Математическое моделирование в менеджменте

Содержание

Стр.

1. Теоретические вопросы:
1.   Задание №15………………………………………………………….3
2.   Задание №49………………………………………………………….6
3.   Задание №83………………………………………………………….8
2. Задача №15………………………………………………………………….10
3. Экономико-математическая модель кормления №15……………………12
4. Транспортная задача №15………………………………………………….16
5. Список литературы…………………………………………………………32

1. Теоретические вопросы:
1. Задание № 15: История предметов – «Исследование операций», и «линейное программирование».

Исследование операций - это математическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения наилучших решений в различных областях человеческой деятельности.

Термин "Исследование операций" ("Operation Research") заимствован из западной литературы. Сейчас, пожалуй, нельзя точно назвать, ни дату его возникновения, ни автора, да и вряд ли найдется исчерпывающее определение этого понятия. Под операциями обычно понимают целенаправленные управляемые процессы. Природа их может быть различной - это могут быть военные действия, производственные процессы, коммерческие мероприятия, административные решения, и т.д. Что интересно - операции эти (совершенно несхожие по своей природе) могут быть описаны одними и теми же математическими моделями, более того, анализ этих моделей позволяет лучше понять суть того или иного явления и даже предсказать его дальнейшее развитие. Мир, как оказалось, устроен необычайно компактно (в информационном смысле), поскольку одна и та же информационная схема реализуется в самых разных физических (и не только физических) проявлениях. Благодаря наличию общих закономерностей в развитии самых разных систем возможно исследование их математическими методами. Исследование операций как математический инструментарий, поддерживающий процесс принятия решений в самых разных областях человеческой деятельности, как совокупность средств, позволяющих обеспечить лицо, принимающее решение, необходимой количественной информацией, полученной научными методами, сформировалось на стыке математики и разнообразных социально-экономических дисциплин. Свой вклад в его становление внесли представители самых различных областей науки.

 История возникновения исследования  операций уходит корнями в  далекое прошлое. Так, еще в  1885 году Фредерик Тейлор пришел  к выводу о возможности применения научного анализа в сфере производства. Проблема, рассмотренная им, на первый взгляд, кажется тривиальной: "как оптимальным образом организовать работу землекопов?"  Казалось бы, ответ давно известен - "Бери больше, кидай дальше, отдыхай, пока летит". Однако применение математического аппарата показало несостоятельность этого принципа. Оказалось, что оптимальный вес груза, позволяющий максимизировать количество перебрасываемого материала (при разумной экономии рабочей силы) значительно меньше того, что может поднять человек при максимальной нагрузке.

 Пионером в области перевода  сложных военно-стратегических задач  на язык математики стал Фредерик  Ланчестер. Одним из наиболее  значительных результатов, полученных  ученым, стало открытие в 1916 г.  так называемого квадратичного закона, количественно связывающего достижение победы с двумя основными факторами: численным превосходством живой силы и эффективностью оружия. Было показано, что при одновременном вступлении в бой численное превосходство в живой силе более важно, чем применение более совершенного вооружения, поскольку главную роль играет сосредоточение собственных войск и расчленение сил противника. Классическим примером использования квадратичного закона Ланчестера является тактика Нельсона в сражении при Трафальгаре.

 В 1917 году датский математик  А.К.Эрланг, работавший в телефонной  компании, поставил задачу минимизации  потерь времени на установление  телефонной связи. Полученные  им результаты стали основополагающими  принципами в теории телефонной  связи. Формулы Эрланга (среднее время ожидания вызова и др.) были приняты министерством связи Англии в качестве стандартов для расчета эффективности телефонных линий. Идеи Эрланга почти на полвека предвосхитили современные теории расчета телефонных узлов.

В 1930 г. Г.Левинсон начал применять научный анализ к решению задач, возникающих в торговле. Методика исследования операций была использована для исследования эффективности рекламы, размещения товаров, влияния конъюнктуры на номенклатуру и количество проданных товаров.

В годы второй мировой войны исследование операций широко применялось для  планирования боевых действий. Так, специалисты  по исследованию операций работали в  командовании бомбардировочной авиации  США, дислоцированном в Англии. Ими  исследовались многочисленные факторы, влияющие на эффективность бомбометания. Были выработаны рекомендации, приведшие к 4-х-кратному повышению эффективности бомбометания. В годы войны все эти работы по применению были совершенно секретны, в последствии многие из них нашли свое отражение в специальной литературе.

По окончании второй мировой  войны группы специалистов по исследованию операций продолжили свою работу в  вооруженных силах США и Великобритании. Публикация ряда результатов в открытой печати вызвала всплеск общественного  интереса к этому направлению. Возникает тенденция к применению методов исследования операций в коммерческой деятельности, в целях реорганизации производства, перевода промышленности на мирные рельсы. На развитие математических методов исследования операций в экономике ассигнуются миллионы долларов.

Исследование операций стало применяться  при планировании и проведении некоторых  государственных, социальных и экономических  мероприятий. Так, например, исследования, проведенные для министерства продовольствия, позволили предсказать влияние политики правительственных цен на семейный бюджет.

В США внедрение методов исследования операций в практику управления экономикой происходило несколько медленнее - но и там многие концерны вскоре стали привлекать специалистов такого рода для решения проблем, связанных с регулированием цен, повышением производительности труда, ускорением доставки товаров потребителям и пр. Лидерство в области применения научных методов управления принадлежало авиационной промышленности, которая не могла не идти в ногу с растущими требованиями к ВВС. В 50-е-60-е годы на Западе создаются общества и центры исследования операций, выпускающие собственные научные журналы, ряд американских университетов включает эту дисциплину в свои учебные планы.

В настоящее время в рамках исследования операций сформированы отдельные самостоятельные направления - линейное программирование, выпуклое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, и др.

Что же такое линейное программирование? Это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй мировой войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».

       Можно сказать,  что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны  как целевая функция, так и  ограничения в виде равенств и  неравенств. Кратко задачу линейного  программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

  Линейное программирование  представляет собой наиболее  часто используемый метод оптимизации.  К числу задач линейного программирования  можно отнести задачи:

· рационального использования  сырья и материалов; задачи оптимизации  раскроя;

· оптимизации производственной программы  предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана  перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие  сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых  оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Первые постановки задач линейного  программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике. В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения.

Итак, линейное программирование - это  наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные  которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного  программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

2. Задание № 49: Постановка задачи оптимизации использования заготовленных кормов на стойловый период.

Кормовая база является важнейшим  условием развития животноводства. Наряду с повышение урожайности и снижение себестоимости кормовых культур необходимо внедрять более эффективную структуру кормов. Структура кормов должна рассматриваться не только с точки зрения технологической, но и с экономической. В зависимости от вида, возраста, веса и продуктивности животное требует определенного количества питательных веществ. Отсутствие какого - либо питательного вещества отрицательно сказывается на его продуктивностью. Если с целью увеличения продуктивности животное не ограничивать в кормах, то недостаток одного питательного вещества будет компенсироваться за счет других веществ, продуктивность животного будет наибольшей, но затраты кормов будут большими. Такой подход к решению вопроса кормов животного не экономичен.

Важнейшим элементом питательности  является перевариваемый протеин. Если в кормах его недостает, то резко снижает продуктивность и ведет к значительному перерасходу кормов, но и белковый перекорм нежелателен: он отрицательно влияет на развитие организма животного. Кормовая база должна быть сбалансирована по минимальной потребности в кормовых единицах и перевираемом протеине; состав кормов должен быть разнообразен. Для этого нужно обеспечить зоотехнически допустимые соотношения между основными группами кормов: концентратами, сеном, сочными кормами, зеленым кормом; состав кормов должен содержать в достаточном количестве питательные вещества; суммарная себестоимость кормовой базы должна быть минимальной.

Одинаковый по питательности рацион кормов может состоять из различных  кормов, поэтому среди вариантов  рационов кормов следует выбрать наиболее экономичный (оптимальный) и соответствующий биологическим потребностям животных по содержанию питательных веществ.

Оптимальные рационы рассчитываются для отдельных видов групп  животных с учетом способа их содержания, продуктивности, сезона и т.д. Большую помощь в получении оптимальной структуры кормов оказывают математические модели.

Для формализации этой задачи введем обозначения:

- количество имеющихся видов  кормов

- вид корма

- количество элементов питания  в корме

- вид элемента питания 

- необходимое количество  питательного вещества в рационе животного

- стоимость единицы  вида корма

- норма содержания  питательного вещества в единице

  вида корма

- количество  вида корма в рационе

Задача представляется так:

Найти такое количество кормов, при котором достигается минимум затрат на корма: (1.1)

при условиях, что каждое питательное  вещество содержится в рационе в  необходимом количестве (1.2)

количество кормов расходуется  согласно имеющимся запасам  (1.3)

Мы получим задачу линейного  программирования, которая решается определенными методами.

3. Задание № 83: Двойственные оценки линейного программирования их смысл и назначение.

Теория двойственности представляет собой весьма важное, как с чисто теоретической, так и с практической точки зрения, направление математического программирования. Основной идеей теории двойственности является то, что для каждой задачи линейного программирования (ЛП) существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с решением прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения задач ЛП и проверке оптимальности допустимого решения.  
Рассмотрим задачу: найти min f(x), x Є Rⁿ (1)  при ограничениях g_j( x)≤ 0, j = 1, m; m<n.

Эту задачу называют прямой. Существует связанная с ней задача максимизации, называемая  двойственной:L( x,λ) = max, (2) где  L(x,λ) – функция Лагранжа.  
Понятие двойственности устанавливает определенные отношения между решениями прямой и двойственной задач.

Определение. Две экстремальные задачи называются эквивалентными, если множества их решения совпадают, либо обе задачи не имеют решений.

Теория двойственности представляет собой фундаментальное понятие в математическом программировании, имеющее теоретическое и практическое значение.  
Основная идея теории двойственности: для каждой задачи ЛП существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения ЗЛП и проверке оптимальности допустимого решения.

Двойственная задача к ЗЛП в стандартной форме: рассмотрим ЗЛП (в стандартной форме)

min Z = C*X,

A*X = B,

X ≥ 0

(П) Прямая задача.

Каждому i–му (i = 1,m) ограничению поставим в соответствие переменное u_i, положительное, отрицательное или нуль (называемое двойственным переменным), и рассмотрим

 max W = U*B

U* A^T ≤ C, A^T*U ≤ C

(Д) Двойственная  задача

где U есть, так  называемый, вектор–строка (u₁, u₂, …, u_m).  
Линейная задача (Д) тесно связана с линейной задачей (П): 

- матрица ограничений  (Д) есть транспонированная матрица  задачи (П);

- вектор "цен"  для задачи (П) есть вектор правых частей ограничений задачи (Д) и наоборот.  
Данная таблица соответствий между прямой и двойственной задачами позволяет  записать непосредственно двойственную задачу для любой линейной задачи.

Таблица

2. Решить задачу по заданным параметрам.

Целевая функция   max   

Система ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого найдем точки и построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

(1)     =>  при     

                                                                          точки (1) прямой (-5; 5)

(2) =>  при    

                                                                        точки (2) прямой (-41; 8,2)                           

(3) =>  при      

                                                              точки (3) прямой (29; 15,4)

(4)  =>  при     

                                                          точки (4) прямой (-31,5; 12,6)

(5)  =>  при     

                                                                 точки (5) прямой (8; -3,2)

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию  задачи Z = 3x₁+x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции Z= 0: Z = 3x₁+x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x1 =15.129, x2 =6.3226 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
Z(X) = 3*15.129 + 1*6.3226 = 51.71

3. Экономико-математическая модель кормления.

Живая масса - 500 кг, удой – 10 кг. Корма: мука ячменная, дерть овсяная, комбикорм, шрот льняной, сено лесное, сено клеверное, солома ячменная, силос злаковый разнотравный, силос подсолнечный, картофель, кормовая свекла,  куузику,  карбамид. От общего количества кормовых единиц концентрированные корма могут составлять не менее 8 и не более 28%, грубые от 10 до 30%, силос от 18 до 36%, корнеклубнеплоды от 3 до 14%. Удельный вес шрота льняного может составлять не более 20% от всех концентрированных кормов, соломы в грубых не более 33,3%, силоса подсолнечного не менее 25% всех корнеклубнеплодов (по массе), карбамида не более 20% потребности в перевариваемом рационе.

Потребность в питательных веществах приведена в таблице 1.

Таблица 1. Нормы кормления дойной коровы.

Справочные данные по характеристике кормов имеются в Таблице 2.

Таблица 2. Питательная ценность и  цена кормов.

Определим перечень переменных и ограничений. Основными переменными в данной модели будет искомое количество кормов, которое может войти в суточный рацион.

 Перечень переменных представим в таблице 3:

таблица 3

Функция цели – минимум стоимости  рациона:

                                                                Ограничения:

таблица 4

Составим каноническую модель по ограничениям, представленным в таблицах с вводом дополнительных переменных:

1. 1,17Х1+0,94Х2+0,9Х3+1,02Х4+0,52Х5+0,46Х6+0,36Х7+0,16Х8+0,13Х9+0,12Х10+

      +0,3Х11+0,11Х12 - Х14=9,6

2. 96Х1+104Х2+160Х3+286Х4+79Х5+34Х6+12Х7+15Х8+15Х9+9Х10+16Х11+9Х12+ +2600Х13 –Х15=1020
3. Х2+2Х3+25Х5+10Х6+4Х7+15Х8+10Х9 –Х16=420
4. Х1+Х2+Х3+Х4 –Х17=8
5. Х1+Х2+Х3+Х4 +Х18=28
6. Х5+Х6+Х7 –Х19=10
7. Х5+Х6+Х7 +Х20=30
8. Х8+Х9 –Х21=18
9. Х8+Х9+Х22=36
10. Х10+Х11+Х12 –Х23=3
11. Х10+Х11+Х12 +Х24=10
12. -0,2Х1-0,2Х2-0,2Х3+0,8Х4+Х25=0
13. -0,333Х5-0,333Х6+0,667Х7+Х26=0
14. 0,2Х10+0,25Х11+0,25Х12-8Х8+Х27=0
15. -19,2Х1-20,8Х2-32Х3-57,2Х4-15,8Х5-6,8Х6-2,4Х7-3Х8-3Х9-1,8Х10-3,2Х11-1,8Х12+

+2080Х13+Х28=0

Таким образом, мы построили экономико-математическую модель задачи оптимизации рациона кормления коровы. Данную задачу я разрешу при помощи пакета MicroSoft – Office 2003, в который входит пакет с электронной таблицей MicroSoft Excel, в распоряжении которого имеется мощное средство поиска решений задач такого типа. Данные, полученные по результатам решения, удовлетворяют своей точностью и аналитическими свойствами. Можно также производить необходимую корректировку введенных данных, с  автоматическим подсчетом конечного результата.

Анализ результатов решения задачи

Результаты расчетов, полученные с помощью программы Microsoft Excel представлены в таблице:

Таблица 5. Оптимальный кормовой рацион