Математичне програмування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольна  робота

З дисциплiни: Математичне програмування

 

Варіант№5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ 2009 рiк.

 

Варіант№ 4

Завдання 1. Скласти математичну модель задачі та розв'язати її графічним методом.

На виробництво  двох видів продукції використовується три групи устаткування. Необхідна кількість устаткування для випуску одиниці продукції та прибуток від реалізації одиниці продукції (у тис. грн.) зазначено в таблиці. Потрібно організувати випуск продукції так, щоб прибуток від її реалізації був найбільшим.

Група виробничого устаткування	Кількість устаткування для випуску одиниці продукції		Кількість устаткування в групі
	Продукція І	Продукція ІІ
А	2	3	12
В	1	2	8
С	4	0	16
Прибуток, тис. грн.	1	3

 

Рішення:

Позначимо через x₁ і x₂ кількість продукції І і ІІ. Тоді умови для необхідного устаткування будуть описуватися наступними нерівностями:

2x₁ + 3x₂ ≤ 12

1x₁ + 2x₂ ≤ 8

4x₁ + 0x₂ ≤ 16

x₁, x₂ ≥ 0

А умова найбільшого прибутку:

f = 1x₁ + 3x₂ → max

Для розв'язання задачі графічним  методом замість нерівностей  системи обмежень беремо відповідні рівняння граничних прямих і будуємо їх графіки:

Звертаючи увагу на півплощини, в яких виконуються відповідні нерівності, знаходимо спільну область, помічену сірим кольором. Стрілкою вказуємо вектор зростання цільової функції f, компоненти якого (1; 3) дорівнюють коефіцієнтам при x₁ і x₂ у виразі цієї функції.

Бачимо, що максимального  значення функція f набуває в точці  М, на перетині прямої 2x₁ + 3x₂ = 12 і вісі x₂. Підставляючи x₁ = 0 в це рівняння, отримуємо:

2*0 + 3x₂ = 12

x₂ = 4

М = (x₁; x₂) = (0; 4)

Значення функції f в точці М:

f_max = 1*0+3*4 = 12

Відповідь:

Найбільший  прибуток у розмірі 12 тис. грн. буде від реалізації 4 одиниць продукції  ІІ без випуску продукції І.

 

Завдання 2. Для заданої ЗЛП побудувати двоїсту, розв'язати одну з пари двоїстих задач симплекс-методом і за її розв'язком знайти розв'язок іншої задачі

F = x₁ + x₂ → max

x1 - x2 ≥ -6

3x1 + 4x2 ≤ 26

2x1 - x2 ≤ 10

 

 

 

 

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

 

Рішення.

Перепишемо ЗЛП, помноживши першу нерівність на -1:

F = x₁ + x₂ → max

-x₁ + x₂ ≤ 6

3x₁ + 4x₂ ≤ 26

2x₁ - x₂ ≤ 10

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

 

Двоїста задача записується у вигляді:

F^* = 6y₁ + 26y₂ + 10y₃ → min

-1y₁ + 3y₂ + 2y₃ ≥ 1

1y₁ + 4y₂ - 1y₃ ≥ 1

y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0

Зведемо вихідну задачу до канонічної форми [5, с. 14]. Для цього добавимо невід'ємні величини x₃, x₄, x₅, щоб нерівності перетворити в рівняння:

 

F - x₁ - x₂ → max

-x₁ + x₂ + x₃ = 6

3x₁ + 4x₂ + x₄ = 26

2x₁ - x₂ + x₅ = 10

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄ ≥ 0, x₅ ≥ 0

 

Розв'яжемо дану задачу симплекс-методом [5, с. 18]. Заповнюємо симплекс-таблицю початковими значеннями, вибираємо стовпець (x₁) з першим від'ємним значенням (-1) в останньому рядку, вибираємо рядок (x₅) з найменшим значенням b_i/x_i (5) і виділяємо розв'язувальний елемент (2):

 

xб	b	x1	x2	x3	x4	x5	bi/xi
x3	6	-1	1	1	0	0	—
x4	26	3	4	0	1	0	26/3
x5	10	2	-1	0	0	1	5 (min)
Δ	0	-1	-1	0	0	0

 

Вводимо в базис x₁ замість x₅ і перераховуємо таблицю. Вибираємо стовпець (x₂) з єдиним від'ємним значенням (-3/2) в останньому рядку, вибираємо рядок (x₄) з найменшим значенням b_i/x_i (2) і виділяємо розв'язувальний елемент (11/2):

 

xб	b	x1	x2	x3	x4	x5	bi/xi
x3	11	0	1/2	1	0	1/2	22
x4	11	0	11/2	0	1	-3/2	2 (min)
x1	5	1	-1/2	0	0	1/2	—
Δ	5	0	-3/2	0	0	1/2

 

Вводимо в базис x₂ замість x₄ і перераховуємо таблицю:

xб	b	x1	x2	x3	x4	x5	bi/xi
x3	10	0	0	1	-1/11	7/11	—
x2	2	0	1	0	2/11	-3/11	—
x1	6	1	0	0	1/11	4/11	—
Δ	8	0	0	0	3/11	1/11

 

В останньому рядку не залишилося від'ємних величин, тому стовбець b містить рішення вихідної задачі — максимум функції F:

x₁ = 6

x₂ = 2

F_max = 8

Запишемо рішення двоїстої задачі з останнього рядка останньої симплекс-таблиці:

y₁ = 0

y₂ = 3/11

y₃ = 1/11

F^*_min = 8

Відповідь:

Вихідна задача: F_max = F(6; 2) = 8

Двоїста задача: F^*_min = F^*(0; 3/11; 1/11) = 8