Образовательное учреждение профсоюзов

высшего профессионального образования

«Академия труда и социальных отношений»

Курганский  филиал

 

Финансовый  факультет 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 
 
 

по дисциплине: «Линейная алгебра» 
 

на тему: «31 вариант»

        

   
 
 

Студентка  гр.     ЗБ 1191                                                    О.С. Голова

Преподаватель:  ст. преподаватель                                    Н. В. Макеева  

                                               
 
 

Курган  – 2011

 

Содержание

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача  №1

Решить матричное  уравнение А· В+Х=2·А+3· Е, если 

 

Решение

      Для нахождения элементов неизвестной  матрицы выполним действия сложения, вычитания, умножения матриц и умножения  их на число.

      Матрицу с неизвестными оставим в левой  части уравнения, остальные матрицы  перенесем в правую часть меняя знак, и выполним все действия с матрицами.

      Х=2·А+ 3·Е - А·В 

1.  Выполним  умножение матриц (§ 1.2. главы 1 [2]). 

А·В= · =  

      2. Найдем матрицы 2·А и 3·Е (§ 1.2. главы 1 [2]). 

2·А=2· =

3·Е=3·

3. Выполним  сложение и вычитание матриц в правой части:

Х= + - = .

Ответ: . 
 

      Задача  №2

Решить систему  линейных уравнений двумя способами: методом Крамера и методом обратной матрицы.

         2х₁ + 3х₂ +х₃ = 4,              

        2х₁ + х₂ + 3х₃ = 0,                      

        3х₁+ 2х₂ + х₃ = 1.  

Решение

      Рассмотрим  решение системы линейных уравнений  первым способом: методом Крамера.

Пусть  А - матрица коэффициентов при неизвестных, Х- матрица – столбец неизвестных и В- матрица – столбец свободных членов:

А= ;  Х= ;  В= .

Найдем  определитель системы  = по формуле 1.4  § 1.3. главы 1 [2]. 

= = 2·1·1 + 2·2·1 + 3·3·3 – (3·1·1+2·3·1+2·3·2) = 12. Так как 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим  определители матриц  , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

          

.

Теперь  по формулам Крамера ( формула 2.8 § 2.1. главы 2 [2])

; ;  ,

т.е. решение  системы  .

      Теперь  рассмотрим второй способ решения системы: метод обратной матрицы.

Левую часть системы можно записать в виде произведения матриц А·Х, а правую – в виде матрицы В. Следовательно, имеем матричное уравнение

                                               А·Х=В.                                                              (

        Решить матричное уравнение - это значит найти неизвестные матрицы X , т.е. найти все элементы этой матрицы таким образом, чтобы при подстановке их в уравнение ( они обратились в верное равенство.

      При решении матричных уравнений  поступают так же, как при решении  алгебраических, т.е. преобразуют уравнения  так, чтобы получить при неизвестном  коэффициент, равный 1. Так как нет  действия деления матриц, а роль единицы у матриц играет единичная  матрица, то вся задача сводится к  тому, чтобы получить при неизвестных  матрицах единичные, а для этого  нужно использовать обратную матрицу.

      Для получения единичной матрицы  при X нужно умножить обе части  уравнения ( на A^-1, а так как произведение матриц не подчиняется коммутативному закону, то A и A^-1 должны быть рядом, поэтому можно умножить обе части уравнения ( на A^-1 слева:

,

так как E×X=X, то получим формулу для решения матричного уравнения ( :

   X =A^-1×B .                                                    

Найдем  матрицу, обратную матрице А.

      1. Вычислим определитель матрицы  A.

.

      2. Найдем присоединенную матрицу  для A. Алгебраические дополнения  находятся для строк, а пишутся  в столбцы, т.е. сразу производится  транспонирование матрицы алгебраических  дополнений, используя формулу  (формула 1.8  § 1.3. главы 1 [2]). 

  ;   ;   ;                            ;                                 ;                     ;

  ;                                 ;                      .

Присоединенная  матрица  .

  3. Найдем обратную матрицу по  формуле:

  .

      4. Найдем X по формуле: 

   X= A^-1 ×B

.                                             

   Чтобы убедиться в правильности решения, нужно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

   Ответ:  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 3

            Исследовать данную систему уравнений  на совместность и решить ее, если она совместна.

  

Решение 

   Так как в данной системе число  уравнений меньше числа неизвестных, то система не может иметь единственного  решения, она либо несовместна, либо имеет множество решений. Выпишем  расширенную матрицу и выполним эквивалентные преобразования.

           

       .

Пояснения к решению:

      1. Переставить местами 1-ю и 3-ю строки.

      2. Первую строку умножить на (-2), затем на (-3) и прибавить ко 2-й и к 3-й строкам.

      3. Умножить вторую строку на 4, третью умножить на (-3).  

      В матрице не получилось противоречивой строки, значит система совместна и имеет множество решений, так как число строк меньше числа неизвестных по теореме Кронекера – Капелли (§ 2.4. главы 2 [2]).

       Система, соответствующая последней  матрице, имеет вид:

   

      В качестве основных неизвестных  можно взять неизвестные, соответствующие  столбцам отличного от нуля  минора 2-го порядка, приведенного к треугольному виду, остальные неизвестные перенести в правую часть.

  - множество решений.

   Если  придавать различные значения неизвестному x₁, то каждый раз будут получаться новые значения неизвестного x₂, те новые решения.

      

      Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 4

      В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если  А(-20,-24), С(-5,-4),  . Сделать чертеж. 

Решение

      Изобразим графически положение ромба в  прямоугольной системе координат  ХОУ:

      Зная  координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой,

      Y    0

      X 

 C

       φ

                                           B φ 
 

      E 

D 
 
 

      A 
 
 

Рисунок 1 – Схематичный  чертеж 
 

проходящей  через две заданные точки:     ;             

В форме  общего уравнения прямой оно примет вид

                              20х -15у + 40 =0,

а в  форме уравнения прямой с угловым  коэффициентом перепишется как 

                               ,  откуда  К_АС =  

Так как  в ромбе диагонали взаимно  перпендикулярны, то угловой коэффициент  диагонали BD будет равен   К_ВD =

Само  же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом К_BD.

      В качестве «заданной точки» возьмем  точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:

              Е (-12,5;-14)

      Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде у + 14 = - (х + 12,5),

      Откуда  у =  - х -     или   6х + 8у + 187 = 0.

      Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты   К_АВ = К_CD и К_ВС = К_AD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

      Для определения указанных угловых  коэффициентов воспользуемся   формулой: 

                                    (*)

 позволяющей  вычислять тангенс угла φ между  двумя заданными прямыми по  их угловым коэффициентам К₁ и К₂; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой             у = К₁х + b₁ до прямой у = К₂х + b₂. Формула (*) оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент К_АС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ( ).

      Так диагонали ромба делят его  углы пополам, то, положив  (рисунок 1), из формулы         для тангенса двойного угла при  tg 2φ = 20/21 найдем tg φ:

      

       

Положим  z = tg φ; тогда ,   откуда 20z² + 42z – 20 = 0;

корнями этого квадратного уравнения  являются z₁ = и z₂ = -2,5; но так как угол φ в ромбе всегда острый, корень z₂ = -2,5 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ = .

      Угол  φ является углом между прямыми  ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (рисунок 1).

      Потому  в первом случае по формуле (*) имеем

      

                                               

                               , откуда при К_АС =     находим К_ВС =  .

                                                     

      Во  втором случае по формуле (*) имеем

                  К_CD – К_AC                    4        26

   =         , откуда при К_АС =         находим К_CD =        .

                     1 + К_CDК_AC             3          7

      Так как противоположные стороны  ромба параллельны, то тем самым  мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.

                        К_CD = K_AB = 26/7; K_BC = K_AD = 14/23.

      Зная  теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ:  у + 24 = 26/7 (х + 20), откуда -26х + 7у – 352 = 0.

Уравнение CD:  у + 4 = 26/7 (х + 5), откуда -26х + 7у – 102 = 0.

Уравнение ВС: у + 4 = 14/23 (х + 5), откуда -14х + 23у + 22 = 0.

Уравнение AD: у + 24 = 14/23 (х + 20), откуда -14х + 23у + 272 = 0.

      Вершины ромба являются точками пересечения  его соответствующих сторон. Поэтому  их координаты найдем путем совместного  решения уравнений этих сторон.

Для вершины В:

                  -26х_В + 7у_В – 352 = 0  =>  В (-15; -10)

                  -14х_В + 23у_В + 22 = 0   

Для вершины  D:

   -26х_D + 7у_D – 102 = 0  =>  D (-8; -17)

                  -14x_D + 23 y_D + 272 = 0

      Координаты  этих точек удовлетворяют ранее  найденному уравнению       

6х + 8у + 187 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность. Уточним теперь положение точек В и D на чертеже и завершим построение последнего.

      Площадь ромба вычислим по формуле S = ½ d₁d₂, где d₁ и d₂ – диагонали ромба.

      Полагая d₁ = |АС|, а d₂ = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:

                                    d₁ =

                                    d₂ =

В итоге  площадь ромба будет равна  S = ½ ∙ 25 ∙ 7 = 87,5 кв.ед.

Сделать чертеж по найденным  точкам.

Ответ

      АС: 20х - 15у + 40 = 0;   BD: 6х + 8у + 187 = 0;

      АВ:-26 х + 7у – 352 = 0;CD: -26х + 7у – 102 = 0;

      ВС: -14х + 23у + 22 = 0;AD: -14х +23у + 272 =0;

            В (-15; -10);    D (-8; -17);    S = 87,5.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача 5 

   Найти собственные значения и собственные  векторы матрицы А=. 

Решение

Собственные значения матрицы А найдем из характеристического уравнения (формула 3.28  § 3.7. главы 3 [2]). 

,

, ,

Решая уравнение, получим:

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число.

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число.

Координаты  собственных векторов, которым соответствует  собственное значение найдем из характеристического уравнения :

, где с - любое действительное  число. 

Ответ: .