Математическое моделирование. 2

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

 

Учреждение  образования

“Гомельский государственный  технический университет

имени П.О. Сухого”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу  “Математическое моделирование”

(вариант 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент

Группы ЗВД61

Богачев А.Н.

Принял преподаватель

Целуев М.Ю.

 

 

 

 

 

 

Гомель 2006

 

Задача 1. Построить  дробный факторный план типа 2^6-2 с генерирую-

щими соотношениями  х5=х1x2; x6=x1x2x4. Приняв в качестве существенных

переменных  главные эффекты и эффекты  парного взаимодействия факторов,

определить  систему смешивания действия переменных для построенного

плана и вид  регрессионной модели, параметры  которой можно оценить по

построенному  плану.

Решение. Для  ведущих четырех факторов строим полный факторный

план типа 2⁴, содержащий n=2⁴=16 опытов. Программу изменения остальных

факторов определяем при помощи генерирующих соотношений: x5=x1x2 и

x6=х1x2x4. Дробный факторный план типа 2^6-2 с генерирующими соотношениями x5=x1x2 и x6=х1x2x4 представлен в таблице 1.

Таблица1.

Дробный факторный план типа 2^6-2.

Номер опыта	Значения факторов
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5=х1х2	Х6=х1х2х4
1	-1	-1	-1	-1	1	-1
2	1	-1	-1	-1	-1	1
3	-1	1	-1	-1	-1	1
4	1	1	-1	-1	1	-1
5	-1	-1	1	-1	1	-1
6	1	-1	1	-1	-1	1
7	-1	1	1	-1	-1	1
8	1	1	1	-1	1	-1
9	-1	-1	-1	1	1	1
10	1	-1	-1	1	-1	-1
11	-1	1	-1	1	-1	-1
12	1	1	-1	1	1	1
13	-1	-1	1	1	1	1
14	1	-1	1	1	-1	-1
15	-1	1	1	1	-1	-1
16	1	1	1	1	1	1

Определяющие  контрасты (ОК) получаем из генерирующих соотношений путем умножения  каждого соотношения на его левую  часть с учетом

правила:

x^2k =1, x^{2k +1} =x, k =1, 2, 3, ...

Обобщенный  определяющий контраст (ООК) содержит все ОК, а также

их произведение. Систему смешивания действия переменных определяем путем поочередного перемножения ООК на каждую переменную из списка существенных. Список существенных переменных, ОК, ООК и система смешивания действия переменных представлены в таблице 2.

Система смешивания содержит исчерпывающую информацию о смешивании действия существенных переменных при проведении эксперимента

по дробному факторному плану типа 2^6-2. Если какое либо равенство из системы смешивания содержит хотя бы две переменные из списка существенных, то их действие оказывается смешанным между собой. Оценить раздельно коэффициенты регрессионной модели при смешанных переменных нельзя, поэтому необходимо принять решение об удалении части смешанных переменных из регрессионной модели до проведения вычислений в соответствии с методикой регрессионного анализа.

Смешанные переменные выделены в таблице 2 полужирным начертанием. Удаляем часть смешанных переменных более высокого порядка до получения пригодного списка существенных переменных. Удаленные переменные выполнены полужирным начертанием.

Таблица2.

Система смешивания действия переменных.

Существенные переменные	ОК	ООК	Система смешивания
1	1=х1х2х5,1=х1х2х4х6	1=х1х2х5=х1х2х4х6=х4х5х6	1=х1х2х5=х1х2х4х6=х4х5х6
х1			х1=х2х5=х2х4х6=х1х4х5х6
х2			х2=х1х5=х1х4х6=х2х4х5х6
х3			х3=х1х2х3х5=х1х2х3х4х6=х3х4х5х6
х4			х4=х1х2х4х5=х1х2х6=х5х6
х5			х5=х1х2=х1х2х4х5х6=х4х6
х6			х6=х1х2х5х6=х1х2х4=х4х5
х1х2			х1х2=х5=х4х6=х1х2х4х5х6
х1х3			х1х3=х2х3х5=х2х3х4х6=х1х3х4х5х6
х1х4			х1х4=х2х4х5=х2х6=х1х5х6
х1х5			х1х5=х2=х2х4х5х6=х1х4х6
х1х6			х1х6=х2х5х6=х2х4=х1х4х5
х2х3			х2х3=х1х3х5=х1х3х4х6=х2х3х4х5х6
х2х4			х2х4=х1х4х5=х1х6=х2х5х6
х2х5			х2х5=х1=х1х4х5х6=х2х4х6
х2х6			х2х6=х1х5х6=х1х4=х2х4х5
х3х4			х3х4=х1х2х3х4х5=х1х2х3х6=х3х5х6
х3х5			х3х5=х1х2х3=х1х2х3х4х5х6=х3х4х6
х3х6			х3х6=х1х2х3х5х6=х1х2х3х4=х3х4х5
х4х5			х4х5=х1х2х4=х1х2х5х6=х6
х4х6			х4х6=х1х2х4х5х6=х1х2=х5
х5х6			х5х6=х1х2х5х6=х1х2х4х5=х4

 

Таким образом, регрессионная модель, параметры  которой можно оценить по построенному плану, имеет вид: у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃+а₄х₄+а₅х₅+а₆х₆+а₁₃х₁х₃+а₁₄х₁х₄+а₂₃х₂х₃+а₃₄х₃х₄+а₃₅х₃х₅+а₃₆х₃х₆.

Задача 2. Провести регрессионный анализ данных, заданных значениями факторов и отклика, приведенными в таблице 3.

Таблица3.

Исходные данные

Номер опыта	Значения факторов						Значения отклика
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5=х1х2	Х6=х1х2х4	У1	У2	У3
1	-1	-1	-1	-1	1	-1	225	216	213
2	1	-1	-1	-1	-1	1	273	270	269
3	-1	1	-1	-1	-1	1	330	312	321
4	1	1	-1	-1	1	-1	221	229	226
5	-1	-1	1	-1	1	-1	184	191	180
6	1	-1	1	-1	-1	1	225	233	220
7	-1	1	1	-1	-1	1	279	280	283
8	1	1	1	-1	1	-1	199	191	192
9	-1	-1	-1	1	1	1	277	285	279
10	1	-1	-1	1	-1	-1	248	249	257
11	-1	1	-1	1	-1	-1	300	299	294
12	1	1	-1	1	1	1	302	291	287
13	-1	-1	1	1	1	1	241	247	242
14	1	-1	1	1	-1	-1	202	217	217
15	-1	1	1	1	-1	-1	260	264	255
16	1	1	1	1	1	1	250	251	254

Решение. Определяем среднее значение отклика в i-й  серии дублирующих опытов:

где yij – значение отклика в j-м опыте i-й серии  дублирующих опытов; g – количество дублирующих опытов.

Находим оценку дисперсии отклика в i-й серии  дублирующих опытов:

где n – количество опытов в плане эксперимента.

Результаты  вычислений представлены в таблице 4.

 

 

 

 

Таблица 4.

Дисперсия и среднее  значение отклика в сериях опыта. 

Номер опыта	у1	у2	у3
1	225	216	213	218,0	26,0
2	273	270	269	270,7	2,9
3	330	312	321	321,0	54,0
4	221	229	226	225,3	10,9
5	184	191	180	185,0	20,7
6	225	233	220	226,0	28,7
7	279	280	283	280,7	2,9
8	199	191	192	194,0	12,7
9	277	285	279	280,3	11,6
10	248	249	257	251,3	16,2
11	300	299	294	297,7	6,9
12	302	291	287	293,3	40,2
13	241	247	242	243,3	6,9
14	202	217	217	212,0	50,0
15	260	264	255	259,7	13,6
16	250	251	254	251,7	2,9
Сумма				4010,0	306,9

 

Проверку однородности дисперсий выполняем по критерию Кочрена:

Критическое значение критерия Кочрена при уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν₁=g-1=3-1=2 и ν₂=n=16 составляет Gкрит=0,335. Поскольку выполняется условие G< Gкрит ряд дисперсий можно считать однородным. Определяем оценку дисперсии отклика:

Для расчета  коэффициентов регрессии (примечание: план и, соответственно, регрессионная  модель взяты из примера 1):

у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃+а₄х₄+а₅х₅+а₆х₆+а₁₃х₁х₃+а₁₄х₁х₄+а₂₃х₂х₃+а₃₄х₃х₄+а₃₅х₃х₅+а₃₆х₃х₆

составляем  вспомогательную таблицу 5.

 

Таблица 5.

 

№	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5=х1х2	Х6=х1х2х4
1	-1	-1	-1	-1	1	-1	218,0	-218,0	-218,0	-218,0	-218,0	218,0	-218,0	218,0	218,0	218,0	218,0	-218,0	218,0
2	1	-1	-1	-1	-1	1	270,7	270,7	-270,7	-270,7	-270,7	-270,7	270,7	-270,7	-270,7	270,7	270,7	270,7	-270,7
3	-1	1	-1	-1	-1	1	321,0	-321,0	321,0	-321,0	-321,0	-321,0	321,0	321,0	321,0	-321,0	321,0	321,0	-321,0
4	1	1	-1	-1	1	-1	225,3	225,3	225,3	-225,3	-225,3	225,3	-225,3	-225,3	-225,3	-225,3	225,3	-225,3	225,3
5	-1	-1	1	-1	1	-1	185,0	-185,0	-185,0	185,0	-185,0	185,0	-185,0	-185,0	185,0	-185,0	-185,0	185,0	-185,0
6	1	-1	1	-1	-1	1	226,0	226,0	-226,0	226,0	-226,0	-226,0	226,0	226,0	-226,0	-226,0	-226,0	-226,0	226,0
7	-1	1	1	-1	-1	1	280,7	-280,7	280,7	280,7	-280,7	-280,7	280,7	-280,7	280,7	280,7	-280,7	-280,7	280,7
8	1	1	1	-1	1	-1	194,0	194,0	194,0	194,0	-194,0	194,0	-194,0	194,0	-194,0	194,0	-194,0	194,0	-194,0
9	-1	-1	-1	1	1	1	280,3	-280,3	-280,3	-280,3	280,3	280,3	280,3	280,3	-280,3	280,3	-280,3	-280,3	-280,3
10	1	-1	-1	1	-1	-1	251,3	251,3	-251,3	-251,3	251,3	-251,3	-251,3	-251,3	251,3	251,3	-251,3	251,3	251,3
11	-1	1	-1	1	-1	-1	297,7	-297,7	297,7	-297,7	297,7	-297,7	-297,7	297,7	-297,7	-297,7	-297,7	297,7	297,7
12	1	1	-1	1	1	1	293,3	293,3	293,3	-293,3	293,3	293,3	293,3	-293,3	293,3	-293,3	-293,3	-293,3	-293,3
13	-1	-1	1	1	1	1	243,3	-243,3	-243,3	243,3	243,3	243,3	243,3	-243,3	-243,3	-243,3	243,3	243,3	243,3
14	1	-1	1	1	-1	-1	212,0	212,0	-212,0	212,0	212,0	-212,0	-212,0	212,0	212,0	-212,0	212,0	-212,0	-212,0
15	-1	1	1	1	-1	-1	259,7	-259,7	259,7	259,7	259,7	-259,7	-259,7	-259,7	-259,7	259,7	259,7	-259,7	-259,7
16	1	1	1	1	1	1	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7	251,7
							4010,0	-161,3	236,7	-305,3	168,7	-228,0	324,0	-8,7	16,0	2,7	-6,7	19,3	-22,0

 

 

Используя данные таблицы 5, определяем коэффициенты регрессии:

 

С целью проверки значимости коэффициентов регрессии  определяем оценку их дисперсии:

Для каждого коэффициента регрессии вычисляем значение критерия Стьюдента:

Критическое значение критерия Стьюдента определенное при  уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν=n(g-1)=16(3-1)=32 составляет tкрит=2,04. Коэффициенты регрессии  а₁₄, а₂₃, а₃₄, а₃₅, а₁₃ для которых выполняется условие |t|<tкрит считаем незначимыми и удаляем из регрессионной модели первоначальной структуры. Таким образом, новая структура регрессионной модели имеет вид:

=250,6-10,1х₁+14,8х₂-19,1х₃+10,5х₄-14,3х₅+20,3х₆-1,4х₃х₆

Определяем  среднее значение отклика:

Для проверки адекватности и работоспособности регрессионной  модели строим вспомогательную таблицу 6.

Таблица 6

№
1	218,0	218,9	1004,9	1062,8	0,8
2	270,7	270,7	404,0	402,7	0,0
3	321,0	319,7	4774,8	4956,2	1,7
4	225,3	227,5	533,6	638,4	4,7
5	185,0	183,5	4502,4	4303,4	2,3
6	226,0	229,7	436,8	605,2	13,7
7	280,7	278,7	789,6	904,0	3,9
8	194,0	192,1	3422,3	3203,6	3,6
9	280,3	283,3	1069,3	884,1	8,8
10	251,3	248,3	5,3	0,5	9,2
11	297,7	297,3	2180,9	2215,3	0,1
12	293,3	291,9	1705,7	1826,1	2,1
13	243,3	242,3	68,9	52,8	1,1
14	212,0	212,9	1421,3	1490,0	0,8
15	259,7	261,9	127,7	82,2	5,0
16	251,7	250,9	0,1	1,1	0,6
	4010,0	4009,6	22447,5	22628,2	58,3

Определяем  остаточную дисперсию:

.

где k – количество значимых коэффициентов регрессии, yi - оценка отклика

в i-м опыте.

Проверку адекватности регрессионной  модели выполняем по критерию

Фишера:

Критическое значение критерия Фишера, определенное при  уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν1=n-k=16-7=9 и ν2=n(g-1)= 16(3-1)=32 составляет Fкр=2,36. Поскольку F<Fкр регрессионная модель является адекватной.

Проверку работоспособности  регрессионной модели выполняем  по коэффициенту детерминации:

Поскольку R²≥0,75 регрессионная модель является работоспособной.

Ответ: Данные, приведенные в таблице 3, описываются  следующей регрессионной моделью:

=250,6-10,1х₁+14,8х₂-19,1х₃+10,5х₄-14,3х₅+20,3х₆-1,4х₃х₆

 

 Задача 3. Построить  композиционный план типа В₃ с ядром в виде полного факторного плана типа 2³. Определить вид регрессионной модели, параметры которой можно оценить по построенному плану. Провести регрессионный анализ данных, заданных значениями факторов согласно построенному плану и значениями отклика, приведенными в таблице 7.

 

 

Таблица 7

Номер опыта	Значения отклика
	У1	У2	У3
1	443	448	446
2	446	448	445
3	345	345	349
4	340	344	344
5	477	474	469
6	480	475	473
7	370	372	369
8	373	371	371
9	322	325	324
10	322	329	326
11	414	414	413
12	314	315	314
13	335	334	333
14	366	363	361

Решение. Для  трех факторов строим полный факторный  план типа 2³,содержащий n=2³=8 опытов, который дополняем 2m=2*3=6 “звездными” точками. Композиционный план типа В³ с ядром в виде полного факторного плана типа 2³ представлен в таблице 8.

Таблица 8

№	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1
9	-1	0	0
10	+1	0	0
11	0	-1	0
12	0	+1	0
13	0	0	-1
14	0	0	+1

Регрессионная модель, параметры которой можно  оценить по построенному плану, имеет вид:

у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃+а₁₁х₁²+а₁₂х₁х₂+а₁₃х₁х₃+а₂₂х₂²+а₂₃х₂х₃+а₃₃х₃²

Данные, заданные значениями факторов и значениями отклика, представлены в таблице 9.

Таблица 9

Номер опыта	Значения факторов			Значения отклика
	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3
1	-1	-1	-1	443	448	446
2	+1	-1	-1	446	448	445
3	-1	+1	-1	345	345	349
4	+1	+1	-1	340	344	344
5	-1	-1	+1	477	474	469
6	+1	-1	+1	480	475	473
7	-1	+1	+1	370	372	369
8	+1	+1	+1	373	371	371
9	-1	0	0	322	325	324
10	+1	0	0	322	329	326
11	0	-1	0	414	414	413
12	0	+1	0	314	315	314
13	0	0	-1	335	334	333
14	0	0	+1	366	363	361

. Определяем  среднее значение отклика в  i-й серии дублирующих опытов:

где yij – значение отклика в j-м опыте i-й серии  дублирующих опытов; g – количество дублирующих опытов.

Находим оценку дисперсии отклика в i-й серии  дублирующих опытов:

 

где n – количество опытов в плане эксперимента.

Результаты  вычислений представлены в таблице 10.

Таблица10.

Дисперсия и среднее  значение отклика в сериях опыта.

Номер опыта	у1	у2	у3
1	443	448	446	445,7	4,2
2	446	448	445	446,3	1,6
3	345	345	349	346,3	3,6
4	340	344	344	342,7	3,6
5	477	474	469	473,3	10,9
6	480	475	473	476,0	8,7
7	370	372	369	370,3	1,6
8	373	371	371	371,7	0,9
9	322	325	324	323,7	1,6
10	322	329	326	325,7	8,2
11	414	414	413	413,7	0,2
12	314	315	314	314,3	0,2
13	335	334	333	334,0	0,7
14	366	363	361	363,3	4,2
				5347,0	50,0

 

Проверку однородности дисперсий выполняем по критерию Кочрена:

Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν₁=g-1=3-1=2 и ν₂=n=14 составляет Gкрит=0,335. Поскольку выполняется условие G< Gкрит ряд дисперсий можно считать однородным. Определяем оценку дисперсии отклика:

Для расчета  коэффициентов регрессии составляем вспомогательную таблицу11.

 

Таблица 11.

№	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1	445,7	-445,7	-445,7	-445,7	445,7	445,7	445,7
2	+1	-1	-1	446,3	446,3	-446,3	-446,3	446,3	446,3	446,3
3	-1	+1	-1	346,3	-346,3	346,3	-346,3	346,3	346,3	346,3
4	+1	+1	-1	342,7	342,7	342,7	-342,7	342,7	342,7	342,7
5	-1	-1	+1	473,3	-473,3	-473,3	473,3	473,3	473,3	473,3
6	+1	-1	+1	476,0	476,0	-476,0	476,0	476,0	476,0	476,0
7	-1	+1	+1	370,3	-370,3	370,3	370,3	370,3	370,3	370,3
8	+1	+1	+1	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7
9	-1	0	0	323,7	-323,7	0,0	0,0	323,7	0,0	0,0
10	+1	0	0	325,7	325,7	0,0	0,0	325,7	0,0	0,0
11	0	-1	0	413,7	0,0	-413,7	0,0	0,0	413,7	0,0
12	0	+1	0	314,3	0,0	314,3	0,0	0,0	314,3	0,0
13	0	0	-1	334,0	0,0	0,0	-334,0	0,0	0,0	334,0
14	0	0	+1	363,3	0,0	0,0	363,3	0,0	0,0	363,3
		1		5347,0	3,0	-509,7	139,7	3921,7	4000,3	3969,7