Аксіоматика шкільного курсу геометрії

ВСТУП

Аксіоматичний метод  – спосіб побудови наукової теорії, за яким в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) – аксіоми або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися шляхом чисто логічних міркувань, що їх називають доведеннями. Логічні правила цих міркувань строго фіксовані. В межах теорії залишається невизначеною невелика кількість вихідних понять (хоча можна вважати, що аксіоми є їхніми непрямими означеннями). На основі вихідних понять шляхом явних означень вводяться всі інші поняття теорії. На основі означень і аксіом доводяться теореми.

Найважливішою вимогою  до системи аксіом є її несуперечливість, що можна розуміти так: скільки 6 теорем з цих аксіом ми не доводили, серед них не буде двох теорем, які суперечать одна одній. Суперечлива аксіоматика не може бути основою для побудови змістовної теорії.

У шкільній геометрії важливу роль відіграє аксіоматичний метод. Питання, пов'язані з цим методом, завжди були в центрі уваги математиків. Зародившись в працях давньогрецьких вчених і узагальнений в "Початках" Евкліда, аксіоматичний метод отримав розвиток у роботах Герона Олександрійського (I в. До н.е. - I ст. Н.е.), Порфирія Сирійського (III ст.), Паппа Олександрійського (III ст.), Прокла (V ст.) та ін. Аксиоматичному методу були присвячені роботи вчених Сходу: Ал-Джаухарі, Сабіт ібн Коррі, Ібн Ал-Хайсама, Ал-Біруні, Омара Хайяма та ін.. Особливе розвиток аксіоматичний метод одержав у період Відродження, коли його стали застосовувати до інших областей знання - фізиці, етиці, юридичним наукам. Незважаючи на те, що проблема суворого обґрунтування геометрії на аксіоматичної основі була незалежно один від одного вирішена на рубежі XIX і XX століть у працях М.Піері, Д.Гілберта і В.Ф.Кагана, питання, пов'язані з аксіоматичним методом, залишилися в центрі уваги методичної думки.

Рішення проблеми аксіоматичного побудови шкільного курсу геометрії у  школі ми знаходимо у підручниках М. Є. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А. Ю. Давидова, А.П.Кіселева, А. Н. Колмогорова, М.М. Нікітіна, А. В. Погорєлова, В.А.Гусева, в роботах авторських колективів Л.С.Атанасян (В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, І.І.Юдіна); А . Д.Александрова (А.Л.Вернер, В. І. Рижик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова); В.Г.Болтянского (М. Б. Волович, А . Д. Семушина); В.М. Клопскій-го (3. А. Скопець, М. І. Ягодовский); А. Н. Колмогорова (А.Ф.Семеновіч, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г.А. Бахуріна та ін. Тому тема курсової роботи є актуальною, має важливе теоретичне й практичне значення і потребує подальшого розроблення.

Предмет дослідження - аксіоматичний метод в шкільному курсі планіметрії і шляхи формування в учнів умінь продуктивно використовувати його при вивченні геометрії

Мета роботи:  розкрити суть аксіоматичного методу,  логічних основ побудови шкільного курсу геометрії і ретроспектива їх співвідношень на практиці.

Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:

1. Розглянути різні підходи до застосування аксіоматичного методу в курсі геометрії та його значення в пізнанні навколишнього світу та навчанні.

2. Обґрунтувати та розробити теоретичні основи вивчення аксіоматичного методу в шкільному курсі планіметрії.

4. Визначити оптимальні умови вивчення основ аксіоматики в навчанні геометрії.

Для досягнення поставлених задач використовувались такі методи дослідження, як інформаційно-пошуковий, порівняльний та статистичний,   критичний аналіз джерел, прогнозування.

Початкові поняття і  аксіоми запозичують з досвіду. Тому очікується, що всі факти, доведені в аксіоматичній теорії, мають тісний зв'язок з життям і можуть бути використані в практичній діяльності людини.

Аксіоматичний метод  широко застосовується в математиці, математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все ж за межами логіко-математичних наук сфера його застосування незначна.

РОЗДІЛ I. ІСТОРИЧНІ ПІДХОДИ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ГЕОМЕТРІЇ

1.1. Порівняльна характеристика різних аксіоматик Евклідової геометрії

 Історію розвитку аксіоматичного методу можна розділити на три періоди: 

1. Період змістовної аксіоматизації - математична теорія будується на змістовій системі аксіом, тобто аксіоми описують основні властивості, відношення і зв’язки об’єктів деякої визначеної множини. Ці об’єкти мають пряме означення або опис ще до того, як задається список основник аксіом. Доведення здійснюється засобами звичайної формальної логіки.
2. Період  напівформальної  аксіоматизації - об’єкти математичної теорії не визначаються.  Вони вводяться  не  прямо,  а  за   допомогою відповідних аксіом. Система  аксіом  при  цьому  описує  структуру відношень і зв’язків, в яких знаходяться ці об’єкти. В процесі доведень також використовуються засоби формальної логіки.
3. Період  формальної  аксіоматизації – при такій аксіоматизацїї поряд з системою аксіом теорії конструюється система логічних аксіом і правил, що надають логічні засоби для проведення доведень в рамках цієї теорії, тобто в ції аксіоматизації в явному вигляді повинна бути і теорія доведень, яка є складовою частиною математичної логіки.  Ще на початку ІІІ століття до н.е. Арістотель чітко визначив і логічну схему систематичного викладання науки, і суть змістовної аксіоматичної теорії. У   цьому  ж  столітті  з’явились  «Начала» Евкліда [4].  За  «Началами»  протягом  багатьох  століть  геометрію  вивчали  в  усіх  школах.  З  кінця  XV  століття  ця книжка  витримала  більш  як  1500  видань  на багатьох  мовах  світу.  Таким  тривалим  успіхом  не користувалась жодна наукова книга. 

«Начала" Евкліда були зразком логічної строгості до ХІХ ст., хоч вони і     мали цілу серію недоліків. Деякі з недоліків "Начал" були помічені і певною мірою усунуті ще в давнину. Зокрема Архімед доповнив евклідову систему аксіом, а також удосконалив теорію вимірювання довжини площі і об’ємів. Після Архімеда (і аж до XIX ст.) численні спроби уточнити евклідову систему аксіом не внесли в неї нічого принципово нового.

Поряд  з  логічними  недоліками  «Начал»  велику  увагу всіх учених привертав V-й постулат Евкліда, який здавався не таким очевидним, щоб його приймати без доведення. З часів Евкліда і до кінця ХІХ ст.. проблема V-го постулату була однією з найпопулярніших в математиці. Пропонувалися найрізноманітніші його доведення. Проте всі вони були або помилковими, або спиралися на інші твердження, еквівалентні цьому постулату щодо інших аксіом і постулатів Евкліда, або приймалися без доведення. В кінці 60-х років ХІХ ст. перед математиками постала задача побудувати таку аксіоматику елементарної геометрії, на базі якої, опираючись лише на закони логіки, можна було б математично побудувати її теорію без будь-яких посилань на наочність і очевидність.

Відкриття геометрії  Лобачевського двло нове розуміння  аксіоматичного методу і сприяло подальшому аналізу аксіоматичної бази евклідової геометрії. Загальна тенденція до строго математичних доведень, якою відмічені роботи другої половини ХІХ ст., і розв’язання проблеми V-го постулату поставили перед геометрами задачу повного дослідження аксіом геометрії. Ці дослідження показали, що система аксіом Евкліда не досконала, і перш за все, вона не повна, тобто в ній відсутня ціла серія аксіом, необхідних для проведення строго логічних доведень.

У  зв’язку  з  цим  геометри  другої  половини  ХІХ  ст.  доповнили систему аксіом Евкліда рядом нових аксіом. Першими  великими  досягненнями  в  аналізі аксіоматичної  побудови  евклідової  геометрії  стали дослідження німецького математика М. Паша (1843 – 1930) та італійського математика Дж. Пеано (1858 – 1932). М.  Паш  у  «Лекціях  з  нової  геометрії»  (1882р.)  формулює  12  аксіом  належності і порядку, 10 аксіом конгруентності і неперервності, дуже близько підходячи до системи аксіом, достатньої для побудови евклідової геометрії.

Найбільшу увагу він приділяє аксіоматичному опису "порядку" точок на прямій. Дж. Пеано досліджує аксіоматику поняття «рух». Зокрема, йому належить відома аксіома про "ступінь рухомості" площини: існує єдиний рух, який переводить даний репер в інший даний репер. На  межі  XIX  і  XX  ст.  були  побудовані  перші  аксіоматики  евклідової  геометрії,  які  відповідали загальним  вимогам  до  аксіоматичних  теорій  – несуперечливості,  повноти  та  незалежності.  Деякі  з  них відрізнялись  між  

собою  не  тільки  переліком  прийнятих  аксіом,  а  й  різними  підходами  до  

обгрунтування евклідової геометрії. У 1899 р. вийшли в світ праці італійського 

математика М.Пієрі і німецького математика Д. Гільберта. У системі аксіом 

Д. Гільберта одним з вихідних (первісних) понять геометрії є «конгруентність».

М. Пієрі, йдучи  за  своїм  учителем Дж. Пеано, вихідним вважає "рух". Через три роки було опубліковано статтю російського математика В. Ф. Кагана (1869 – 1953), який запропонував метричну аксіоматику [6], в якій одним з основних відношень є " відстань між двома точками".  Дещо пізніше (1918 р.) німецький математик Г. Вейль (1885 – 1955) запропонував точково-векторну аксіоматику евклідової геометрії.  Всі названі системи обґрунтування геометрії формально еквівалентні і кожна із них дає можливість довести всі теореми евклідової геометрії.

Проте  різні  аксіоматики  визначають  різні  науково –методичні підходи до побудови її теорії. Ці дослідження справили величезний вплив на формування сучасного аксіоматичного методу, який став потужнім засобом дослідження у всіх розділах математики. Робота  Гільберта  [3]  «Основи геометрії" (1899 р.), яка у 1904 році була відзначена міжнародною премією ім.. М. І. Лобачевського, по суті завершила цілий історичний етап побудови геометрії аксіоматичним методом.   

Первісними  (не  означуваними)  геометричними  образами  в  аксіоматиці  

Гільберта є точка, прямі і площини, первісні (не означувані) відношення між якимиописуються словами: "належати" або "інцидентні", "лежати між", " конгруентні". Що  таке  точка,  пряма,  площина  і  який  конкретний  зміст вказаних відношень не уточняється.   

Їх  властивості  фіксуються  тільки  в  аксіомах.  Основні  об'єкти  та відношення називають основними   поняттями.   За Гільбертом основні геометричні поняття повинні задовольняти  систему  аксіом , що складається з  п'яти груп: 

І група – 8 аксіом інцидентності. 

ІІ група – 4 аксіоми порядку. 

ІІІ група – 5 аксіом конгруентності. 

ІV група складається з двох аксіом неперервності- аксіоми Архімеда та аксіоми Кантора.

V група містить одну аксіому – аксіому паралельності: через точку А, що не належить прямій ВС, у площині АВС можна провести не більше однієї прямої, яка не перетинає пряму ВС. Легко доводиться, що аксіома паралельності – еквівалент V-му постулату Евкліда. Серед еквівалентів V-му постулату відмітимо і такі твердження: 

1. Якщо при перетині двох прямих третьою відповідні кути рівні, то ці прямі паралельні. 

2. Перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої, розміщені в одній площині, завжди перетинаються (твердження Тусі-Лежандра). 

3. Відстані від точок однієї з двох паралельних прямих до другої обмежені (твердження Прокла). 

4. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180. 

5. Існують подібні, але не конгруентні трикутники (твердження Вілліса). 

Основна заслуга Гілберта , дякуючи чому його робота стала класичною, полгає  в  наступному.  Він настільки вдало розбив всю аксіоматику на окремі групи, що логічна структура геометрії стає надзвичайно прозорою.  Таке розбиття аксіом на окремі групи дало можливість формулювати аксіоми найбільш просто і коротко,  вияснити  роль  окремих  груп  аксіом,  досліджуючи  теорію,  яка  базується не на всій аксіоматиці, а на тих чи інших групах аксіом. Запропоновану систему аксіом Гілберт віддав глибокому різнобічному дослідженню. Зокрема, він довів несуперечливість своєї аксіоматики, довів незалежність деяких аксіом, дослідив питання про те, яка геометрична теорія одержується я з тієї чи іншої групи аксіом. У  1909  р.  німецький  математик  Ф.Шур  частково  перебудував систему аксіом Гілберта, включивши  «р у х »   до вихідних понять геометрії. Таким чином, в аксіоматиці Ф. Шура вихідними поняттями евклідової геометрії є: "точка", "пряма", "площина", «належати" , «лежати між» та «рух». Аксіоматика Ф. Шура для евклідової геометрії складається з аксіом І, ІІ, ІV і V груп системи Гілберта і аксіом руху, які замінили ІІІ групу гілбертових аксіом конгруентності.

Основними  поняттями  в  аксіоматиці  В. Ф. Кагана   вважаються:  

«точка»,  «відстань»,  «рух».  Їх властивості описуються в 10-ти аксіомах. [6]. Починаючи  з  другої  половини  ХІХ  ст.  в  математиці  та  її застосуваннях почали широко використовувати поняття вектора та векторного простору.    

У  1918  р.  німецький  математик  Г.Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на точково-векторній базі [5]. 

За  вихідні  геометричні  поняття  в  аксіоматиці  Г. Вейля  приймаються  такі:«вектор»,  «точка»,  «сума векторів»,  «добуток  вектора  на  дійсне  число,

властивості яких фіксуються в наступних групах аксіом: 

І. Аксіоми додавання векторів. 

ІІ.  Аксіоми множення вектора на число.

III.   Аксіоми розмірності: 

III1. Існує  n  лінійно  незалежних  векторів   (існує   базис  n- вимірного простору).     

ІІI2.  Будь-які   n+ 1  векторів   лінійно  залежні   (будь - який  вектор  є  лінійною  комбінацією  базисних ) .  

4. Аксіоми відкладання вектора. 
5. Метричні аксіоми (аксіоми скалярного добутку).  

 За  Г. Шоке:  векторний  шлях  вивчення елементарної геометрії – це королівський шлях в математиці. При цьому виявляється, що n-вимірний евклідів простір при n=3 являє собою звичайну стереометрію, при  n=2  –   планіметрію,  при  n=1  –  геометрію  прямої  (лонгиметрію).  

 Таким чином, аксіоматика Вейля за своїми можливостями перевершує як аксіоматику Гілберта, так і всі інші відомі аксіоматики евклідової геометрії.

За  Вейлем  основними  геометричними  образами виступають точки і вектори.  Всі  інші  геометричні образи означаються через них за допомогою теоретико множинних понять з істотнім застосуванням теорії дійсних  чисел.  Крім  цього,  

Аксіоматика Вейля евклідової геометрії дає можливість природнім способом пов'язати різні розділи геометрії один з другим. Вона дає можливість вивчати всі питання евклідової і неевклідової геометрії  (n-вимірна евклідова геометрія, сферична, гіперболічна  та  еліптична  геометрії),  а також проективну геометрію, керуючись при цьому загальною точко-векторною аксіоматикою.  До останнього часу (60-і роки  ХХ ст.) викладання геометрії в середній школі у нашій країні базувалось на 

традиційній системі Евкліда і здійснювалося за відомими підручниками П.Кисельова [8], написаним ще в  ХІХ ст. Бурхливий розвиток математики і її застосувань привели до необхідності реформування математичної освіти, необхідності посилення математичної підготовки школярів, зокрема, до більш строгого викладу курсу геометрії в школах. Природнім був би шлях перебудови ШКГ на базі аксіом Гілберта, але такий шлях заслуговує серйозної критики. З однієї сторін, аксіоматика Гілберта для школярів досить складна, з іншої – вона практично не має виходу в інші області сучасної геометрії.   До того ж характерним для цієї аксіоматики є фактична відсутність теоретико-множинних понять, зокрема, нескінченної множини. Це приводить до того, що в геометрію слабо проникають аналітичні методи досліджень та векторна алгебра. Не дивлячись на те, що побудова шкільного курсу геометрії на основі аксіоматики Вейля в наш час зближувала б шкільний курс геометрії з сучасним науковим рівнем математики,  більшість  педагогів-математиків вважають таку реформу шкільного  курсу  геометрії  передчасною, або й взагалі недоцільною. О. В. Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення.

Шкільний курс геометрії сьогодні пропонують будувати так, щоб усі його поняття, означення, твердження та їх доведення, задачі подавалися відповідно до вимог логіки. В  останні  роки  наші  школи  поступово  переходять  на  нові  підручники  геометрії,  розроблені  різними авторськими колективами, в яких намагаються реалізувати вказані вище вимоги. Ці підручники будується не на аксіоматичній основі, а на досвідно-дидуктивному рівні.

1.2. Логічні основи геометрії

Логічні основи геометрії – це фундамент геометрії, який має відповідати вимогам логіки. А логіка (від давньогрецького λογος – слово, розум,  міркування) – наука, яка досліджує впорядкованість людського мислення, його закони, форми і прийоми. Основними законами логіки називають закони тотожності, суперечності, виключення третього і достатньої підстави, оскільки вони виражають базові риси логічно правильного мислення. А саме: визначеність, послідовність, несуперечливість і обґрунтованість думки. Основними категоріями логіки є: поняття (їх види і означення), судження, закони логіки, твердження (їх види і доведення), задачі (їх види і розв’язання) тощо. Отже, будувати шкільний курс геометрії на логічних основах – це означає всі його поняття, означення, класифікації, твердження, їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Усі складові частини підручника геометрії мають бути коректно викладені з погляду логіки. Досягти цього не легко, але треба.

Вичерпну систематизацію логічних напрямів побудови курсу геометрії було створено Міжнародною комісією з викладання математики на Міланській конференції в 1914 році. Вона містить чотири напрями:

_ А – формально-логічний;

_ В – досвідно-дедуктивний  (рівень В_ , В_ , В_ );

_ С – інтуїтивно-дедуктивний;

_ D – інтуїтивно-експериментальний.

Напрям А – характеризується повним відмовленням від інтуїції. Основні поняття (точка, пряма тощо) означаються неявно через аксіоми.

Особливістю напряму  В є те, що основні поняття і  відношення запозичуються з досвіду. Всі інші міркування та етапи побудови здійснюються дедуктивно. В межах цього напряму розрізняють три рівні:

- В_ – формулюються всі необхідні аксіоми;

- В_ – явно подається тільки частина аксіом;

- В_ – формулюються тільки ті аксіоми, зміст яких не здається очевидним.

Напрям С – інтуїтивно-дедуктивний. В побудові курсу одночасно використовується інтуїція і строгі доведення, які не відокремлюються одна від одного.

Напрям D – інтуїтивно-експериментальний. В побудові курсу геометрії такого рівня основні поняття і відношення запозичуються з досвіду, геометричні факти встановлюють за допомогою експерименту.

Розділ ІI. НАУКОВО-ПЕДАГОГІЧНІ ОСНОВИ АКСІОМАТИЧНОГО МЕТОДУ

  2.1. Психолого-педагогічні аспекти вивчення аксіоматичного матеріалу в шкільному курсі геометрії.

Логічні основи побудови шкільної геометрії традиційно пов’язували з аксіоматичним методом, «Началами» Евкліда та підручниками «Геометрії» академіків А.М.Колмогорова і О.В.Погорєлова. Майже 30 років логічну будову шкільної геометрії ототожнювали зі створенням аксіоматичних навчальних курсів. З тих пір у багатьох учителів і методистів утвердилась думка, що логічно коректним можна вважати тільки аксіоматичний курс геометрії. Зробимо невеличку ретроспективу у таке трактування логічних основ геометрії.

До ХХ століття у всіх країнах геометрію викладали за Евклідом. Це було або майже точне наслідування «Начал» (як в Англії), або вільне трактування, подібно до робіт Лежандра (у Франції). Вітчизняні підручники і посібники з геометрії в різні часи будувалися за напрямами В, С, D – від досвідно-дедуктивного до інтуїтивно-експериментального. До середини ХХ століття усі вітчизняні школи дотримувалися рівня В_, тобто розповідали учням про можливість аксіоматичної побудови геометрії, але формулювали тільки частину аксіом; важливіші і доступніші для учнів теореми доводили, але й використовували знання, отримані з досвіду. Згодом академіки А.М.Колмогоров [1] і О.В.Погорєлов [2] запропонували для загальноосвітніх шкіл курси геометрії, орієнтовані на рівень В_ – відразу формулювали всі аксіоми, потрібні для викладу перших розділів. Мрією академіка А.М.Коломогорова було привести логічні основи сучасної математики до такого стану, щоб їх можна було викладати в школі підліткам. Навіть у навчальному посібнику для учнів він умістив пункт «Про логічну будову геометрії» [1, с. 372], який починався такими словами. «Логічно строгий курс геометрії будують так:

1. Перераховують основні  геометричні поняття, які вводяться  без означень.

2. За їх допомогою  означаються усі інші геометричні  поняття.

3. Формулюються аксіоми.

4. На основі аксіом  і означень доводять усі інші  геометричні твердження».

А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного  курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження. О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення: "Головне завдання викладання геометрії в школі – навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закінчить школу, стане математиками, а тим більше геометрами. Будуть і такі, які в своїй практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою Піфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося міркувати, аналізувати, доводити». Поняттям і означенням він не надавав великого значення. Це відмічали навіть його коментатори: «Але означенням в побудові систематичного курсу геометрії відводиться як би другорядна роль. Автор навчального посібника вважає, що нечітке відтворення учнями означення не повинно заважати йому правильно доводити теорему» [3, с. 14]. Так дивилися на шкільну геометрію впродовж двох останніх десятиліть. А оскільки доведення становлять тільки незначну частину логіки, тоді питання про логічну основу шкільної геометрії піднімалось і обговорювалось рідко.

Знання про можливість побудови геометрії на аксіоматичній  основі потрібне філософам і математикам. Саме розуміння цього дозволило вченим відкрити неевклідові геометрії, істотно змінити погляди на сутність науки. Ніякої іншої ролі в навчанні геометрії аксіоматика не виконує – ні стосовно кращого осмислення означень понять і доведень теорем, ні щодо умінь розв’язувати задачі. Адаптований для школи аксіоматичний курс геометрії не тільки малозрозумілий через надмірну абстрактність, а й надто бідний змістом. У ньому основна увага звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення найцікавіших питань (коло Ейлера, трикутники Наполеона, задачі на розрізання фігур тощо) не вистачає часу. Він виявляється недостатнім для моделювання об’єктів і процесів реального світу.

Все ж, ще й тепер немало учителів і методистів дотримуються традиційної думки про те, що основне в шкільній геометрії – аксіоми і теореми, що аксіоматичний курс геометрії цікавіший від інших, що він - мов цікава гра, збуджує інтерес учнів. Геометрію вивчають в школі не тому, що вона – «гра», а тому, що вона потрібна багатьом людям. Потрібна так само, як фізика, хімія, географія, астрономія, біологія та інші навчальні дисципліни. Для майбутніх науковців та інженерів вона потрібна як засіб, «знаряддя, таке саме, як штангель, зубило, ручник, терпуг для слюсаря» (О.М.Крилов), для всіх інших – як чудовий матеріал для розвитку логічного мислення учнів, адже «геометрія – правителька всіх розумових пошуків» (М.В.Ломоносов). 

2.2. Аксіоматика В. Погорєлова шкільного курсу геометрії

Обмежимося розгляданням лише аксіом планіметрії. База структури евклідової площини Е2 складається з трьох множин:  Е, F і ℝ елементи множини Е називаються точками, F – прямими і  ℝ- множина дійсних чисел. Основними відношеннями є : а) належність точки і прямої; б) лежати між для трьох точок прямої; в) довжина відрізка; г) градусна міра кута.

Система аксіом Погорєлова Σ_р містить дев’ять аксіом, які розбиті на шість груп.

І. АКСІОМИ НАЛЕЖНОСТІ.

І_1.  Які б не були дві точки, існує пряма, яка проходить через ці точки, і притому тільки одна.

І_2. На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існують три точки, які не лежать на одній прямій.

ІІ. АКСІОМИ ПОРЯДКУ.

ІІ₁. З трьох точок на одній прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

На основі цієї аксіоми  вводиться поняття відрізка.

Означення 2.1. Відрізком АВ називається множина точок, які лежать між точками А і В.

ІІ₂. Пряма розбиває множину точок площини, які не лежать на цій прямій, на дві підмножини (напівплощини) так, що відрізок, який з’єднує точки однієї на півплощини, не перетинається з прямою, а відрізок, який з’єднує точки різних на півплощин, перетинається з прямою.

Далі вводиться поняття  променя і трикутника.

Означення 2.2.  Променем АВ з початком А називається множина точок, яка містить точку В і довільну точку М прямої АВ таку, що точка А не лежить між точками В і М.

Означення 2.3. Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що їх попарно з’єднують.

Виходячи з аксіоми  ІІ2 в теорії ℐ (Σ_р) можна довести аксіому Паша аксіоматики Σн як теорему.

ІІІ. АКСІОМИ МІРИ ДЛЯ  ВІДРІЗКІВ І КУТІВ.

Нехай L є множина всіх відрізків,  ℝ ₊ - множина всіх додатних дійсних чисел.

ІІІ₁. Якщо вибраний деякий відрізок ЕF, то існує відображення l: L→ ℝ₊ таке, що виконуються дві умови: а) якщо точка С лежить між точками А і В, то виконується рівність l(AC)+l(CB)=l(AB); б) l(EF)=1.

Означення 2.4. Число l(АВ) називається довжиною відрізка АВ, а відрізок ЕF – одиничним відрізком.

Означення 2.5. Кутом називається фігура, яка складається з двох різних променів зі спільним посатком. Кут називається розгорнутим, якщо ці промені лежать на одній прямій.

Нехай Ω є множина  всіх кутів.

ІІІ_2. Існує відображення φ: Ω → ℝ₊ таке, що виконуються дві умови: а) якщо промінь l проходить між сторонами кута hk, то φ(hl)+φ(lk) = φ(hk); б) якщо hk – розгорнутий кут, то φ( hk) = 180.

Означення 2.6. Число φ( hk) називається градусною мірою кута  hk. 

IV. АКСІОМА ІСНУВАННЯ  ТРИКУТНИКА, РІВНОГО ДАНОМУ.

Означення 2.7. Два відрізки називаються рівними, якщо при довільному виборі одиничного відрізка їх довжини рівні.

Означення 2.8. Два кути називаються рівними, якщо вони мають одну і ту ж градусну міру.

Означення 2.9. Трикутники АВС і А₁В₁С₁  називаються рівними, якщо виконуються рівності: <А=< А_1, <В=< В_1, <С=< С_1, АВ= А₁В₁, ВС= В₁С_1, АС= А₁С_1.

IV. Нехай АВС – трикутник і h – промінь. Тоді існує трикутник А₁В₁С₁, рівний трикутнику АВС, у якого вершина А₁ співпадає з початком променя h, вершина В₁ лежить на промені h, а вершина С₁ лежить в заданій на півплощині відносно прямої, яка містить промінь h.

  Користуючись цією аксіомою, легко довести такі твердження:

На даному промені можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку, і притому тільки один.

Від даного променя в  задану на півплощину з межею, яка  містить даний промінь, можна відкласти кут, рівний даному куту, і притому тільки один.

V. АКСІОМА ПАРАЛЕЛЬНИХ.

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

VI. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, яка паралельна даній.

    2. 2. Аксіоматика планіметрії Л. С.  Атанасяна шкільного курсу геометрії