Законы сохранения и их роль в естественнонаучном познании

ФГОУ ВПО

«Ярославская государственная  сельскохозяйственная академия»

 

 

 

 

 

 

Кафедра «Гуманитарных и  социально-экономических наук»

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Концепции современного естествознания»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3 курса 

                                                                                          заочной формы обучения.

Экономического факультета

направление «Финансы и кредит».

                                                                        Учебный шифр: 10643,  Ярош  И. В.

 

 

                                                    Проверил: Цаплин В.П.

 

 

 

 

Ярославль

2012

 

 

Тема № 13. Законы сохранения и их роль в естественнонаучном познании.

1. Законы сохранения импульса и  момента импульса.

                 И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведе-нию массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:   .

В более общем  виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

                 Импульс – это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер (утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения) с фундаментальной симметрией – однородностью пространства.

Аддитивность (лат. additivus — прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение ве-личины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его час-тям, в некотором классе возможных разбиений объекта на части.

 

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что вектор-ная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, – однородность пространства.

Вывод из формализма Ньютона 

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы  из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида   и   будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть   

Тогда после подстановки  полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:                                    или           

Как известно, если производная  от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

 (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс  системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение  для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные  рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса   зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

 

Связь с однородностью  пространства.

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая  инвариантность	Соответствующий  закон  сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность  времени	…энергии
↔ Обращение времени	Изотропность  времени	…энтропии
↔ Трансляции пространства	Однородность  пространства	…импульса
○ Вращения пространства	Изотропность  пространства	…момента  импульса
× Группа Лоренца	Относительность  Лоренц-инвариантность	…4-импульса

 

 

 

 

Вывод из формализма Лагранжа.

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела   зависящую от обобщён -ных координат   обобщённых скоростей   и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени,   Выберем для рассмотрения прямоуголь-ную декартову систему координат, тогда   для каждой  -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения:   где   В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю:   С учётом того, что вектор   — произвольный, последнее требование выполняется при:

                      

где суммирование идет по всем частицам системы.

Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю:   С

учётом того, что вектор   — произвольный, последнее требование выполняется при:

                  

 

 Воспользуемся уравнением Лагранжа         

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

             Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид:   нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:                       

Для релятивистской свободной  частицы лагранжиан имеет несколько  другую форму:   что приводит к релятивистскому определению импульса

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствую-щих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса в общей теории относительности.

            Аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса

где точка с запятой  выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.

Можно придумать такие  определения импульса гравитационного  поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при  движении во времени системы тел  и полей, но все такие определения  содержат элемент произвола, так  как вводимый импульс гравитационного  поля не может быть тензорной величиной  при произвольных преобразованиях  координат.

 

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном  движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно – если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси – псевдоскаляр. Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

 

Момент импульса
Размерность	L2MT−1
Единицы измерения
СИ	м2·кг·с−1
СГС	см2·г·с−1
Примечания
псевдовектор

Момент импульса в классической механике.

Определение. Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

 

где r – радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

  

где r_{i ,} p_i радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе  количество частиц может быть  бесконечным, например, в случае  твердого тела с непрерывно  распределенной массой или вообщераспределенной системы это может быть записано как L = r × dp, где dp – импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

 

 

Из определения  момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

.

Замечание: в  принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и  определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента.

           Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам r и p. Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где  – угол между r и p, определяемый так, чтобы поворот от r к p производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем r в виде r = r+ r , где r - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а r - аналогично, перпендикулярная ему. r является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора p, которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору p и перпендикулярную ему p. Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выраже-ния для  .

 

 

 

Сохранение углового момента.

• Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.
• Производная момента импульса по времени есть момент силы:
• Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:
• где   — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).
• Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол  , радиус-вектор частицы с номером   изменятся на  , а скорости - . Функция Лагранжа   системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

• С учетом  , где   — обобщенный импульс  -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде
• Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:
• где,   — момент импульса системы. Ввиду произволь -ности  ,     из равенства      следует  .
• На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

 

 

Момент импульса в электродинамике.

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс   не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса   тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где   — электрический заряд,   — скорость света,   — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы   в электромагнитном поле:

где   — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

 

Момент  импульса в квантовой механике.

Оператор момента.

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на   (  с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на  . Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен   . Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса  .

В классическом определении  момент импульса зависит от 6 переменных  ,  ,  ,  ,  , и  . Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.

 

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением – в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы – соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

где   и   — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй – на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

где   — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

, где   — Символ Леви-Чивиты;

и даже более важные подстановки  с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

Симметрия вращения.

Операторы момента  импульса обычно встречаются при  решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

где

 — сферические функции (представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией).

 

 

Вычисление момента  импульса в нерелятивистской механике.

Если имеется материальная точка массой  , двигающаяся со скоростью   и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором  , то момент импульса вычисляется по формуле:

где   — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

Можно переписать это через  плотность  :

(Если считать, что   — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих  вращение как целое (как абсолютно  твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где   — момент инерции относительно оси вращения,   — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента  связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

• За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирает-ся центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.

 

 

 

2. Принцип симметрии.

Симметрии принцип (в науке) – эвристический и методологический принцип научного исследования, в соответствии с которым определенные свойства и взаимосвязи объектов, формулируемые как законы в составе научных теорий, инвариантны относительно некоторых преобразований (составляют группу симметрии); в этом смысле пришил симметрии можно понимать как некоторое обобщение принципов относительности, инвариантности (см. также Простоты принцип). Напр., релятивистская симметрия (в рамках специальной теории относительности) заключена в том, что законы изменения состояний физических систем инвариантны в любых координатных системах, находящихся относительно друг друга в равномерном поступательном движении; при этом скорость света в любой системе координат постоянна и независима от того, покоится или движется источник света (Эйнштейн). В рамках общей теории относительности в группу симметрии включены все законы, определяющие свойства пространства-времени и включающие только динамические переменные. Основываясь на понятии «полного описания физической системы», включающего однозначные определения движений всех частиц и напряженностей полей во всех пространственно-временных точках, можно свести принцип симметрии к следующим положениям: 1) полное описание сохраняется при всех преобразованиях в любых эквивалентных системах координат; 2) все движения, возможные в одной системе координат, возможны во всех эквивалентных системах; 3) уравнения движения инвариантны во всех эквивалентных системах (формулировка Хаага – Вигнера).

Принцип симметрии способствует выявлению структуры физических теорий и взаимосвязи фигурирующих в них законов. Это позволяет устанавливать систематические отношения между теориями в рамках единой научно-исследовательской программы или сопоставлять такие программы. Конкретные виды симметрии могут различаться по степени общности и устойчивости (сопротивлению эмпирическим опровержениям); к числу наиболее общих и стабильных относятся релятивистская симметрия, а также симметрии, связанные с законами сохранения (эта связь может быть исследована на основании теорем Нетер, устанавливающих соотношения между фундаментальными группами симметрии, динамическими законами и физическими параметрами, для которых выполняются законы сохранения). Однако любые симметрии являются эмпирическими обобщениями; в этом смысле принципиально возможны открытия фактов нарушения симметрии (напр., нарушение четности в слабых взаимодействиях) либо открытие новых, ранее не фиксировавшихся типов симметрии (напр., в физике элементарных частиц).

Принцип симметрии сыграл значительную роль в формировании «Эрлангенской программы» Ф. Клейна как общий метод определения структуры и способа построения широкого класса

 

геометрий (1873). В физике теоретико-инвариантные идеи и принцип симметрии приобрели  особенную значимость с развитием  релятивистской механики и последующей  «геометризации» физики, став методологической основой прогноза относительно возникновения  новых направлений теоретического анализа в этой области. В этой связи оказались плодотворными  типологии и классификации типов  симметрии, различных модификаций  и ограничений «эрлангенского»  подхода.

В методологическом плане  принцип симметрии может указывать  источники и способы возможных  разрешений проблемных ситуаций в науке, которые связаны с обнаружением не известных ранее симметрий  или с нарушениями установленных  симметрий. Напр., ньютоновская механика может рассматриваться как разрешение проблемной ситуации, возникшей с обнаружением Кеплером симметрических закономерностей движения планет, которые не могли быть последовательно совмещены с механикой Галилея; эмпирические формулы распределения спектральных линий Бальмера (1885) и Пашена (1908), свидетельствующие о симметрии в структуре атома водорода, получили теоретическое объяснение в первой квантовой теории (Н. Бор), а затем в квантовой механике; открытия нарушений фундаментальных физических симметрии (Ли и Янг, С. By, Дж. Кронин и др.) стали мощнейшим стимулом прогресса в теоретической физике, во многом определявшимся методологической установкой на сохранение симметрии и связанной с этим перестройкой оснований физики слабых взаимодействий.

Симметрия  – свойство, отражающее структурную особенность объекта, остающегося неизменным при изменении порядка расположения в пространстве и/или времени равных между собой частей этого объекта. Понятие симметрии может быть расширено на случай, когда неизменными при преобразовании остаются только некоторые характеристики объекта. Принцип симметрии – один из общих методологических принципов науки.

В зависимости от характера  объекта и его частей понятие  симметрии может относиться к  эстетике или математике, естествознанию или лингвистике. Для каждой из этих областей симметриия имеет конкретную расшифровку. Вне зависимости от того, какой конкретный тип симметрии рассматривается, всегда предполагается, что операции, приводящие к взаимозаменяемости различных симметричных частей объектов, операции симметрии, обладают взаимной независимостью и их можно реализовывать в определенной последовательности, получая, напр. в случае пространственных симметрий, фигуры со сложной симметрией, выражаемой суммой (последовательным выполнением) отдельных операций симметрии. В естествознании особый интерес представляют совокупности симметрий, образующих группу, т.е. отвечающих требованиям, предъявляемым к группе: в группе существует нулевая операция симметрии, у каждой входящей в группу операции

 

 

симметрии есть обратная операция, в сумме с которой они дают нулевую операцию симметрии, сумма  любых двух операций симметрии из группы есть операция симметрии группы. Принцип симметрии был отнесен  к разряду порождающих принципов  науки, и было

показано, что имплицитно он функционирует в подобном качестве со времен античности. В эстетике понятие  симметрии традиционно ассоциируется  с гармонией, красотой, порядком. Известные  с древности свойства симметрии  геометрических тел отражали и эти  эстетические критерии. По определению, пространственной симметрией обладает геометрический объект, части которого совпадают, будучи отраженными либо относительно некоторой мысленной  линии или плоскости, проходящих внутри этого объекта, либо вокруг точки, принадлежащей объекту. В первом случае линия называется осью или плоскостью симметрии тела, во втором – центром симметрии. Линия может находиться вне тела, а часть объекта совпадать с ним самим, в этом случае имеет место зеркальная симметрия относительно оси. Сфера – пример геометрического тела, имеющего бесконечно много плоскостей симметрии и осей симметрии, проходящих через ее центр, именно она рассматривалась в античности как наиболее совершенное из всех геометрических тел, что дает пример совпадения эстетического критерия и свойства симметрии.

Первое применение свойств  симметрии в физике относится  к 1-й трети 19 в., когда были обнаружены И. Гесселем 32 кристаллографических класса – единственные группы поворотов в трехмерном пространстве (на 60, 90 и кратные им углы), оставляющие неизменными кристаллы. В конце 20 в. Е.С.Федоров классифицировал все 230 возможных групп пространственной симметрии кристаллов. Во 2-й пол. 19 в. в рамках классической теории химического строения была открыта зависимость от строения молекулы химического вещества его химических свойств (изомерия), что позволило приближенно предсказать на основе свойств симметрии строение молекул. Впоследствии было показано, что разные химические свойства имеют вещества с зеркально-симметричной структурой. Двусторонняя, зеркальная симметрия играет особую роль в природе. Она известна как наиболее типичная структурная особенность живых организмов (зеркальная симметрия листьев, человеческого тела и т.д.) наряду с характерной для них функциональной симметрией, понимаемой как тождественность функций симметричных органов. С концепцией симметрии связано и понятие симметричности. В логике бинарное отношение R, определенное на некотором множестве M будет симметричным, если для любых x и у из М: из xRy – следует yRx. В математике функция f(x, у,... z) называется симметричной по переменной х, определенной в области М., если она не меняется при замене x на х, тоже принадлежащем M: f(x, y,... z) =       = f(-x, y,... z). Функция, симметричная по всем своим переменным внутри области определения, называется симметричной.