Математическое моделирование процессов и систем

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине: Методы оптимальных решений

на тему: «Математическое моделирование экономических процессов и систем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013

Содержание

Введение………………………………………………………………………………3

1. Основные понятия математического моделирования экономических систем…...5
2. Классификация моделей………………………………………………………….….8
3. Проверка адекватности моделей…………………………………………………...12
4. Этапы экономико-математического моделирования………………………….….14
5. Алгоритм решения типовых задач математического моделирования…………..20
6. Задача………………………………………………………………………………...23

   Заключение…………………………………………………………………………...25

   Список использованных  источников…………………………………………….…27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Модель представляет собой отображение объекта, системы или идеи в форме, отличной от оригинала. С помощью модели воспроизводятся существенные признаки явления или системы и не учитываются второстепенные, несущественные. Модели могут быть физическими, аналоговыми и математическими. Они могут быть представлены в виде графиков, рисунков, математических соотношений, макетов, различного рода механических, электрических и прочих устройств.

Математическое моделирование экономических процессов, тесно связанное с компьютеризацией, в последние десятилетия является наиболее быстро развивающимся направлением экономической науки и ее важнейших приложений.

Отличительной чертой исследований практических экономических задач с помощью математических моделей является то, что в этом случае эксперимент проводится с моделью, а не в реальном мире. Появляется возможность опробовать и экспериментально проверить альтернативные варианты решения проблемы и с помощью математических процедур выбрать лучшие из них, что дает значительный экономический эффект. Область возможного применения экономико-математических методов чрезвычайно велика и постоянно расширяется. Однако область фактического применения в практике намного скромнее. Главная трудность заключается в сложности моделирования экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». Сложность системы определяется числом элементов, входящих в нее, и характером взаимосвязей между ними. При изучении систем недостаточно, а иногда и невозможно, пользоваться методом расчленения их на элементы с последующим изучением этих элементов, поскольку часто система обладает такими свойствами, которыми не обладает ни один ее элемент в отдельности. Кроме того, моделирование существенно усложняется еще и тем, что экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. В экономико-математических исследованиях применяется разнообразный математический аппарат как общий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика), так и специальный, разработанный для экономических исследований (линейное и динамическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания и др.).

 

             1. Основные понятия математического моделирования        экономических систем

Метод моделирования как основа исследования социально – экономических систем.

Термин экономико-математические методы понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов. Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т. е. систем управляемых.

Рассмотрим понятия, связанные с такими системами и методами их исследования. Центральным понятием кибернетики является понятие «система». Единого определения этого понятия нет; возможна такая формулировка: системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множество элементов можно рассматривать как систему, если выявлены следующие четыре признака:

• целостность системы, т. е. комплекс объектов, рассматриваемых в качестве системы, представляет собой определенную целостность, обладающий общими свойствами и поведением,

 • наличие цели  и критерия исследования данного  множества элементов,

• наличие более крупной, внешней по отношению к данной, системы, называемой « средой »;

• возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей (подсистем).

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его входе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-математическом моделировании, т. е. об описании знаковыми математическими средствами социально-экономических систем.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;

• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут использоваться непосредственно как готовые управленческие решения. Они скорее могут быть рассмотрены как «консультирующие» средства. Принятие управленческих решений остается за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование является лишь одним из компонентов (пусть очень важным) в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами. Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели — в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только оказаться мало полезным, но и принести существенный вред. Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели. Важнейшие из этих свойств:

• эмерджентность - как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т.е. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так называемых синергических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом;

• массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

• динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов);

• случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Поэтому экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико-математических моделей на базе теории вероятностей и математической статистики;

• невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;

• активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

Выделенные свойства социально-экономических систем, естественно, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моделирования.

 

2. Классификация моделей

В зависимости от используемых средств моделирования все модели делятся на две большие группы: материальные и абстрактные.

Материальные - это модели воспроизводящие основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. К абстрактным относятся экономико-математические, имитационные, эвристические, а также графические модели По масштабу моделируемой системы различают модели национальной экономики, отраслевые модели, модели функциональных и региональных комплексов, а также модели объединения, фирмы. Так, примером модели национальной экономики может служить межотраслевой баланс национального хозяйства.

К отраслевым относятся модели производства, потребления и распределения продукции отрасли. Региональными моделями являются межпродуктовые балансы отдельных экономических районов. Весьма разнообразен круг моделей на уровне объединений, фирм. Модели, представляющие математически формализованную концепцию функционирования национального хозяйства как единого целого, называются макроэкономическими моделями. Модели, отображающие отдельные звенья или процессы экономики, называются микроэкономическими. По периодам планирования различают модели перспективного, текущего и оперативно-календарного планирования. Модели перспективного планирования разрабатывают на 5 лет и более, модели текущего планирования на 1-2 года, модели оперативно-календарного планирования - на месяц и квартал. По степени учета влияний случайных возмущений модели делятся на детерминированные и стохастические. Детерминированными являются такие модели, в которых для данной совокупности входных значений на выходе может быть получен единственный результат. Стохастическими называются модели, в которых учитывается случайный характер протекающих экономических процессов. В таких моделях характеристики состояния определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Поскольку экономические процессы носят, как правило, случайный характер, стохастические модели более реалистичны.Различают также статические и динамические модели. В статических моделях экономическая система отображается в статическом состоянии за один лишь период времени. В динамических моделях системы рассматриваются в своем развитии в течение нескольких периодов времени. В тех случаях, когда экономические системы очень сложны, для их анализа используются имитационные исследования. Имитационные модели составляются на основе данных выборок, оценивающих результаты работы изучаемой системы. Целью имитационного моделирования является воспроизведение поведения системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами. В некоторых случаях, когда возможность получения оптимального решения теоретически доказана, но необходимые для этого вычисления очень громоздки и требуют больших затрат времени, пользуются эвристическими методами. Примером эвристического моделирования является использование экспертных оценок в экономике. По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования. Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления; имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др. Экономико-математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, другими словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д. Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений, или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни. Немаловажным для руководителя является проблема обеспечения организации ресурсами. Для решения этой проблемы используются методы сетевого планирования (разрабатываются сетевые модели или графы), и затем составляется календарный план выполнения операции, удовлетворяющий существующим ограничениям на обеспечение ресурсами. В результате сетевого моделирования достигается оптимальное перераспределение ресурсов, выявляются резервы времени выполнения работ, рациональное использование трудовых, материальных, энергетических ресурсов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Проверка адекватности моделей

 

Сложность экономических  процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем  затрудняют  не только построение  математических  моделей,  но  и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.    

В естественных науках достаточным условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания  является совпадение результатов  исследования  с  наблюдаемыми фактами.

Категория "практика" совпадает здесь  с  категорией  "действительность". В  экономике и других общественных науках понимаемые таким образом принцип "практика - критерий истины" в большей степени применим к простым дескриптивным моделям,  используемым для пассивного описания и  объяснения  действительности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т.п.).    

Однако главная  задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления  экономикой. Поэтому  распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и  регулируемых  экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными.  Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом  решения  качественно новых социально-экономических задач.    

Специфика верификации нормативных моделей экономики  состоит в том, что они, как правило, "конкурируют" с другими, уже нашедшими практическое применение методами планирования и  управления. При  этом  далеко  не  всегда можно поставить чистый эксперимент по верификации модели, устранив влияние других управляющих воздействий на моделируемый объект.    

Ситуация еще более усложняется,  когда ставится вопрос  о верификации моделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как дескриптивных,  так и нормативных).  Ведь  нельзя  же 10-15 лет и более пассивно ожидать наступления событий,  чтобы проверить правильность предпосылок модели.    

Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства,  соответствие модели фактам  и  тенденциям  реальной  экономической жизни остается  важнейшим критерием,  определяющим направления совершенствования моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью и моделью,  сопоставление результатов по модели с результатами,  полученными иными методами, помогают выработать пути коррекции моделей.    

Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу,  в  том  числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации  моделей, как  доказательство существования решения в модели,  проверка истинности статистических гипотез о связях  между  параметрами и переменными модели,  сопоставления размерности величин и т.д.,  позволяют сузить класс потенциально  "правильных" моделей.    

Внутренняя непротиворечивость предпосылок модели  проверяется также  путем  сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий,  а также со следствиями "конкурирующих" моделей.    

Оценивая современное состояние проблемы адекватности  математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей,  учитывающей как  объективные  особенности  моделируемых объектов, так и особенности их познания,  по-прежнему является одной  из наиболее актуальных  задач экономико-математических исследований.

 

4. Этапы экономико-математического моделирования

 

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний,  в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты.  Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.    

1. Постановка  экономической  проблемы  и ее качественный  анализ. Главное здесь - четко сформулировать  сущность  проблемы, принимаемые  допущения и те вопросы,  на  которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение  важнейших черт и свойств моделируемого  объекта  и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта  и  основных  зависимостей, связывающих его  элементы;  формулирование  гипотез  (хотя  бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.    

2. Построение математической  модели.  Это - этап формализации  экономической проблемы,  выражения  ее в виде  конкретных математических  зависимостей  и отношений (функций,  уравнений, неравенств и т.д.). Обычно  сначала определяется основная  конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали  этой конструкции (конкретный перечень  переменных и параметров, форма  связей). Таким образом, построение  модели подразделяется в свою  очередь на несколько стадий.    

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать  о  таких характеристиках сложности модели,  как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость  модели  затрудняют  процесс исследования. Нужно  учитывать  не только реальные возможности информационного и математического обеспечения,  но и сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить  прирост эффекта).    

Одна из важных особенностей математических моделей -  потенциальная возможность  их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей,  не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения  этой  задачи уже известные модели.    

В процессе построения модели осуществляется  взаимосопоставление двух  систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому,  чтобы  получить  модель, принадлежащую  хорошо  изученному  классу математических задач. Часто это удается сделать  путем  некоторого  упрощения исходных предпосылок  модели,  не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.  Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для  создания новых разделов математики.

3. Математический анализ  модели.  Целью этого этапа  является выяснение  общих свойств  модели.  Здесь применяются чисто  математические приемы исследования.  Наиболее важный момент - доказательство  существования решений в сформулированной  модели (теорема существования). Если  удастся доказать, что математическая  задача не имеет решения,  то  необходимость в последующей  работе по первоначальному варианту  модели  отпадает и  следует  скорректировать  либо постановку  экономической задачи, либо способы  ее математической формализации. При аналитическом исследовании  модели выясняются такие вопросы,  как,  например, единственно ли  решение,  какие переменные (неизвестные)  могут входить в решение,  каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы  тенденции их изменения и т.д.  Аналитической исследование модели по сравнению  с  эмпирическим  (численным) имеет то  преимущество,  что  получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних  и  внутренних параметров модели.    

Знание общих свойств модели имеет столь важное  значение, часто ради  доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели.  И все  же модели сложных  экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию.  В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам,  переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной  информации. Моделирование предъявляет  жесткие  требования  к системе  информации.  В то же время  реальные возможности получения  информации  ограничивают  выбор  моделей, предназначаемых для практического  использования.  При этом принимается  во внимание не только принципиальная  возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и  затраты на подготовку  соответствующих  информационных  массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.    

В процессе  подготовки информации широко используются методы теории вероятностей,  теоретической и математической статистики. При  системном экономико-математическом моделировании исходная информация,  используемая в одних  моделях,  является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот  этап включает разработку алгоритмов  для численного решения задачи,  составления программ на ЭВМ  и непосредственное проведение  расчетов.  Трудности  этого этапа обусловлены,  прежде всего, большой размерностью экономических задач,  необходимостью обработки значительных  массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической  модели  носят многовариантный характер.  Благодаря  высокому  быстродействию современных ЭВМ удается проводить  многочисленные  "модельные" эксперименты, изучая  "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий.  Исследование,  проводимое  численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач,  которые можно решать численными методами,  значительно шире,  чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов  и их применение.  На этом  заключительном этапе цикла встает  вопрос о правильности и полноте  результатов моделирования,  о  степени практической применимости  последних.

Математические методы проверки могут выявлять  некорректные построения  модели  и  тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.  Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и  фактами  действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит  к  слишком  сложной математической модели.  В  соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать,  что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость  возврата  к  предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4).  Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или  же  затраты  на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее  формализации, изменяя их так,  чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические   задачи   могут  быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде.  Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы,  исходную постановку задачи и модель упрощают:  снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов,  нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого  цикла  имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с  построения  простой  модели,  можно быстро получить полезные результаты,  а затем перейти к созданию более совершенной модели,  дополняемой  новыми  условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и  усложнения  экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями,  происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического  анализа  моделей экономики развилась в особую ветвь современной  математики  -  математическую экономику. Модели,  изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями.  При построении таких моделей главным принципом  является  не  столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего  числа  аналитических  результатов посредством  математических доказательств.  Ценность этих моделей для экономической теории  и  практики  состоит  в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными  областями  исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического  обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации,  программ автоматизированного построения  моделей  и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую  роль  должны играть специалисты в соответствующей области экономического  анализа,   планирования,   управления. Главным участком  работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и  синтез  процесса экономико-математического моделирования.

 

 

 

5. Алгоритм решения типовых задач математического моделирования

 

Основной задачей линейного программирования называется задача, состоящая в отыскании значений переменных x1, x2, …, xn, удовлетворяющих ограничениям

 

и обращающих в минимум функцию

 

где aij и cj – заданные числа

К задаче (1)-(2) можно свести любую задачу линейного программирования. Действительно, если, например, функция z обращается в максимум, то функция обращается в минимум. Кроме того, от любого ограничения-неравенства можно перейти к ограничению-неравенству путем введения «фиктивной» неотрицательной переменной.

Упорядоченный набор чисел называется опорным решением задачи(1)-(2), если он удовлетворяет системе ограничений (1).

Упорядоченный набор чисел называется оптимальным решением задачи (1)-(2), если он удовлетворяет системе ограничений и обращает в минимум функцию (2).

Функция (2) называется целевой функцией.

 

Алгоритм симплекс-метода

I. Отыскание опорного решения

Рассмотрим систему ограничений (1) в развернутом виде, опустив условия неотрицательности, получим

 

1. Выразить первые r переменных x1, x2, …, xr через остальные n – r переменные xr+1,…, xn методом Гаусса и получить систему уравнений вида

 

Переменные  x1, x2, …, xr  называются базисными, а xr+1, xr+2 ,…, xn  - свободными.

2. Если в системе (3) все свободные члены β1, β2, …, βr неотрицательны, то решение (β1, β2, …, βr ,0,0,…,0) – опорное. Перейти к поиску оптимльного решения.

3. Если хотя бы одно  из чисел βk<0 а в соответствующем уравнении все коэффициенты άk,j отрицательны, то задача не имеет решений.

4. Пусть свободный член  βk<0. Рассмотреть соответствующее уравнение и найти коэффициент άk,j >0. Рассмотреть все коэффициенты άi,j , имеющие разные знаки с соответствующим свободным членом βi и выбрать тот, для которого отношение к нему свободного члена минимально по модулю.