Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г. Барнауле 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант 3 
 
 
 
 

      Студентка      Сергеева Юлия Алексеевна

      Специальность      Финансы и кредит

      № личного дела      06ффб00743 

      Образование       Первое высшее 

      Группа       4ФКп-2

      Дисциплина        Финансовая математика

      Преподаватель                Свердлов Михаил Юрьевич

Барнаул 2009

ЗАДАЧА  №1

      В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).   

      Требуется:     

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного  фактора, приняв параметры сглаживания a(a)=0,3; a(b)=0,6; a(F)=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.     

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков; 

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37)

      и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r кр =0,32.

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.    

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

1. Построим модель Хольта – Уинтерса.

    Основная  формула модели имеет вид

    Yp (t+k) = [ a(t) + k * b (t) ] * F (t+k – L), где

    t – текущий момент времени;

    k – шаг упреждения;

    Yp (t+k) – расчетное прогнозное значение Y;

    a(t), b(t) – коэффициенты модели, требующие уточнения для каждого момента времени;

    L – период сезонности, соответствующего периода прошлого года;

    F( t+k – L) – коэффициент сезонности, соответствующего периода прошлого года.

    По  исходным данным построим график.

    Описание: График показывает тренд к увеличению цен и наличия сезонных колебаний. Следовательно, применение модели Хольта – Уинтерса эффективно.

    а) выполним предварительный расчет, относящийся к предыдущему году.

      Построим вспомогательную линейную  модель 

    Yвспом (t) = a+b * t

      Коэффициенты а и b определим через функцию «ЛИНЕЙН», получим:

 Для расчетов достаточно использовать первые восемь данных.

Используем  найденные значения в качестве нулевых  коэффициентов модели Хольта.

a(0) = 35,07;

b(0) = 0,93.

Для расчета  коэффициентов сезонности прошлого года рассмотрим коэффициент сезонности для первого и второго года. Для этого рассчитаем Yвспом (t):

Yвспом (t) = 35,07 + 0,93 * t , для t = 1 ÷ 8  и  сопоставим с исходными данными.

 В  качестве коэффициентов сезонности  для 1 квартала предыдущего года возьмем средний арифметический коэффициент для 1 квартала первого и второго годов.

F(-3) = [ Y(1) /Y вспом (1) + Y(5)/ Y вспом (5)]/ 2 = 0,86

Аналогично  определяем остальные коэффициенты сезонности:

F (-2) = 1,08;

F (-1) = 1,27;

F (0) = 0,79.

б) перейдем к построению собственно модели Хольта.

Выполним основной расчет по формулам Хольта для t = 0 ÷ 16;

t = 0, k = 1 по основной формуле найдем

Yp(1) = [a(0) + 1*b(0)] * F(-3) = 30,91.

t = 1 и уточним коэффициенты по условию:

α a =0,3; α b = 0,6; α F = 0,3.

а (1) = 0,3 * Y1/F(-3) + 0,7 [a(0) + b(0)] = 36,03;

b (1) = 0,6 * [ a(1) – a(0) ] * 0,4 * b(0) = 0,94;

F (1) = 0,3 * Y(1)/a(1) + 0,7 * F(-3) = 0,86;

Те же формулы применяются для остальных  строк включительно. 

2. Прогнозирование  по модели Хольта  – Уинтерса.

Она имеет  смысл, если построенная модель адекватна и точна. По адекватной модели можно рассчитать точечные прогнозные оценки. Прогнозирование выполняется по основной формуле модели:

Yp (t+k) = [a(t) + k* b(t) ] * F (t + k – L)

В ней  считают t = k(16) – неизменной, k – увеличивающейся.

Для расчетов используются коэффициенты: a(16), b(16), F(12 + k);

Yp(17) = [ a(16) + 1 * b(16)] * F(13) = 44,79;

Yp (18) = [a(16) + 2 * b(16)] * F(14) = 56,38;

Yp(19) = [ a(16) + 3 * b(16)] * F(15) = 67,26;

Yp(20) = [ a(16) + 4 * b(16)] * F(16) = 42,03.

График исходных данных, результатов моделирования и прогнозирования:

3.Оценка  качества временного  ряда. 

Построенную модель можно использовать для прогнозирования, если она достаточно точна и адекватна.

Оценка точности модели.

Данная  оценка проводится на основе расчета средней относительной погрешности. Требуется для каждого уровня исходных данных рассчитать остатки

E(t) = Y(t) – Yp(t)

и относительные  погрешности

Eотн (t) = | E(t) / Y(t)| * 100 (%) 

Так как  ср.отн.погр. = 1,53 < 5%, то модель точная. 

Для проверки адекватности требуется проверить три свойства:

1. Свойство случайности остатков (Е (t)).

Для этого используем критерий поворотных точек. С помощью мастера диаграмм построим график остатков. 
 
 

 График остатков:

Всего р = 9

Определим Ркр по формуле, n = 16.

Pкр = 6,22 ≈ 6

Р = 9 > P = 6. Следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

2. Свойство независимости остатков.

Для проверки используется критерий Дарбина  – Уотсона.

По  столбцу остатков определим знаменатель  дроби. Определяем через функцию  « СУММКВ»  

     Числитель определим – «СУММКВРАЗН»

     Следовательно,

     Т. к. d входит в промежуток (2;4), то надо сделать дополнительные расчеты по формуле

     d` = 4 – d;

     d` = 4 – 2,65 = 1,35;

     Критические уровни заданы:

     d1= 1,10 и d2 = 1,37, отсюда получим, что

     1,10< 1,35 < 1,37 , следовательно, свойство независимости остатков не выполняются. Сделаем дополнительную проверку.

     Дополнительную  проверку проведем с помощью первого  коэффициента автокорреляции. Определим  его по формуле.

     Определим знаменатель дроби через функцию  «СУММКВ»

     Определим числитель дроби через функцию  «СУММПРОИЗВ»

     Следовательно, получим 

     Критическое значение задано r кр = 0,32;|r(1)| = 0,33 > r кр = 0,32, отсюда следует, что не выполнение независимости остатков достоверно. 

3. Свойство  нормального распределения.

Используем  R/S критерий

R/S = Emax – Emin/ S(E), где

Emin, Emax – наименьший и наибольший остатки;

S(E) – средне-квадратичное отклонение ряда остатков.

Через определенные функции найдем нужные нам значения:

Критерий  интервала задан: (3;4,21). Наше R/S = 3,78 принадлежит данному интервалу, следовательно, свойство нормального распределения остатков выполняется. 

ЗАДАЧА  №2 

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать: 

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;  

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D. 

Результаты  расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням.

Расчеты проводить  для всех дней, для которых эти  расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение. 

Все исходные и расчетные данные.

1. Найдем  экспоненциальную скользящую среднюю (EMAt).

Расчет  возьмем для t >= n =5

Для определения начального значения ЕМА5 используем формулу простой скользящей средней:

EMA5 = MA5= (723+712+720+738+715)/5= 721,6.

Дальнейшие  расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней.

ЕМА_t = k*C_t +(1-k)*EMA_t-1

Определим коэффициент сглаживания: k = 2/(1+5) = 1/3;

EMA6 = 1/3*744+(1-1/3)*721,6=729,07;

Далее высчитываем аналогично.

Вывод: С 5 по 9 день график EMA находится ниже ценового графика, следовательно, наблюдается восходящий тренд. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

В 10 день графики пересекаются. Это сигнал разворота. Рекомендуется остановить покупку. Можно начать продажу финансового инструмента.  


2. Найдем  момент (МОМt).
 


Используем  формулу МОМ: MOMt = Ct – Ct-n

 МОМ6 = 744-715=29;

Аналогично, МОМ7 = 97,  МОМ8 = 107 и т.д.

График момента MOM(t)

 


Вывод: С 6 по 10 день график выше нулевого уровня. Тренд восходящий. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

Т.к. график не пересекается с нулевым  уровнем, то сигнал разворота тренда отсутствует. 


3. Найдем  скорость относительной  силы (ROCt).

Для нахождения скорости относительной  силы используем формулу

ROCt = (Ct/ Ct-n) *100(%)

ROC6 = 744/715*100=104,06%

Остальные высчитываем аналогично. 


График скорости изменения  цен ROC(t)

 


Вывод: С 6 по 10 день уровень графика изменения цен выше100% уровня. Тренд восходящий. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

Т.к. график не пересекается с уровнем 100%, следовательно, сигнал разворота тренда не существует. 


4. Найдем  индекс относительной  силы (RSIt).

В данном случае используем формулу:

RSIt = 100- (100/(1+( Aut,n/ Adt,n))).

Для использования формулы расчета  индикатора RSI предварительно найдем изменения  цен закрытия ΔC = C_t – C_t-1 для всех дней t >=2.

Из  значений ΔC выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех t >=6 рассчитаем суммы приростов  Aut,n и суммы убыли Adt,n цен закрытия за 5 дней до дня t.

Отсюда  получим:

RSI6 = 100- (100/(1+(55/26)))=67,95;

Аналогично  высчитываем остальное. 
 
 


График индекса относительной  силы RSI(t)

 


Вывод: С 7 по 9 день график находится в критической  зоне ( верхняя зона – пререпокупаемости). Рекомендуется остановить покупку. В 10 день график выходит из критической зоны. Это является сигналом разворота. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента.

 В 6 день  – нейтральная зона. Финансовые  операции возможны: покупка. 


5. Найдем  стохастические индексы: %K, %R, %D.

 Для  нахождения используем формулы:

%Kt = ((Ct – Lt,n)/ (Ht,n – Lt,n ))* 100 (%);

%Rt = ((Ht,n – Ct)/ (Ht,n – Lt,n)) * 100 (%);

%Dt = (∑( Ct – Lt,n) /∑(Ht,n – Lt,n)) * 100 (%). 


	Расчет  индексов %K, %R, %D (стохастические линии)
t	H(t,5)	L(t,5)	H(t,5)-C(t)					C(t)-L(t,5)	H(t,5)-L(t,5)		%K		%R		sum(C-L)		sum(H-L)	%D
1
2
3
4
5	750	701	27					22	49		44,90		55,10
6	750	702	6					42	48		87,50		12,50
7	835	702	0					133	133		100,00		0,00		197		230	85,65
8	875	702	48					125	173		72,25		27,75		300		354	84,75
9	875	702	37					136	173		78,61		21,39		394		479	82,25
10	875	716	108					51	159		32,08		67,92		312		505	61,78
Стохастические линии %R, %K, %D

 
 


Вывод:

Анализ %К.

С 6 по 9 день график находится в критической  зоне. Рекомендуется приостановить  финансовые операции в ожидании разворота  тренда. В 10 день график выходит из критической  зоны. Это является сигналом разворота тренда. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента. В 5 день возможны финансовые операции – покупка финансового инструмента. 


Анализ %R.

Этот  анализ позволяет сделать те же выводы в силу симметрии.

 

Анализ %D.

С 7 по 9 день график находится в критической зоне. Это подтверждает приостановку финансовых операций. В 10 день график выходит из критической зоны, это является сигналом разворота. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента. 
 
 


ЗАДАЧА  № 3. 


    Выполнить  различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии

задачи значения параметров введены в виде переменных. Например, S означает некоторую сумму 

средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в  процентах и т.д. По номерам переменных из 

таблицы необходимо выбрать соответствующие численные  значения параметров и выполнить  расчеты.

Решение.

3.1. Банк выдал  ссуду, размером S = 1500000 руб. Дата  выдачи ссуды - Tн – 17.01.02, возврата - Tк – 13.03.02. День выдачи и  день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i = 20% годовых.

Найти:      

3.1.1) точные проценты  с точным числом дней ссуды; 

3.1.2) обыкновенные  проценты с точным числом дней  ссуды; 

3.1.3) обыкновенные  проценты с приближенным числом  дней ссуды.

Дано: P = 1500000;

          Tn = 17.01.02;

          Tk = 13.03.02;

          I = 20%;

          Y - ?

3.1.1 365/365;

         к = 365,  t = 15+28+12 = 55.

         Y = P * i * n                 n = t/k

         Y = 1500000*0,2*55/365 = 45205,48 руб.

3.1.2  365/360;

         k = 360, t = 55.

         Y = 1500000 * 0,2 * 55/360 = 45833,33 руб.

3.1.3  360/360;

         k = 360, t = 14+30+12 = 56.

         Y = 1500000 * 0,2 * 56/360 = 46666,67 руб. 

Ответ:         Y1 = 45205,48 руб.; Y2 = 45833,33 руб.;

Y3 = 46666,67 руб. 

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 1500000 руб. Кредит выдан под i = 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Дано: Тдн = 180;

          S = 1500000;

           i = 20%;

           P - ? ; D - ?

S = P (1+i*t/k);

P = S/1+i*t/k;

D = S – P .

P= 1500000/1+0,2 * 180/360 = 1363636,36 руб.

D= 1500000 – 1363636,3 = 136363,64 руб.

Ответ: P= 1363636,36 руб. D= 136363,64 руб 


 

3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю1500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i = 20% годовых (год равен 360 дням).

Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Дано: Тдн = 180;

          S = 1500000;

          d = 20%;

          k = 360 дн.

          P - ? , D - ?

Р = S ( 1 – dn);      n = t/k;

P = 1500000( 1 – 0,2 * 180/ 360) = 1350000 руб.

D = 1500000 – 1350000 = 150000 руб.

Ответ: P = 1350000 руб. D = 150000 руб.  


3.4. В кредитном  договоре на сумму 1500000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i = 20% годовых. Определить наращенную сумму.

Дано: Р = 1500000;

          Тлет = 4;

          i = 20%;

          S - ?

S = P(1+i)^N;

S = 1500000 *(1+0,2) ^ 4 = 3110400 руб.

Ответ: S = 3110400 руб. 


3.5. Ссуда размером 1500000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – i = 20% годовых.

Проценты начисляются  2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Дано: P = 1500000;

          T = 4;

           i = 20%;

           m = 2;

           S - ?

S = P (1+in/m)^n*m;

N = m*n;

S = P(1+i/m)^N.

S = 1500000(1+0,2/2) ^8 = 3215383,2 руб.

Ответ: S = 3215383,2 руб. 


 

3.6. Вычислить  эффективную ставку процента, если  банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки i = 20% годовых.

Дано: m = 2;

          i = 20%;

          iэ = ?.

iэ = (1+in/m)^m – 1;

iэ = (1 + 0,2/2)^ 2 – 1 = 0,21= 21%.

Ответ: iэ = 21%. 
 


3.7. Определить, какой должна быть номинальная  ставка при начислении процентов  2 раза в году, чтобы обеспечить аффективную ставку i = 20% годовых.

Дано: m= 2;

          iэ = 20%;

          iн = ?.

iн = [(1+iэ)^1/m – 1 ] * m;

iн = [(1+0,2)^1/2 – 1] * 2 = 0,19= 19 %.

Ответ: iн = 19 %. 
 


3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1500000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i = 20% годовых.   

Дано: T = 4;

          S = 1500000;

          i = 20%;

          P -  ?

S = P(1+i) ^n;

P = S/(1+i)^n;

P = 1500000/( 1+0,2)^ 4 = 723379,63 руб.

Ответ: P =  723379,63 руб. 
 


  3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма1500000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i = 20% годовых. Определить дисконт.

Дано: S = 1500000;

          T = 4;

          d = 20%;

          D - ?

P = S*(1- d )^n;

P = 1500000 *(1 – 0,2)^4= 614400 руб.

D = 1500000- 614400 = 885600 руб.

Ответ: P = 614400 руб. D = 885600 руб. 


   3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1500000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i = 20%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано: S= 1500000;

          T= 4;

          m = 2;

           i = 20%;

           ∑- ?

Расчет суммы  на расчетном счете к концу  срока осуществляется по формуле:

Sк.= S*[(1+i/m)^mn –  1]/[(1+i/m)^m – 1]

Sк.= 6880205,59

Ответ: Sк.= 6880205,59