Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение высшего профессионального  образования

  «Финансовый университет при Правительстве 
Российской Федерации»

  Кафедра: «Математическое моделирование  экономических процессов»

   
 
КУРСОВАЯ РАБОТА

  на  тему: «Актуарные расчеты в долгосрочном медицинском страховании»

 
 
 
Выполнил: 
студент группы МЭК 4-1 
Анисимов Борис

Научный руководитель: 
доц. Новиков А.М. 

  Москва  – 2010 г.

Оглавление

  Введение 3

  Сущность долгосрочного медицинского страхования 4

  Актуарная стоимость потока затрат на медицинские услуги 6

  Факторы, определяющие стоимость потока платежей 10

  Нетто-премии 12

  Сравнительный анализ схем расчетов брутто-премий 17

  Заключение 21

  Список литературы 22 

  Введение

     К долгосрочному медицинскому страхованию  обычно относят страхование расходов на лечение (амбулаторное или стационарное) и уход на дому за хронически больными и престарелыми на протяжении длительного периода. В России время для такого страхования еще не наступило, и как следствие, тема очень плохо проработана в отечественной литературе. Однако надо полагать, что рано или поздно такой вид страхования найдет себе применение, как и во всех развитых странах, что делает тему очень актуальной.

     Цель  данной работы описать особенности  актуарных расчетов премий при долгосрочном медицинском страховании.

     В результате были поставлены следующие задачи:

1. определить как расчитывается актуарная стоимость затрат на медицинские услуги
2. рассмотреть факторы определяющие стоимость потока платежей
3. охарактеризовать особенности расчета нетто-премии и брутто-премии
4. рассмотреть зарубежные методы расчета премий и сравнить их

     В работе были использованы труды Савича С.Е., Четыркина Е.М. а также работы зарубежных авторов Timmer H. и Bohn K.

  Сущность  долгосрочного медицинского страхования

     Известно, что методы расчетов премий и тарифов в долгосрочном медицинском страховании отличаются по странам. Однако все они основаны на двух принципах  (финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика, и солидарности застрахованных), хотя и реализуются более сложным путем, чем при краткосрочном страховании. Так, принцп финансовой эквивалентности обязательств страховщика осуществляется с учетом длительного поступления страховых взносов, повышения вероятности наступления страхового события с каждым годом жизни застрахованного и возрастного увеличения затрат на лечение.

     Из  этого следует, что долгосрочное страхование позволяет выравнивать  во времени расходы на медицинское  обслуживание, распределять их на значительном временном интервале. Иначе говоря, в молодые годы застрахованный частично оплачивает и лечение болезней своей  старости. Понятие солидарности застрахованных в данном случае, как видим, гораздо  шире, чем при краткосрочном страховании. Оно включает солидарность здоровых и больных (горизонтальная солидарность) и солидарность людей разного  возраста (вертикальная солидарность).

     В пенсионном страховании накопление предшествует периоду выплат. Особенность  долгосрочного страхования состоит  в одновременности двух потоков  платежей – взносов и страховых  выплат (оплата медицинских услуг), причем первый из них является регулярным с фиксированной суммой платежей. Второй поток носит случайный  характер в отношении сумм и моментов страховых выплат. Актуарию приходится ориентироваться на некоторые средние  расходы, зависящие от пола и возраста застрахованного. Оба указанных  потока зависят от вероятности дожития (или более широко – от вероятностей осталься в числе застрахованных)

     Долгосрочное  страхование как известно может  быть пожизненным или ограниченным во времени. Остановимся пока на первом варианте: страховые взносы (премии) выплачиваются пожизненно, регулярно  и в постоянном размере; в свою очередь страховщик оплачивает медицинские  расходы застрахованного также  пожизненно, но при возникновении  страховых случаев.

     В первые годы после заключения контракта  взносы в целом для группы застрахованных одного возраста превышают затраты на лечение, в связи с чем образуются излишки средств, которые инвестируются и приносят процентный доход. После достижения застрахованным некоторого возраста стоимость лечения превышает взносы и для оплаты медицинских услуг используются не только взносы, но и накопленные средства (резерв). В некотором предельном возрасте резерв полностью исчерпывается. В приложении схематично изображены величина взносов, суммы страховых выплат и накоплений в зависимости от возраста застрахованного.

     Важно также отметить, что при любом возрасте заключения контракта взносы в первые годы страхования превышают медицинские расходы. Однако чем выше этот возраст, тем больше величина постоянных взносов. Этот факт иллюстрируется значениями разностей взносов и выплат для мужчины застрахованного в 18 и в 30 лет.

     Такова  в общих чертах сущность долгосрочного  медицинского страхования. Рабочие  методики актуарных расчетов в этой области различаются по странам, но, так или иначе, все они являются развитием методов, применяемых  в страховании жизни и в  пенсионном страховании.

    Актуарная стоимость потока затрат на медицинские услуги

     Долгосрочное  негосударственное медицинское  стразование можно осуществлять индивидуально или коллективно  в рамках отдельных предприятий, профессиональных объединений и т.д. В первом случае необходимые для расчета вероятности определяют на основе таблиц смертности, во втором (при групповом страховании) – по таблицам выбытия, с учетом половозрастных вероятностей прекращения страхования. Иначе говоря, коммутацционные функции (стандартные и специальные) могут быть расчитаны по обоим видам таблиц. Заранее можно сказать, сто стоимости аннуитетов с учетом прекращения страхования оказываются заметно меньшими, чем без учета этого фактора при всех прочих равных условиях.

     Начальным этапом при определении стоимости  страхования является формирование потока затрат на медицинские услуги. Очевидно, что такие затраты в  расчете на одного застрахованного  корреляционно зависят от возраста (и, разумеется, пола): чем выше возраст, тем в среднем больше расходы. Формулы полученные для постоянных страховых аннуитетов оказываются  в данном случае непригодными.

     Определим стоимость аннуитета, состоящего из последовательных затрат на медицинские  услуги. Сначала найдем современную  стоимость одног платеже в  размере , произведенного через n лет после достижения возраста x лет. Получим

   , где

   - вероятность для лица в  возрасте x лет дожить до возласта x+n лет;

   - годовые затраты на медицинские  услуги в возрасте x+n лет; 

   - дисконтный множитель по  сложной ставке i.

     Современная стоимость немедленного пожизненного потока подобного рода платежей пренумерандо в этом случае составит

   ,

     где - предельный возраст, учитываемый в таблице смертности или выбытия.

     После преобразований получим

   ,

     где - стандартная коммутационная функция.

     Содержание  величины зависит от вида медицинского страхования (поликлиническое или стационарное), его условий и, наконец, вида заболеваний¹.

     Способ  опрделения этой величины изменялся  со временем. На заре медицинского страхования  практиковалось так называемое страхование  на случай болезни. Этот вид страхования  представляет для нас интерес  не столько как этап в развитии актуарной науки, сколько как  отправной момент для создания современных  методов расчетов в долгосрочном медицинском страховании.

     В страховании на случай болезни под понималась продолжительность невыходов на работу по болезни за год, в днях или неделях² (по терминологии Б.Ф. Малешевского – «мера заболеваемости»). Значения показателей определяли на основе статистических данных. Каждый день или неделя невыходов условно оценивались в 1 руб. (иначе дисконтирование затрат лишалось экономического смысла). Так образом, фактически компенсировались не затраты на лечение, а скорее материальные потери застрахованного от невыходов на работу.

     В современной практик долгосрочного  медицинского страхования сохранен общий принцип расчетов, положенный в основе формулы (2), которая однако, модифицирована и уточнена в соответствии с рядом требований. Содержание  стало иным. В настоящее время означает величину годовых затрат на лечение в возрасте x лет. Круг охватываемых этим параметром услуг определяется условиями страхового контракта.

     Для того чтобы упростить расчеты  с помощью коммутационных функций, величину затрат представим как произведение

   , где

   - относительная величина затрат  на медицинские услуги;

   - базовая величина затрат.

     Параметр G характеризует средние годавые  затраты на медицинские услуги в  базовом возрасте. Эта величина в  отличие от относительных затрат в пенсионном страховании весьма динамична. Она, надо полагать, увеличивается со временем в связи с возрастанием сложности медицинских услуг, повышением их качества, технической оснащенности и т. д. Несомненно, существенное влияние оказывает и инфляция. В актуарных расчетах эта величина рассматривается как постоянный параметр, или разрабатывается какая-либо простая модель, характеризующая ее динамику во времени.

     Перепишем выражение (2), введя в него постоянный базовый уровень затрат и относительные  затраты:

   .

     Напомним  специальные коммутационные функции:

     Тогда современная стоимость потока выплат начиная с возраста точно x лет с учетом выхода из числа застрахованных составляет

  Факторы, определяющие стоимость  потока платежей

     Современная стоимость потока затрат на медицинские  услуги определяется рядом факторов. Кроме тех, которые влияют на стоимость  постоянного аннуитета, к ним относятся три новых фактора – шкала относительных величин затрат , базовый размер затрат G и вероятности прекращения страхования . Большое значение имеет и вид страхования (групповое или индивидуальное). Причем влияние новых факторов заметно проявляется на фоне воздействия факторов, определяющих постоянный аннуитет.

     Очевидно, что стоимость аннуитета увеличивается  при возрастании относительных  затрат. Влияние изменения базового размера затрат G аналогично, тогда  как повышение уровней вероятности  выхода из числа застрахованных сокращает  указанную стоимость. Зарубежный опыт показывает, что относительные затраты  и значения вероятностей прекращения  страхования у мужчин выше, чем  у женщин.

     При увеличении возраста стоимости потоков  возрастают. Это объясняется тем, что сокращается срок для дисконтирования  значительных затрат на медицинское  оббслуживание лиц старшего возраста и уменьшается влияние солидарности. Стоимости потоков для женщин любого возраста выше, чем для мужчин. Сдвиг моментов выплат вперед на полгода (расчет по средним значениям коммутационных функций) снижает стоимости потоков. Это связано не только с увеличением срока дисконтирования, но и с уменьшением числа застрахованных.

     Выше  предполагалось, что базовые затраты  на медицинские услуги не изменяются во времени. Такое допущение существенно  упрощает расчеты, но, увы, далеко от реальности. В связи со сказанным расчеты  с постоянной величиной базовых затрат можно рассматривать как основу для более глубокого анализа.

  Нетто-премии

     Рассмотрим три теоретически возможных варианта определения нетто-премии: единовременный взнос премии, пожизненные выплаты премии и, наконец, выплаты в течение ограниченного срока.

     Единовременный  взнос премии, очевидно, возможен для  любого срока медицинского страхования. Этот вариант в связи с его  высокой стоимостью не применяется  на практике, однако он необходим в  методических целях. Размер единовременной нетто-премии по определению равен стоимости соответствующей последовательности (потока выплат).

     Таким образом, факторы влияющие на стоимость  выплат, полностью определяют и размер самой премии.

     Перейдем  к обсуждению вопроса о последовательных пожизненных взносах. Основной для  долгосрочного медицинского страхования  является схема, согласно которой взносы и выплаты производятся параллельно  во времени. Напомним, что взносы представляют собой некоторую регулярную последовательность, а выплаты осуществляются лишь по мере возникновения страховых случаев. В силу принципа эквивалентности  обязательств участвующих сторон получим  следующее общее выражение, уравнивающее взносы и страховые выплаты при  немедленном пожизненном страховании:

   , где

   - годовая сумма нетто-премии;

   - стоимость годового пожизненого  аннуитета постнумерандо;

   - современная стоимость немедленных  пожизненных страховых выплат.

     Данная  формула конкретизируется в соответствии с условиями осуществления взносов  и методом определения современной  стоимости выплат. Возможны следующие  варианты взносов: пожизненные и  ограниченные во времени, пренумерандо и постнумерандо, ежегодные и m раз  в год, немедленные и отложенные. Период в течение которого производятся взносы, может быть равен сроку  страхования или меньше него.

     На  основе равенства, которое описывает  финансовую эквивалентность обязательств сторон, можно получить ряд вариантов  рабочих формул для расчета нетто-премий. В первую очередь рассмотрим наиболее распространенные случаи при условии, что вероятности остаться в числе застрахованных определяются по таблицам выбытия (групповое страхование)

     Начнем  с определения премии при групповом  пожизненном страховании. Предположим, что взносы производятся ежегодно пренумерандо, а выплаты – в возрасте x+0,5 года. Исходное равенство имеет вид  , окуда следует:

   .

     В свою очередь для индивидуального  страхования имеем 

     Если  взносы не годовые, а ежемесячные, то

     Аналогичным образом находятся формулы для  расчета нетто-премий и для других комбинаций условий взносов и  страховых выплат. При выводе формул применяются соотношения, полученные для стоимости страховых аннуитетов.

     С увеличением возраста начала страхования  размеры премии растут, достигая некоторого максимума. Их возрастание связано  с ускоренным повышением затрат на лечение. Максимум в зависимости  от условий страхования приходится на возраст 70-74 года (мужчины) и 68-70 лет (женщины). Уменьшение затрат после  точки макимума объясняется резким сокращением числа застрахованных (увеличение смертности сопровождается усиливающимся влиянием фактора  солидарности застрахованных) при постоянном уровне затрат на лечение в старшем  возрасте, как это было принято  при разработке соответствующих  таблиц.

     Во  всех рассмотренных вариантах рачета премии предусматривалось постоянство  базового уровня затрат, что, разумеется, удобно, но в значительной степени  не отвечает реальному положению  дел. Под влиянием множества причин он так или иначе повышается. Наиболее простым способом учета его роста  является непосредственное включение в выражение для размера относительных затрат ожидаемого темпа их роста, постоянного в течение всего срока страхования или в отдельные периоды.

     Неудобство  такого метода состоит в том, что  для каждого возраста заключения договора приходится применять свои коммутационные функции.

     Один  из возможных способов учета роста  базового уровня во времени заключается  в использовании в расчетах вместо одного, общего для всех лет страхования  показателя базовых затрат, прогнозируемого  ряда этих показателей.

     Пусть базовые затраты представляют собой  монотонно растущий ряд  и т.д. Это могут быть величины полученные по простой линейной или экспоненциальной модели, или результаты прогноза. Тогда современная стоимость потока затрат для застрахованных в возрасте 18 лет составит

   ,

  где - базовая величина затрат для начального возраста.

     В итоге для страхования в возрасте x лет получим формулу

   .

     Данную  формулу можно модифицировать с  помощью коммутационной функции  . В этом случае

     Как видим, использовать для упрощения  коммутационную функцию не удается.

     Применение  формулы или ее вариантов позволяет определить величину постоянного размера премии для всего срока страхования. Однако экономические условия изменяются весьма быстро, а иногда, как мы знаем из собственного опыта, и довольно неожиданно. В силу сказанного прогнозы уровня затрат на продолжительные сроки не имеют большой надежности, хотя как-то решают проблему.

     Без прогнозирования базовых затрат на первый взгляд можно обойтись, ежегодно определяя уровень премии с помощью  вышеуказанной формулы и в итоге получая монотонно растущий ряд премий. Однако нельзя упускать из виду, что уде в конце первого года страхования образуется некоторый резерв, так как в первое время премия заметно превышает затраты на лечение при любом начальном возрасте страховния. Применение данного метода приведет в итоге к существенному завышению размеров премий (нарушение принципа эквивалентности обязательств). Поэтому при последовательном их вычислении следует принимать во внимание уже накопленные резервы. Методика, основанная на таком подходе, рассматривается далее.

  Сравнительный анализ схем расчетов брутто-премий

     Перейдем к расчету брутто-премии. Напомним, что брутто-премия больше нетто-премии на величину нагрузки и вычисляется как

    или  где

   - годовая нетто-премия;

   -годовая брутто премия;

   - нагрузка в виде доли нетто-премии;

   - скидка с величины брутто-премии.

     В долгосрочном медицинском страховании  положение с нагрузкой более  сложное, чем в краткосрочном, так  как она должна компенсировать как  первичные, так и периодические  затраты страховой организации. К первичным относятся расходы  на различные предварительные медицинские  обследования, оформительские расходы  и т.д., к периодическим – систематическая  оплата других административных расходов. Оба элемента затрат имеют довольно большие размеры.

     Существующая  зарубежная практика предусматривает  следующий подход к формированию величины брутто-премии³:

    где

   - годовой размер нетто-премии;

   -относительная величина нагрузки (как правило сюда относят и  рисковую надбавку); -затраты, которые можно связать с брутто премией (административные расходы и прибыль);

   - постоянные периодические расходы,  которые нельзя связать с нетто-  или брутто-премией.

     Таким образом, предусматривается одновременный  учет прямых расходов, скидки с брутто-премии и надбавки к нетто-премии.

  В итоге получим

     Указанное определение брутто-премии применяется  в Швейцарии. В других странах  используются иные варианты приведенной  формулы. Например в Испании⁴ брутто-премию находят как

   ,

  где и - доли внутренних расходов и прибыли в величине брутто-премии.

     Несколько по-иному выглядит формула, применяемая  в Нидерландах⁵:

   ,

  где - коэффициент, учитывающий издержки на страхование;

   - комиссионные.

     В Германии и Австрии иногда используют метод расчета премии предложенный Цилльмером (Zillmer). Он позволяет искусственно и временно улучшить баланс страхового предприятия⁶. Согласно этому методу нетто-премию повышают на величину, равную члену некоторого постоянного аннуитета. Пусть современная стоимость этого аннуитета равна . Тогда нетто-премия по Цилльмеру для немедленного пожизненного страхования составит⁷

   .

     Величину  обычно понимают как часть брутто-премии, кратную числу учитываемых месяцев . Таким образом брутто-премия теперь определяется на основе следующего равенства:

   , где

   - годовая брутто-премия по  Цилльмеру.

  Определим размер нетто премии для 40-летнего  мужчины при следующих условиях: страхование немедленное, пожизненное, взносыежегодные пренумерандо

   _{, из таблиц находим  значения коммутационных  функций, а G принимаем равным 4500руб (получено как отношение стоимости оказанных медицинских услуг к численности населения в Москве в 2010году⁸)}  

  Для расчета брутто премий воспользуемся  вышеупомянутыми формулами и  сравним полученные результаты. Поскольку  в России отсутствует практика долгосрочного  медицинского страхования, воспользуемся  значениями параметров которые используются за границей (в частности использовались данные по Швейцарской страховой компании Zurich Financial Services⁹, и голландской Eureco Insurance)

  _{Целесообразность  применения той или  иной формулы в  Российской практике является предметом  более глубокого  анализа.}

  Заключение

     Долгосрочное  медицинское страхование отличается большой дифференциацией тарифов  вследствие различия затрат на разные виды лечения. Современная стоимость потока затрат на медицинские увеличивается при возрастании относительных затрат, базового уровня затрат и при увеличении возраста застрахованного. Примечательно что страхование женщин почти в полтора раза дороже, чем страхование мужчин.

     Как видим разные методы расчета брутто-премий дают различные результаты. Так наиболее выгодным для клиента является продукт расчитанный по формуле используемой в Нидерландах, в то время как брутто-премия по формуле используемой в Испании существенно больше. Естественно данные различия обусловлены различными условиями в странах: уровень и качество медицинского обслуживания, уровень цен, продолжительность жизни населения и многое другое. 

     Как и во всех развитых странах, в России со временем появится долгосрочное медицинское  страхование. Несомненно актуарные  расчеты в данном виде страхования  являются более сложными, по сравнению  с краткосрочным страхованием, поэтому  очень важно использовать зарубежный опыт, однако целесообразность применения той или иной формулы в Российской практике является предметом более глубокого исследования.