Алгебраические числа

Содержание. 

1. Введение 2
2. I. Краткий исторический очерк 3
3. II. Поле алгебраических чисел 4
4. 2.1. Понятие числового поля 4
5. 2.2. Алгебраическое число 5
6. 2.3. Поле алгебраических чисел 11
7. III. Рациональные приближения алгебраических чисел 14
8. 3.1 Теорема Лиувиля 14
9. 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля 16
10. Заключение 18

Введение. 

     Первоначальные  элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в  примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.

     Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее  время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.

     Если  рассматривать корни многочленов: f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

     Изучение  свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.

I. Краткий исторический очерк. 

     Огромное  значение в развитии теории чисел  имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

     Теория  алгебраических чисел была построена  в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.

     Вопросы аппроксимации алгебраических чисел  рациональными были существенно  продвинуты в начале века А. Туэ, а  затем в пятидесятых годах  в работах К. Рота.

     В последнее время все большее  внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.

     Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.

     К алгебраической теории чисел относятся  и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.

II. Поле алгебраических  чисел. 

   2.1 Понятие числового поля

     Естественный  и важный подход к выделению и  изучению тех или иных множеств чисел  связан с замкнутостью множеств чисел  относительно тех или иных действий. 

Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. 

     Пример:

1. N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. "a, bÎN => (a+b) ÎN.

В отношении умножения множество  N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:

5, 7 ÎN, но 5-7=-2 ÏN,

3, 2ÎN, но 3:2=1,5 ÏN

2. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
3. Множество чисел вида 2^к, кÎN, замкнуто относительно умножения и деления.

2к*2l=2k+l

2к:2l=2k-l

     В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.

      Рассмотрим один их классов, называемых полем. 

Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. 

     Последнее означает, что для любых a, b ÎM, должно иметь место a+b, a-b, a*b ÎM. Так же для любого aÎM и любого b¹0 из М, должно выполняться a:bÎM. 

     Пример:

     Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

1. поле всех рациональных чисел;
2. поле всех вещественных чисел;
3. поле всех комплексных чисел.

     Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

     Существует  бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 

   2.2 Определение алгебраического числа.

     Существуют  различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.

Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

     a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

     (a₀, a₁, … ,a_nÎZ; a_n¹0),

     т.е. выполняется:

     a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0 

     Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

     В определении алгебраического числа  можно допустить, чтобы коэффициенты a₀, a₁, … ,a_n-1, a_n были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

     К алгебраическим числам принадлежат, в  частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, qÎN) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.

     Также всякое значение корня любой степени  из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, qÎN) является корнем уравнения:

     qxⁿ-p=0.

     Существуют  и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.

      Пример:

1. Чиcло z= является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z²=2+2 +3. Отсюда z²-5= . Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z⁴-10z²+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:

                               x⁴-10x²+1=0

2. Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.

     , (p, q, ÎN).

     Из  равенства  , получаем: . Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:

все коэффициенты которого целые числа.

     В дальнейшем мы будем рассматривать  только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

     Из f(x)=0 следует f(z)j(x)=0, где в качестве j(x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. 

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.

      Если корень многочлена n-ой степени  с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей  чем n, то z не может быть корнем и  тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n.

     Рациональные  числа являются алгебраическими  числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой  алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями. 

     Пример:

1. - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=xⁿ+b₁x^n-1+ … +b_n (n³1)  (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z.

     Таким образом, минимальным многочленом  для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.

     Если  вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. 

     Пример:

1. Минимальным многочленом для является x³-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.

Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами. 

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде:

                    F(x)=f(x)g(x)+r(x)

где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана. 

Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

     Доказательство:

Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)=w(x)j(x), w(x)j(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.

     Из  равенства w(x)j(x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел w(x) и j(x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например w(x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена w(x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана. 

Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n.

Доказательство:

Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными  коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где  c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана. 

     Пример:

     Пусть p – простое число.

       при любом простом целом  a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена.

     x^p-a=0

     Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен  для z, то все корни z₁, z₂, … z_n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z.

     Один  из корней совпадает с z, будем ставить  его на первое место, т.е. z=z₁. 

   2.3. Поле алгебраических  чисел

Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b¹0) являются алгебраическими числами.

Доказательство:

1. Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a₁, a₂, … ,a_n, a и b - корень многочлена j(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b₁, b₂, … b_m (b=b₁). Рассмотрим многочлен:

          F(x)= (x-(a_i+b_i))=

          = (x-a₁-b₁) (x-a₁-b₂) … (x-a₁-b_m)

                (x-a₂-b₁) (x-a₂-b₂) … (x-a₂-b_m)

          - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

                (x-a_n-b₁) (x-a_n-b₂) … (x-a_n-b_m) (2)

     Если  в этом произведении сделать какую  угодно подстановку величин a₁, a₂, … ,a_n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b₁, b₂, … b_m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m.

     Согласно  известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a+b=a₁+b₁, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2. Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

          F(x)= (x-a_ib_i) (3)

     Этот  многочлен имеет в качестве одного из своих корней a₁b₁=ab.

3. Пусть b - корень многочлена j(x)=b₀xⁿ+ b₁x^n-1+ … b_n, (b_i – целые числа). Тогда -b является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

     j(-x)=(-1)ⁿb₀xⁿ+(-1)^n-1b₁x^n-1+ … bⁿ, а при b¹0 корень многочлена xⁿj( )=b₀+b₁x+ … b_nxⁿ. Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются -b и .

     Разность  может быть представлена в виде a+(-b), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b¹0 частное , являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

     Если  степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j(x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и ab алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j(x), j(-x), и xⁿ одинаковой степени, а, следовательно, b, -b, - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и a-b и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана. 

     Пример:

     1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если a= , то a²=5+ , 2⁴-10a²+1=0, т.е. a корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x- )(x- )(x+ )(x+ ) (4)

     Из  теоремы единственности над полем  рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени.

     2) a= и b= , как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ab= - алгебраическое число 3-й степени.

III. Рациональные приближения

алгебраических  чисел. 

     3.1. Теорема Лиувилля.

     Алгебраические  числа не могут иметь слишком  хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического  числа рациональной дробью не может  быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.

     Для алгебраического числа 1-й степени  существует постоянная c>0, такая, что  для любой рациональной дроби  , отличной от a, будет выполняться неравенство:

                           (5)

     Для алгебраического числа 2-й степени  можно подобрать c>0, такое, что для  любой рациональной дроби, будет  иметь место неравенство:

                           (6)

     В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема: 

Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа a степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от a, такое, что для всех рациональных чисел ( ¹a) будет иметь место неравенство: