Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Вычисление определителя

1)Решить определитель двумя способами.

F=10, N=5

Решение:

1.1) Первой способ: Вычислим определитель 3-го порядка, пользуясь методом Сарюсса.

а_11*а_22*а₃₃+а_12*а_23*а₃₁+а_13*а_21*а₃₂-а₁₃_*а₂₂_*а₃₁_-а₁₂_*а₂₁_*а₃₃-а₁₁_*а₂₃_*а₃₂

===2*1*(-1)+(-2)*5*3+5*5*10-5*1*3-

-(-2)*5*(-1)-2*5*10=-2-30+250-15-10-100=93 Ответ: 93

1.2) Вычислим определитель, использовав разложение по столбцам и строкам

1.2.1) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (1 • (-1)-10 • 5) = -51

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = ((-2) • (-1)-10 • 5) = -48

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = ((-2) • 5-1 • 5) = -15

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹2 • (-51)+(-1)²⁺¹5 • (-48)+(-1)³⁺¹3 • (-15) = 2 • (-51)-5 • (-48)+3 • (-15) = 93

Ответ: 93

1.2.2) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,2):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,2 = (5 • (-1)-3 • 5) = -20

Минор для (2,2):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,2 = (2 • (-1)-3 • 5) = -17

Минор для (3,2):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,2 = (2 • 5-5 • 5) = -15

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺²(-2) • (-20)+(-1)²⁺²1 • (-17)+(-1)³⁺²10 • (-15) = -(-2) • (-20)+1 • (-17)-10 • (-15) = 93 Ответ: 93

1.2.3) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,3):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,3 = (5 • 10-3 • 1) = 47

Минор для (2,3):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,3 = (2 • 10-3 • (-2)) = 26

Минор для (3,3):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,3 = (2 • 1-5 • (-2)) = 12

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺³5 • 47+(-1)²⁺³5 • 26+(-1)³⁺³(-1) • 12 = 5 • 47-5 • 26+(-1) • 12 = 93 Ответ: 93

1.2.4) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (1 • (-1)-10 • 5) = -51

Минор для (1,2):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,2 = (5 • (-1)-3 • 5) = -20

Минор для (1,3):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,3 = (5 • 10-3 • 1) = 47

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹2 • (-51)+(-1)¹⁺²(-2) • (-20)+(-1)¹⁺³5 • 47 = 2 • (-51)-(-2) • (-20)+5 • 47 = 93 Ответ: 93

1.2.5) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = ((-2) • (-1)-10 • 5) = -48

Минор для (2,2):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,2 = (2 • (-1)-3 • 5) = -17

Минор для (2,3):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,3 = (2 • 10-3 • (-2)) = 26

Главный определитель:

∆ = (-1)²⁺¹5 • (-48)+(-1)²⁺²1 • (-17)+(-1)²⁺³5 • 26 = -5 • (-48)+1 • (-17)-5 • 26 = 93 Ответ: 93

1.2.6) Запишем матрицу в виде:

А= =93

Найдем определитель, использовав разложение по строкам:

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = ((-2) • 5-1 • 5) = -15

Минор для (3,2):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,2 = (2 • 5-5 • 5) = -15

Минор для (3,3):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,3 = (2 • 1-5 • (-2)) = 12

Главный определитель:

∆ = (-1)³⁺¹3 • (-15)+(-1)³⁺²10 • (-15)+(-1)³⁺³(-1) • 12 = 3 • (-15)-10 • (-15)+(-1) • 12 = 93

Ответ: 93

1.3)Вычислим определитель, используя свойства определителей.

2 -2 5 (-1) 2 -2 5 2 -4 5

5 1 5 = 3 3 0 = 3 0 0 =-3=-3(4-35)=-3*(-31)=93 Ответ: 93

3 10 -1 3 10 -1 3 7 -1

-1

2) Вычислим определитель, используя свойства определителей (показать какие свойства, билы использованы): F=10, N=5

2.1)

N-6 F 1 -1 10 1 -1 10 1 -1 1 10 (-4) -1 1 10

7 F-9 N-5 = 7 1 0 = 7 1 0 = 7 0 1 = 7 0 1 = =-245-3=-248.

-1 N F-6 -1 5 4 -1 5 4 -1 4 5 3 0 -35 Ответ: -248

2.2)

N-6 F 1 -1 10 1 -1 10 1 -1 10 1 -1 0 -1 0 -1 -1

7 F-9 N-5 = 7 1 0 = 7 1 0 = 0 36 28 = 10 36 5 = 36 5 10 =-1=

-1 N F-6 -1 5 4 -1 5 4 7 -1 5 4 1 28 4 28 4 1

=-244-4=-248 Ответ: -248

2.3) Первой способ: Вычислим определитель 3-го порядка, пользуясь методом Саррюса.

= (-1)•1•4 - (-1)•0•5 - 7•10•4 + 7•1•5 + (-1)•10•0 - (-1)•1•1 = -248 Ответ: -248

3) Дано матрица. F=10, N=5

A== Найти А^-1.

Запишем матрицу в виде:

Главный определитель

∆=1•(5•5-(-2•(-1)))-(-3•(1•5-(-2•(-3))))+3•(1•(-1)-5•(-3))=62

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.

Найдем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(5•5-(-1•(-2)))=23

∆_1,2=-(1•5-(-3•(-2)))=1

∆_1,3=(1•(-1)-(-3•5))=14

∆_2,1=-(-3•5-(-1•3))=12

∆_2,2=(1•5-(-3•3))=14

∆_2,3=-(1•(-1)-(-3•(-3)))=10

∆_3,1=(-3•(-2)-5•3)=-9

∆_3,2=-(1•(-2)-1•3)=5

∆_3,3=(1•5-1•(-3))=8

Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Е=А●А^-1=●₌

₌₌

= = Ответ: АА^-1= , Е=

4) Решить систему 3 способами. F=10, N=5

4.1) Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (8). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 21/51

x₂ = [13 - ( - 5x₃)]/8

x₁ = [-1 - ( - x₂)]/5

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Ответ: x₁₌x, x₂₌y, x₃₌z.

4.2.1) Решение методом Крамера по 1-го столбцам.

Запишем систему в виде:

B^T = (1,2,-1)

Найдем главный определитель:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
3	1	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (1 • 0-(-1) • (-1)) = -1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
3	1	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = (0 • 0-(-1) • 2) = 2

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
3	1	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = (0 • (-1)-1 • 2) = -2

Главный определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹1 • (-1)+(-1)²⁺¹3 • 2+(-1)³⁺¹5 • (-2) = 1 • (-1)-3 • 2+5 • (-2) = -17

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	0	2
2	1	-1
-1	-1	0

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
2	1	-1
-1	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (1 • 0-(-1) • (-1)) = -1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
2	1	-1
-1	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = (0 • 0-(-1) • 2) = 2

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

1	0	2
2	1	-1
-1	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = (0 • (-1)-1 • 2) = -2

Определитель минора:

∆₁ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 +
1}a₃₁∆₃₁ = (-1)¹⁺¹1 • (-1)+(-1)²⁺¹2 • 2+(-1)³⁺¹(-1) • (-2) = 1 • (-1)-2 • 2+(-1) • (-2) = -3

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	1	2
3	2	-1
5	-1	0

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

1	1	2
3	2	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (2 • 0-(-1) • (-1)) = -1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

1	1	2
3	2	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = (1 • 0-(-1) • 2) = 2

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

1	1	2
3	2	-1
5	-1	0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = (1 • (-1)-2 • 2) = -5

Определитель минора:

∆₂ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 +
1}a₃₁∆₃₁ = (-1)¹⁺¹1 • (-1)+(-1)²⁺¹3 • 2+(-1)³⁺¹5 • (-5) = 1 • (-1)-3 • 2+5 • (-5) = -32

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	0	1
3	1	2
5	-1	-1

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

1	0	1
3	1	2
5	-1	-1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_1,1 = (1 • (-1)-(-1) • 2) = 1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

1	0	1
3	1	2
5	-1	-1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_2,1 = (0 • (-1)-(-1) • 1) = 1

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

1	0	1
3	1	2
5	-1	-1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

∆_3,1 = (0 • 2-1 • 1) = -1

Определитель минора:

∆₃ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 +
1}a₃₁∆₃₁ = (-1)¹⁺¹1 • 1+(-1)²⁺¹3 • 1+(-1)³⁺¹5 • (-1) = 1 • 1-3 • 1+5 • (-1) = -7

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.

1•0.18+0•1.88+2•0.41 = 1

3•0.18+1•1.88+-1•0.41 = 2

5•0.18+-1•1.88+0•0.41 = -1 Ответ: x₁₌x, x₂₌y, x₃₌z.

4.3)Решение систему по обратная матрица.

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:

B^T=(1,2,-1)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=1•(1•0-(-1•(-1)))-3•(0•0-(-1•2))+5•(0•(-1)-1•2)=-17

Итак, определитель -17 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(1•0-(-1•(-1)))=-1

∆_1,2=-(0•0-2•(-1))=-2

∆_1,3=(0•(-1)-2•1)=-2

∆_2,1=-(3•0-(-1•5))=-5

∆_2,2=(1•0-2•5)=-10

∆_2,3=-(1•(-1)-2•3)=7

∆_3,1=(3•(-1)-1•5)=-8

∆_3,2=-(1•(-1)-0•5)=1

∆_3,3=(1•1-0•3)=1

Обратная матрица

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

X^T=(0.18,1.88,0.41)

x₁=^-3 / _-17=0.18

x₂=^-32 / _-17=1.88

x₃=^-7 / _-17=0.41

Проверка.

1•0.18+0•1.88+2•0.41=1

3•0.18+1•1.88+-1•0.41=2

5•0.18+-1•1.88+0•0.41=-1

Ответ:

x₁₌0.18 x₁₌x

x₂₌1.88 x₂₌y

x₃₌0.41 x₃₌z

Вычисление определителя 📙 Контрольная → 🆔 20544