Вычисление типа людей с помощью математики

Контрольная работа

 

Контрольная работа по математическим методам в психологии выполняется студентами заочной  формы обучения после завершения лекционного и практического  курса. (в тетради).

 

Содержание контрольной  работы:

Задача 1. Анализ одной выборки

Задача 2. Выявление достоверности различий в уровне признака (критерии Розенбаума,  Манна-Уитни)

Задача 3. Оценка достоверности сдвига в значениях признака (критерии знаков, Вилкоксона)

Задача 4. Непараметрический критерий согласия «хи-квадрат» сравнения распределений признака и угловое преобразование Фишера

Задача 5. Выявление однородности двух выборок по степени различия их параметров ( критерий Стьюдента и критерий Фишера)

Задача 6. Коэффициенты корреляции Пирсона, рангов Спирмена и ассоциации

 

Вариант 6

Задача 1.

В таблице приведены  несгруппированные данные по уровню проявления признака «уровень сформированности вербального мышления» у 20 человек.

Сгруппировать данные, вычислить частоты каждого значения признака, построить полигон частот. Вычислить для признака числовые характеристики: моду, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение – и дать психологическую интерпретацию полученным значениям.

 

Номер испытуемого п/п	Вербальное мышление	Номер испытуемого п/п	Вербальное мышление
1	17	11	16
2	7	12	37
3	17	13	37
4	28	14	14
5	27	15	41
6	31	16	19
7	20	17	18
8	17	18	39
9	35	19	37
10	43	20	47

 

Решение.

Обозначим за случайную  величину X уровень вербального мышления человека.

 

 

  Таким образом, получили вариационный  ряд распределения признака X:

 

 

Xi	ni
10,75	2
18,25	7
25,75	2
33,25	5
40,75	3
48,25	1
∑ =	20

 

Мода  -  варианта с наибольшей частотой, т.е.   Мо = 18,25.

Построим  полигон частот - ломаную линию  с вершинами в точках  (Xi,ni),  где Xi - середины отрезков ( Xk ; Xk+1 ).

 

   

Вычислим среднее  значение:

                       

Выборочная  дисперсия 

.

Среднеквадратичное  отклонение .

 

 

Задача 2.

Две неравные по численности группы испытуемых (8 и 9 человек) решали техническую  задачу. Показателем успешности служило  время решения. Испытуемые меньшей  по численности группы получали дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Получены следующие результаты времени  решения технической задачи в  секундах:

в первой группе (с дополнительной мотивацией) – 39, 38, 44, 16, 25, 25, 30, 43;

во второй группе (без дополнительной мотивации) – 46, 18, 50, 45, 32, 41, 41, 31, 55.

Психолога интересует вопрос: влияет ли вознаграждение на успешность решения  задачи (то есть имеются ли значимые различия во времени решения технической задачи для данных групп)?

 

Решение.

 

При расчете критерия Манна –  Уитни происходит проверка гипотезы об однородности двух выборок. Этот метод  определяет, достаточно ли мала перекрещивающаяся  зона значений между двумя группами. Чем меньше область перекрытия, тем  более вероятно, что различия достоверны.

 

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

 

Составить единый ранжированный  ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени  нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг.

 

Разделить единый ранжированный  ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм ( ), соответствующую выборке с   единиц.

 

Определить  значение U-критерия Манна — Уитни по формуле:

              

 

Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле

,

 

где n - общее количество ранжируемых наблюдений.

 

По  завершению ранжирования следует подсчитать суммы рангов по каждой группе и  проверить ее совпадение с расчетной  суммой.

 

Все данные для решения задачи занесем  в таблицу:

 

Ряд данных из обеих выборок	Ряд данных , ранжированный по возрастанию	Присвоение рангов	Принадлежность элементов  по исходным  групп	Ранги для первой группы наблюдения	Ранги для второй группы наблюдения
39	16	1	1	1
38	18	2	2		2
44	25	3	1	3
16	25	4	1	4
25	30	5	1	5
25	31	6	2		6
30	32	7	2		7
43	38	8	1	8
46	39	9	1	9
18	41	10	2		10
50	41	11	2		11
45	43	12	1	12
32	44	13	1	13
41	45	14	2		14
41	46	15	2		15
31	50	16	2		16
55	55	17	2		17
		153		55	98

 

- суммы рангов совпадают.

 

В нижней строке таблицы вычислены  суммы рангов по соответствующим  столбцам.

Определим большую из двух ранговых сумм – это сумма рангов второй группы наблюдений 98. Вычислим эмпирическое значение критерия по формуле

 

,

 

где n₁ = 8 , n₂ = 9 - количество испытуемых в выборках 1 и 2;

n_х = 9 – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов;

Т_х = 98 – значение большей из двух ранговых сумм.

 

По таблице  для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных   и  . Если полученное значение   меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение   больше табличного, принимается нулевая гипотеза (о незначимом различии исследуемого признака между двумя выборками). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение критерия   .

Для  объёмов  выборок, равных  8 и 9 и уровня значимости 0,05 (вероятность правильности принимаемого решения 0,95 %) табличное значение U критерия равно 15. Рассчитанный критерий равен 19 > табличного, и это означает, что различия по двум выборкам данных недостоверно, незначимо.

 

 

Задача 3.

Группа  школьников в течение летних каникул находилась в спортивном лагере. До и после сезона у них измерили жизненную емкость легких (признак ):

до  «эксперимента» ( , мл):

3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400, 3200, 3400;

после «эксперимента» ( , мл):

3800, 3700,3300, 3600, 3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600.

По  результатам измерений нужно  определить, значимо ли изменился  этот показатель под влиянием интенсивных  физических упражнений.

 

Решение.

Используем  критерий Вилкоксона.

Критерий предназначен для сопоставления  показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке  испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей  в одном направлении более  интенсивным, чем в другом.

Алгоритм применения критерия:

Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.

Вычислить разность между  индивидуальными значениями во втором и первом замерах. Определить, что  будет считаться типичным сдвигом.

Согласно алгоритму ранжирования, проранжировать абсолютные величины разностей (отбрасывая нулевые значения разности), начисляя меньшему значению меньший ранг.

 

Составим из данных задачи таблицу и проведем необходимые  расчёты в ней:

 

	xi	yi	Разности индивидуальных значений yi - xi	Ранжирование разностей между  измерениями	Ранги
1	3400	3800	400	-100	1
2	3600	3700	100	0
3	3000	3300	300	100	2
4	3500	3600	100	100	3
5	2900	3100	200	100	4
6	3100	3200	100	200	5
7	3200	3200	0	200	6
8	3400	3300	-100	300	7
9	3200	3500	300	300	8
10	3400	3600	200	400	9

 

Отметить каким-либо способом ранги, соответствующие сдвигам  в нетипичном направлении и подсчитать их сумму Т:

Типичный «сдвиг» - это положительное значение разности индивидуальных показаний (увеличение жизненной силы под влиянием упражнений). Нетипичное направление - отрицательное  значение разности показаний. 

Получили Т-эмп = 1.

Определить критические  значения Т для данного объема выборки:

Для уровня значимости 0,05 и n = 10  Т-кр = 10.

Если Т-эмп. меньше или равен Т-кр. – сдвиг в «типичную» сторону достоверно преобладает - Т-эмп = 1< Т-кр = 10, следовательно, показатель жизненной силы значимо изменился в сторону увеличения.

 

Фактически  оцениваются знаки значений, полученных вычитанием ряда значений одного измерения  из другого. Если в результате количество снизившихся значений примерно равно  количеству увеличившихся, то подтверждается гипотеза об однородности двух выборок.

 

 

Задача 4.

Профессиональных  психологов Х и У просили определить, с какой частотой встречаются в их записной книжке мужские и женские имена коллег-психологов.

Достоверно ли процентная доля признака «имена женщин»  в записной книжке психолога У статистически превосходит процентную долю того же признака в записной книжке психолога Х? (угловое преобразование  * Фишера)

Психологи	Имена мужчин	Имена женщин
Психолог Х	22	45
Психолог У	59	109

 

Решение.

 

Используем для исследования вопроса  о достоверном различии значений изучаемого признака критерий Фишера.

Вычислим доли, как часть от единицы  или в процентах, признака «имена женщин» среди всех имён в записных книжках для каждого психолога. Эти доли – стандартные показатели двух выборок.

Показатель P₁определяет долю женских имён психолога X,  P₂ – аналогичную долю у психолога Y:

    

 Проверим, различаются ли эти  показатели достоверно (возьмём  с  вероятностью 0,95).

Для этого вычислим  средние  ошибки показателей и  критерий t (Стьюдента):

P – значение показателя, q = 1- P (или q = 100 – P, если показатель в процентах),

N = n1 + n2, где n1,  n2 – объёмы выборок. Вычисляем средние ошибки показателей :

,  по формуле критерия  вычисляем  статистику  t:

< t_крит=1,96 – следовательно, нет оснований считать показатели признака в двух выборках  достоверно различными.

Процентная доля признака «имена женщин»  в записной книжке психолога У статистически не превосходит процентную долю того же признака в записной книжке психолога Х.

 

ПРИМЕЧАНИЕ.  В математической литературе нет критерия «угловое преобразование  * Фишера». В интернете отсутствует внятное изложение данного критерия, поэтому был применен стандартный известный критерий для оценки непараметрических показателей частоты признака по двум выборкам.

 

 

Задача 5.

Сравнивается  количество наличных денег у одних  и тех же студентов (в рублях) в  первый день и во второй день. Определить достоверность различия между средним  количеством наличных денег в  разные дни.

Сумма в первый день, руб.	Сумма во второй день, руб.
30	35
30	25
40	45
50	55
60	55

 

Решение.

 

Обозначим за X1 и X2 – случайные величины наличия денег у студентов в первый и во второй день соответственно.

Вычислим статистические средние для двух данных выборок:

 

.

Критерий Стьюдента  сравнения средних по двум выборкам вычисляется по формуле:

, где  - выборочные дисперсии, равные:

 

Вычисляем критерий: < 2,78=Т_крит (для n=5  и уровня значимости (вероятности 0,95 принять правильную гипотезу)).

 Следовательно,  нет оснований отвергать нулевую  гипотезу о равенстве двух  средних – что для данной  задачи означает отсутствие достоверного  различия между средним количеством  денег у студентов в первый  и во второй дни. 

 

 

Задача 6.

В таблице представлены показатели и оценки по учебному предмету (по 30-балльной шкале) учащихся колледжа. Найти коэффициент корреляции Пирсона для оценки линейной связи между признаками.

 

Номер школьника	, баллы	Оценка по математике, баллы
1	100	20
2	102	25
3	100	17
4	100	14
5	113	25
6	116	23
7	123	28
8	104	16
9	116	23
10	118	25
11	118	24
12	109	19

 

Решение.

 

Признак X – баллы по IQ, признак Y – оценки (баллы) по предметам.

Формула для вычисления коэффициента корреляции Пирсона:

.

Необходимые вычисления удобно проводить в таблице:

 

i	Xi	Yi	Xi - Xср	Yi -Ycр	(Xi - Xср)^2	(Yi -Ycр)^2	(Xi-Xср)(Yi-Ycр)
1	100	20	-9,92	-1,58	98,34	2,51	15,70
2	102	25	-7,92	3,42	62,67	11,67	-27,05
3	100	17	-9,92	-4,58	98,34	21,01	45,45
4	100	14	-9,92	-7,58	98,34	57,51	75,20
5	113	25	3,08	3,42	9,51	11,67	10,53
6	116	23	6,08	1,42	37,01	2,01	8,62
7	123	28	13,08	6,42	171,17	41,17	83,95
8	104	16	-5,92	-5,58	35,01	31,17	33,03
9	116	23	6,08	1,42	37,01	2,01	8,62
10	118	25	8,08	3,42	65,34	11,67	27,62
11	118	24	8,08	2,42	65,34	5,84	19,53
12	109	19	-0,92	-2,58	0,84	6,67	2,37
сумма	1319	259	0,00	0,00	778,92	204,92	303,58
среднее	109,92	21,58

 

Вычисляем коэффициент  корреляции:

Значение коэффициента положительно и больше  0,7 – это  говорит о том что между признаками X и Y существует прямая сильная зависимость.