсивности использования j-го технологического способа;

b_i  -  ограничение на величину i-го ингредиента;

b_i при i≤ k - минимально допустимый объем производства i-го продукта; если такого ограничения нет, то b_i = 0;

b_i  при i > k - максимально допустимое значение расхода i-го ресурса; если такого ограничения нет, то b_i = ∞;

c_j  – показатель качества плана при единичной интенсивности использования j-го технологического способа; это может быть обьем производства одного из продуктов, который нужно максимизировать, либо расход одного из ресурсов, который нужно минимизировать; это могут быть другие показатели, напр., выпуск продукции или прибыль (их нужно максимизировать) или издержки (необходимо минимизировать);

x_j – плановая интенсивность использования j-го технологического способа (переменная, неизвестная величина) .

    Условия задачи удобно записать  в виде матрицы (рис. 4.3)

  Приступим к созданию математической модели. Для определенности будем считать, что c_j -  выпуск продукции в денежном выражении, который, естественно, нужно максимизировать. Будем последовательно собирать модель из элементов: 
 

  c_jx_j  -  плановый выпуск продукции j-м способом;

    –  плановый выпуск продукции  в совокупности всеми способами; само выражение называется целевой функцией и ее нужно максимизировать; численная величина целевой функции называется критерием оптимальности;

  a_ijx_j -  плановая величина i-го ингредиента;

  a_ijx_j при i ≤ k – плановый выпуск i-го продукта j-м способом;

    при i ≤ k - плановый выпуск i-го продукта всеми способами;

    при i ≤ k - нижняя граница выпуска i-го продукта; напомним, что если такого ограничения нет, то b_i = 0;

  a_ijx_j  при i > k – плановый расход i- го ресурса j-м способом;

    при i > k - плановый расход i-го ресурса всеми способами;

    при i > k - ограничение по расходу i-го ресурса (нельзя израсходовать больше b_i).

  Видно, что ограничения по продуктам (не меньше) и по ресурсам (не больше) имеют  противоположный смысл. С целью  упрощения записи желательно привести ограничения к одному виду. Для этого обе части ограничения по продуктам умножим на -1, а знак отношения сменим на противоположный (“не больше” заменим на “не меньше”).

  Последнее ограничение – величина x_j не может быть отрицательной. Технологический способ либо используется, и тогда x_j > 0, либо нет, и тогда x_j = 0. Если же допустить, что x_j < 0, это означало бы, что технологический способ работает в обратном направлении. Напр., вместо производства бензина, керосина, мазута и других продуктов будет создаваться нефть из нефтепродуктов. В большинстве случаев это технически невозможно и в любом случае - экономически нецелесообразно.

  Запишем математическую модель общей задачи линейного программирования.

  Найти max при ограничениях:

         x_j ≥ 0.

  Обратим внимание на то, что данную постановку задачи можно легко превратить в  противоположную. Умножив на -1 целевую  фукцию и ограничения по ингредиентам, получим.

  Найти  min при ограничениях:

        x_j ≥ 0.

  Обе постановки задачи эквивалентны. Модель составлена так, что на каждый ингредиент i имеется одно и только одно ограничение.

  Может случиться так, что не по каждому  ингредиенту (продукту или ресурсу) устанавливается ограничение. С  другой стороны, по некоторым ингредиентам могут быть два ограничения - сверху и снизу. Пусть b_i - плановая величина i-го ингредиента , – нижняя допустимая граница значения b_i , а - верхняя граница. Тогда количество ограничений по таким ингредиентам удвоится: