Задачи по финансовой математике. 2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г.Барнауле 
 
 

Факультет        Региональная кафедра

Финансовый менеджмент     Финансов и кредита 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант - 7 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Барнаул - 2007

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 
 
 

 

ВАРИАНТ 7

     Задание 1

     Имеются данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года - всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мултипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

     Решение:

     Будем считать, что зависимость между  компонентами тренд – сезонный временной  ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

           (1.1)

     где

     k – период упреждения;

      - расчетное значение экономического  показателя для t-го периода.

      , , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода членов ряда с номером t-1 к t.

      - значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

     L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

     Таким образом если по формуле 1.1 рассчитывается значение эмпирического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

     Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

            (1.2)

                         (1.3)

                             (1.4)

     Параметры сглаживания a1, a2, a3 подбираются путем перебора с таким расчет, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

     Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к 16 значениям Y(t) из таблицы 1.1. Линейная модель имеет вид:

     

     Подготовим  для использования формул Хольта-Уинтерса:

     - коэффициенты a(0) и b(0) – коэффициенты линейной модели для предыдущего периода t=0;

     - коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) для каждого квартала.

     По  первым 8-ми уровням исходных данных построим регрессию и определим  коэффициенты:

           

                             

     a= 43,25 в качестве a (0);

     b= 0,75 в качестве b (0).

     Для оценки коэффициентов сезонности рассмотрим исходные значения y(t) и «предсказанные y» найденные по построенной регрессии.

     Коэффициент сезонности – это отношение фактического y к результату расчета, найдем с помощью линейной модели.

     Для первого квартала предыдущего года используем данные по первому кварталу 1 и 2 лет:

     

     где:

     Y – расчетное значение;

     F (-3) = =0,86;

     Аналогично  находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

      = 1,08;

      = 1,28;

      = 0,79.

     Оценив  значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта – Уинтерса с помощью формул: ;

     Параметры сглаживания имеют значения ; ; и обеспечивают удовлетворительную адекватность и точность модели. Рассчитаем значения , , и для t=1. Из уравнения, полагая, что t=0, k=1, находим:

     A(t)=0,3×Y(t)/F(t)+(1-0,3)×[a(t-1)+b(t-1)];

     b(t)=0,3×[a(t)-a(t-1)]+(1-0,3)×b(t-1);

     F(t)=0,6×Y(t)/a(t)+(1-0,6)×F(t);

     Рассчитаем  значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Yp(1) = [a(0)+1xb(0)]xF(0+1-4)=[43,25+0,75]x0,86 = 37,72;

a(1)= 0,3xY(1)/F(-3)+(1-0,3)x[a(0)+b(0)] = 0,3*37,72/0,86+0,7x[43,25+0,75]      = 44,10;

b(1) = 0,3×[a(1)-a(0)]+(1-0,3)×b(0) = 0,3x(44,10-43,25)+0,7x0,75 = 0,78;

F(1) = 0,6×Y(1)/a(1)+(1-0,6)×F(-3) = 0,6x37,72/44.10+0,4x0,86 = 0,86;

     Аналогично  рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2.

Yp(2) = [a(1)+1xb(1)]xF(-2) = [44,10+0,78]x1,08 = 48,50;

a(2)= 0,3×Y(2)/F(-2)+(1-0,3)×(a(1)+b(1)) = 0,3x37,72/1,08+0.7x(44,098+0,78     = 44,74;

b(2) = 0,3×(a(2)-a(1))+(1-0,3)×b(1) = 0,3x(44,74-44,10)+0,7x0,78 = 0,74;

F(2) = 0,6xY(2)/a(2)+(1-0,6)xF(-2) = 0,6×48,5/44,74+(1-0,6)×1,08 = 1,08;

     t=3

Yp(3) = [a(2)+1xb(2)]xF(-1) = [44,74+0,74]x1,28 = 58.02;

a(3)= 0,3×Y(3)/F(-1)+(1-0,3)×(a(2)+b(2)) = 0,3x58,02/1,28+0.7x(44,74+0,74     = 45,23;

b(3) = 0,3×(a(3)-a(2))+(1-0,3)×b(2) = 0,3x(45,23-44,74)+0,7x0,74 = 0,67;

F(3) = 0,6xY(3)/a(3)+(1-0,6)xF(-1) = 0,6×58,02/45,23+(1-0,6)×1,28 = 1,27;

     t=4

Yp(4) = [a(3)+1xb(3)]xF(0) = [45,23+0,67]x0,79= 36,07;

a(4)= 0,3×Y(4)/F(0)+(1-0,3)×(a(3)+b(3)) = 0,3x36,07/0,79+0.7x(45,23+0,67     = 46,26;

b(4) = 0,3×(a(4)-a(3))+(1-0,3)×b(3) = 0,3x(46,26-45,23)+0,7x0,67 = 0,77;

F(4) = 0,6xY(4)/a(4)+(1-0,6)xF(0) = 0,6×36.07/46.26+(1-0,6)×0.79 = 0,79;

     t=5

Yp(5) = [a(4)+1xb(4)]xF(1) = [46.26+0,77]x0,86= 40,44;

a(5)= 0,3×Y(5)/F(2)+(1-0,3)×(a(4)+b(4)) = 0,3x40,44/0,86+0.7x(46,26+0,77     = 46,87;

b(5) = 0,3×(a(5)-a(4))+(1-0,3)×b(4) = 0,3x(46,87-46,26)+0,7x0,77 = 0,73;

F(5) = 0,6xY(5)/a(5)+(1-0,6)xF(1) = 0,6×40,44/46.87+(1-0,6)×0.86 = 0,86;

     Продолжая аналогично для t= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, строят модель Хольта – Уинтерса. Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). Таким образом, максимальное значение t=16.

     Результаты  расчетов представим в таблице 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Таблица 1.2

Модель  Хольта – Уинтерса

 

     2) Оценим точность построенной  модели с использованием средней  относительной ошибки аппроксимации.

     E (t) = Y (t)-Y p (t) ;

     E(1)=38-37,72=0,28;

     E(2)=48-48,5= -0,50;

     Аналогично  рассчитаем последующие E(t). Результаты расчетов представим в таблице 1.2.

     Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности - между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения , поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах в среднем не превышает 5%.

     100%×abs{E(t)}/Y(t);

     1 относ. погр. =  100%×abs (0,28/38) = 0,73;

     2 относ. погр. = 100%×abs (-0,50/48) = 1,05 и т.д.

     Аналогично  рассчитаем последующие относительные  погрешности.

     Суммарное значение относительных погрешностей составляет 28,36, что дает среднюю величину 28,36 / 16 = 1,77%.

     Вывод: Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Точность построенной модели свидетельствуют о хороших прогностических свойствах модели, следовательно, условие точности выполнено, т.к. 1,77% < 5%.

     3) Оценим адекватность построенной модели на основе исследования:

     а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

     Общее число поворотных точек равно  p = 12.

     Рассчитаем  значение  p kp:

     p kp=2×(N-2)/3-2× ;

     p kp=2×(16-2)/3-2× =28/3-2 = 6,22.

Рис.1.1. График остатков.

     Вывод: Если количество поворотных точек p больше p kp, то условие случайности уровней выполнено. В этом случае p = 10 > p kp = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

     б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r(1)=0,32:

     - по d-критерию Дарбина-Уотсона:

      ;

     d = 43,99 / 16,32 = 2,7;

     Вывод: Величина d=2,7 >2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому необходимо уточнить величину d, вычитая из 4 величину d:

     4-2,67=1,3

     Полученное  значение 1,3 сравним с d1=1,10 и d2=1,37.

     Так как d2=1,1<d=1,3<1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

     - по первому коэффициенту  автокорреляции r(1):

      ;

     r (1) = -5,92 / 16,32 = -0,363.

     Вывод: Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |-0,363|>0,32, значит, уровни ряда остатков нельзя считать независимыми.

     в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

     Рассчитаем  значение R/S:

     R/S = (Emax – Emin) / S;

     где:

     Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

     Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

     S – среднее квадратическое отклонение. 

     Emax = 2.36; Emin = -1.56;

     Emax – Emin =2,36-(-1,56) = 3,95;

      =1,04;

     R/S = 3,95 / 1,04= 3,79.

     Вывод: Полученное значение R/S: 3,0 < 3,79 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

     Все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности построения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

     4) Построим точечный прогноз на четыре шага вперед:

     Составим  прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Рассчитав значения a(16) и b(16)можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:

     Yp (17) = [a(16) +1×b(16)]×F(13) = (57,25+1×0,93) ×0,88=51,45;

     Аналогично  находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

     Yp (18) = [a(16) +2×b(16)]×F(14) = (57,25+2×0,93)×1,08=63,99;

     Yp (19) = [a(16) +3×b(16)]×F(15) = (57,25+3×0,93)×1,28=76,64;

     Yp (20) = [a(16) +4×b(16)]×F(16) = (57,25+4×0,93)×0,77=47,04. 

     5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

     Рис. 2 Сопоставление расчетных и фактических  данных. 

     Вывод: На рис. 2 показано сопоставление фактических и расчетных данных, а также прогнозные значения на 1 год вперед. Из диаграммы 1.2 видно, что расчетные данные согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

Задание 2 

     Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 2.1).

Таблица 2.1.

Исходные  данные о ценах

Интервал  сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

• экспотенциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %К и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

     Решение:

     1. Найдем экспоненциальную  скользящую среднюю  (EMA).

где

k=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33

- цена закрытия t-го дня; - значение ЕМА текущего дня t.

     При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.

     Найдем  среднее значение с 1 по 5 день:

     EMA5= MA5= (610+614+625+574+563)/5=597,2

     Рассчитаем:

     k=2/ (5+1) =1/3

     EMA6= 1/3 × 590+ (1-1/3) ×597,2 =594,8

     EMA7=1/3 × 598+ (1-1/3) ×594,8 =595,9

     EMA8=1/3×  580 + (1-1/3) × 595,8 = 590,6

     EMA9= 1/3×595+ (1-1/3) × 590,6 = 592,1

     EMA10=1/3×580+ (1-1/3) × 592,0 = 588,0

     Рис. 3. Экспоненциальная скользящая средняя

      Вывод:

        5 - 6 день – ЕМА выше Сt, следовательно тренд нисходящий, рекомендуются продажи;

      7 день – пересечение графика  скользящей средней с графиком  Ct, сигнал разворота;

      7 – 8 день – ЕМА ниже Ct, тренд нисходящий, рекомендуются продажи;

      9 день – пересечение графиков, сигнал разворота;

      9 – 10 дни - ЕМА выше Сt, следовательно тренд нисходящий, рекомендуются продажи.

     2. Вычислим момент (MOM)

     Момент  рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.

     Рассчитываем  по формуле:

     MOM t = Ct – C t-n+1,

     где: Ct- цена закрытия t-го дня;

     MOM t- значение MOM текущего дня t;

     МОМ 5= 563 - 610= -47

     МОМ 6= 590 - 614= -24

     МОМ 7= 598 - 625= -27

     МОМ 8= 580 – 574 = 6

     МОМ 9= 595 – 563 = 32

     МОМ 10= 580 – 590 = -10

     Рис. 4. Момент

     Вывод: с 5 по 7 день момент ниже 0-го уровня, следовательно, тренд нисходящий – рекомендуется продажа; с 8 по 9 день момент выше 0-го уровня, тренд восходящий – рекомендуется покупка, на 10 день момент ниже 0-го уровня, тренд нисходящий – рекомендуется продажа.

     3. Вычислим скорость изменения цен (ROC).

     Рассчитывается  как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

     Расчет  проведем по формуле:

     

     где: Ct- цена закрытия t-го дня;

     ROC t- значение ROC текущего дня t;

     ROC 5= 563/ 610× 100= 92,2

     ROC 6= 590/ 614× 100= 96,0

     ROC 7= 598/ 625× 100= 95,6

     ROC 8= 580/ 574× 100= 101

     ROC 9= 595 / 563× 100= 105,6

     ROC 10= 580 / 590× 100= 98,3

     Рис. 5. Скорость изменения цен

     Вывод: с 5 по 7 день ROC ниже 100%, следовательно, тренд нисходящий – рекомендуется продажа; с 8 по 9 день ROC выше 100%, тренд восходящий – рекомендуется покупка, на 10 день ROC ниже 100%, тренд нисходящий – рекомендуется продажа.

     4. Рассчитаем индекс  относительной силы (RSI)

     Общим недостатком МОМ и ROC является из отставания от динамики рынка. Более своевременные сигналы можно получить с RSI.

     Наиболее  значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.