Виды и форма взаимосвязи между явлениями

Содержание

Введение

1. Виды и форма взаимосвязи между явлениями

1.1 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

1.2 Прямая и обратная связь 

1.3. Прямолинейная и криволинейная связь

2. Качественные методы определения наличия связи

2.1. Корреляционный анализ

2.2. Регрессионный анализ  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Статистический  учет и отчетность, отражающие совокупность массовых явлений и процессов, характеризующие их с количественной стороны, выявляющие определенные экономические закономерности, служат важным источником анализа. Статистические методы являются основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей.

     Происходящие  явления и процессы органически  связаны между собой, зависят друг от друга и обуславливают друг друга. Поэтому одной из важнейших задач статистики является изучение, измерение и количественное выражение взаимосвязей между производственными показателями, установленными на основе качественного анализа.  
 

1. Виды и форма взаимосвязи между явлениями

     Все явления общественной жизни взаимосвязаны  и взаимообусловлены. Задача статистики состоит в том, чтобы выявить и измерить связи и зависимости между изучаемыми явлениями.

     В статистике различают два основных типа связей:

• функциональную связь
• стохастическую зависимость

       Функциональной называют такую  связь, при которой определенному  значению факторного  признака  соответствует одно и только одно значение результативного признака.

       Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в  среднем при большом числе наблюдений, то такая связь называется стохастической.  Частным  случаем  стохастической  связи  является  корреляционная связь,  при  которой  изменение  среднего  значения  результативного  признака обусловлено изменением факторных признаков¹.

       Корреляционная зависимость проявляется только в средних величинах и выражает числовое соотношение между ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой.

     Корреляционная  связь является свободной, неполной и неточной связью. Например, себестоимость величины продукции зависит от уровня производительности труда: чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость. Но себестоимость зависит также и от ряда других факторов: стоимости сырья и материалов, топлива, электроэнергии, их расхода на единицу продукции, цеховых и общезаводских расходов и т.д. Поэтому нельзя утверждать, что при повышении производительности труда, допустим, на 10% себестоимость снизится также на 10%. Может случиться, что, несмотря на рост производительности труда, себестоимость не только не снизится, но даже несколько повысится, если на нее окажут более сильное влияние действующие в обратном направлении другие факторы.

     Вот почему корреляционная связь может быть установлена только в общем, в среднем путем исключения влияния факторов, не являющихся предметом нашего исследования.

     Связи между явлениями и признаками классифицируются  по степени тесноты  связи, направлению и аналитическому выражению. [2]

     С точки зрения взаимодействующих  факторов связи могут быть парными и множественными. Кроме этого различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. 

     Парная  связь – аналитическое выражение  связи двух признаков.

Множественная связь – модель связи трех и более признаков.[1]  

     1.1 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена 

     Это непараметрический метод, который  используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.[4]

     Практический  расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

     1) Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

     2) Определить разности рангов каждой  пары сопоставляемых значений.

     3) Возвести в квадрат каждую  разность, и суммировать полученные  результаты.

     4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле: 

     где - сумма квадратов разностей рангов, а - число парных наблюдений.

     При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками (таблица 1).[1]

     Количественные  критерии оценки тесноты связи

     Мощность  коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

     Коэффициент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности 

     1.2 Прямая и обратная связь

     По  направлению различают прямую и  обратную связь.

     Если  с увеличением аргумента Х  функция У также увеличивается  без всяких единичных исключений, то такая связь называется полной прямой связью. При прямой связи с увеличением или уменьшением факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. Так например,  рост  производительности  труда  способствует  увеличению  уровня рентабельности производства.

Если  с увеличением аргументам функция У уменьшается без всяких единичных исключений, то такая связь называется полной обратной. В случае этой связи значение результативного признака изменяется под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака.[2]

     Кроме того, в виде исключений, которые, однако, не нарушают общей тенденции, встречается  частичная связь - прямая или обратная. Когда признаки варьируют независимо друг от друга, говорят о полном отсутствии связи. 

     1.3 Прямолинейная и криволинейная связь

     По  аналитическому выражению корреляционная связь может быть прямолинейной  и криволинейной. Прямолинейной  называется связь, когда величина явления  изменяется приблизительно равномерно в соответствии с изменением величины влияющего фактора.

     Математически прямолинейная связь может быть выражена уравнением прямой:

     V=a+b*x,   которое называется линейным уравнением регрессии.

     Если  происходит неравномерное изменение  явления в связи с изменением величины влияющего фактора, то такая связь называется криволинейной. Математически криволинейная зависимость может быть выражена уравнением криволинейной связи. В экономическом анализе для ее выражения часто пользуются уравнением параболы второго порядка:

     y=a+b*x+c*x².

     Уравнение криволинейной связи может быть выражено и в виде дробной функции: показательной функции:

     y=a+b/x и др.

     Однако  корреляционные связи могут быть выражены лишь приблизительно, в то время как функциональные связи имеют точное аналитическое выражение.[] 
 

2. Качественные  методы определения наличия связи

       Для выявления наличия связи,  ее характера и направления  в статистике используются  следующие  качественные  методы: 

• приведения  параллельных данных
• аналитических группировок 
• графический методы

     Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении  двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление по-зволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере.  

     Сравнивая изменение двух величин Х и  У  можно сделать вывод, что  с увеличением величины Х  величина У также возрастает. Поэтому  связь  между ними прямая, и описать ее можно либо уравнением прямой, либо параболы второго порядка.

     Графическая взаимосвязь двух признаков   изображается с помощью поля корреляции. Для этого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака, а на оси ординат – результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой.  При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между  признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи ( рисунок 1) .   

1. Корреляционный анализ

     Корреляционный  метод анализа является составляющим  элементом более общего метода количественного статистического анализа связей – кор-реляционно – регрессионного. 

     При этом корреляционно – регрессионный  анализ как общее  понятие 

включает  в себя измерение тесноты и  направления связи (корреляционный анализ), а также установления аналитического выражения формы связи ( регрессионный анализ). 

     В статистике принято различать следующие  виды корреляции.

       1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным).

     2. Множественная корреляция – связь   между результативным и двумя  или более факторными признаками.

     3. Частная корреляция – связь  между результативным и одним  из факторных признаков при фиксированном значении других признаков.

     Количественно  оценить тесноту и направление связи между двумя признаками   при парной корреляции можно посредством расчета линейного коэффициента корреляции.  Линейный  коэффициент  корреляции  характеризует  тесноту  и  направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

     Линейный    коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально - экономических явлений и процессов, распределение которых  близко к нормальному. На практике применяются различные модификации формул для расчета,  данного коэффициента. Наиболее простой из них является зависимость вида 

      
(1) 

     Физическая  интерпретация  значений коэффициента корреляции приве-

дена  в таблице2 .   

Таблица 2. Оценка линейного коэффициента корреляции  

     Значимость  линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза ( Н0) о равенстве коэффициента корреляции нулю  [Н0: r=0]  При проверке этой гипотезы используется t-статистика.

                                           (2) 

Если  расчетное значение tр> tкр (табличное), то гипотеза Н0 отвергается , что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и У².

     При большем числе наблюдений (n>100) используется следующая формула для определения t - статистики.

                                                                                   (3) 

     Пример.  На основе  выборочных данных о деловой  активности однотипных предприятий оценить тесноту связи с помощью линейного коэффициента корреляции между прибылью  У ( тыс. руб.) и затратами (Х) в копейках  на 1 руб.  произведенной продукции ( таблица. 3  ).

     Алгоритм  расчета.

1. Рассчитываем значения дисперсии 

2.    Рассчитываем значение коэффициента корреляции  по формуле (1)

     r= (60400,67 – 744,33*83,67)/(78029,3*46)  = -0,98.

     3. Проверяем значимость коэффициента  корреляции,  для этого рассчитываем t - статистику Стьюдента  

      =  
 

Таблица № 3. – Исходные данные  

     Сравниваем  полученное  значение  с  табличным  при  уровне  значимости  =0,05 и числе степеней свободы k =6-2=4, которое равно t кр =2,776.

     Вывод. Гипотеза Н0 отвергается, так как  t кр =2,776, что свидетельствует о значимости данного коэффициента корреляции.

       Следует помнить! Приведенные выше зависимости и результаты практических расчетов относятся к предположениям о наличии линейной связи между оцениваемыми параметрами. В случае если заранее известно, что связь нелинейная, то  можно воспользоваться эмпирическим  корреляционным  отношением. [2]

2. Регрессионный анализ

     Как отмечалось ранее регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием  одной или нескольких независимых величин ( факторов), а множество  всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую  величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия  может  быть  однофакторной (парной)  и  многофакторной (множественной). 

     По  форме зависимости различают  линейную и нелинейную регрессию. Парная регрессия  характеризует связь  между двумя признаками: фак-торным  и  результативным.  Аналитическая связь между ними  описывается уравнениями:

• Прямой                 =
• Гиперболы             =
• Параболы       =                                 ( 4  )

       Определить тип уравнения можно  из следующих соображений. 

     А) Если результативный и факторный  признаки возрастают  одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то связь  между  ними – линейная. Б)  Если результативный  и факторный признаки изменяются в обратной пропорции, то связь – гиперболическая.

     В)  Если факторный признак увеличивается  в арифметической прогрессии, а  результативный –  значительно  быстрее,  то  используется  параболическая или степенная регрессия.

       Оценка параметров уравнений   регрессии ( а0,  а1, …аn) производится  на основе метода наименьших  квадратов, который изучается   в курсе высшей математики.

     Для парной  линейной регрессии   система  нормальных уравнений, полученная на основе метода наименьших квадратов имеет вид:

                                                                ( 5 )

       где n – объем исследуемой совокупности  число единиц наблюдения) 

     В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на  результативный  признак  неучтенных (не  выделенных  для  исследования) факторов, а параметры а1, …аn показывают насколько изменяется в среднем

     значение  результативного признака при увеличении факторного.

     Пример. Имеются данные,  характеризующие  деловую активность ак-ционерных обществ закрытого типа  (АОЗТ): прибыль ( тыс. рубл.) и затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп.) . Эти данные приведены в таблице 3. Предположим  наличие  линейной  зависимости  между   рассматриваемыми признаками.  
 
 
 
 
 
 

Таблица 3. – Исходные данные и промежуточные вычисления  

     Система нормальных  уравнений для данного  примера имеет вид  (5 ) а  в  числовом варианте :

        Откуда: = 4153,88; = - 40,75

     Следовательно,  уравнение регрессии имеет вид

     Оценка  адекватности моделей построенных  на  основе уравнений рег-

     рессии  начинается с проверки значимости коэффициентов  регрессии с помощью t - критерия Стьюдента 

      (6)

     где    - дисперсия коэффициента регрессии.

       Параметр модели признается статически значимым, если выполняется условие:

                                                               ( 7 )

       где   -  уровень значимости критерия проверки гипотезы  о равенстве нулю параметров, измеряющих связь, т. е. статистическая  существенность связи, утверждается при отклонении нулевой гипотезы об отсутствии связи;

     n = (n -k - 1) -  число степеней свободы,  которое  характеризует число 

свободно  варьирующих элементов совокупности.

     Дисперсию   можно определить по зависимости:

                                                                                                   (8)

     где    - дисперсия результативного признака;

             k - число факторных признаков в уравнении.

     Проверка  адекватности  регрессионной модели в целом осуществляется с помощью  расчета F - критерия ФИШЕРА и величины средней ошибки аппроксимации   .