Алгебраические системи

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………......2

РОЗДІЛ 1. АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ……………………………..4

1. Основні поняття алгебраїчних систем………………………...4
2. Групоїди,півгрупи,моноїди,групи………………………………………5
3. Означення і найпростіші властивості кілець і полів……….10

РОЗДІЛ 2.УПОРЯДКОВАНІ АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ…….. 14

2.1 Упорядковані півгрупи і групи………………………………14

2.2 Упорядковані півкільця,кільця,тіла і поля…………………16

2.3 Дискретність і щільність  лінійно упорядкованих кілець……21

ВИСНОВОК……………………………………………………….24

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Актуальність дослідження. Поняття упорядковані алгебраїчні системи має велике методичне і загальноосвітнє значення.

Розв'язування задач, в яких застосовуються поняття упорядкованих алгебраїчних систем, змушують перебирати в пам'яті всі відомі теореми і аксіоми з метою відбору і застосування найбільш придатної з них.

Об'єкт дослідження. Розділ алгебри – алгебра і її застосування на практиці.

Предметом дослідження є  упорядковані алгебраїчні системи.

Метою дослідження є теоретичне та практичне застосування поняття  упорядковані алгебраїчні системи та основні факти упорядкованих півгруп,груп,півкілець,кілець і полів.

Відповідно до поставленої  мети нам необхідно вирішити наступні завдання:

1. Дослідити наукову та  методичну літературу з обраної  теми курсової роботи.

2.Основні поняття алгебраїчних систем.

3.Формулювати означення та наводити приклади упорядкованих алгебраїчних систем,зокрема кілець і полів з архімедівським і неархімедівським порядком.

4.Означення та основні  факти упорядкованих півгруп,груп,півкілець,кілець і полів.

Теоретичне та практичне  значення. Матеріали даної курсової роботи можна використовувати у процесі викладання різних навчальних закладів.

 

   

 

 

РОЗДІЛ1.

АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ.

 

1.1Основні поняття алгебраїчних  систем.

Означення. Упорядкована множина

                                         (1)

називається алгебраїчною системою.

При цьому множина А  називається множиною-носієм алгебраїчної системи,а упорядкований набір (- сигнатурою алгебраїчної системи.

Запис (1) алгебраїчної системи * долі дещо спрощується до такого:  *=(А;                                            (2)

Зауваження. У багатьох випадках при записах алгебраїчних систем виділені елементи множини-носія системи  вказується окремо і тоді запис системи  в загальному випадку має вигляд:

*=(А;,       (3)            де- виділені елементи.

Якщо алгебраїчна система * не має відношень,крім тих,що є алгебраїчними операціями (в (2) m=0),то вона називається алгеброю,а якщо не має алгебраїчних операцій,то називається моделлю.

Зауваження. У сучасній математиці розглядаються і такі системи,що мають нескінченну кількість  елементів у множині,що є об’єднанням  множин алгебраїчних операцій і відношень  системи.

Такі алгебраїчні системи називаються алгебраїчними системами нескінченної сигнатури.

Означення. Дві алгебраїчні системи

*=(А;                                               (4)

=(;                                          (5)

називаються однотипними.

Отже,однотипні алгебраїчні  системи мають однакову кількість  алгебраїчних операцій і відношень,причому  відповідні операції і відношення мають  однакову парність.

Приклад. Алгебраїчні системи (N;+;>;1) і (Z;+;<;0)- однотипні,а системи (N;+;,(Z;+;<) не є однотипними (різнотипні).

Означення. Дві однотипні алгебраїчні системи * і   називаються ізоморфними,якщо існує взаємно однозначне відображення множини А на множину при якому виконуються умови:

1)     (6)

2)[((](7)

При цьому відображення називається ізоморфним або ізоморфізмом * і .

Однозначне відношення алгебраїчної системи * на алгебраїчну систему яке задовольняє умови (6) і (7) називається гомоморфізмом системи * на систему ,а самі системи при цьому називається гомоморфними.

Записи * і *≃ означають відповідно ізоморфізм та гомоморфізм алгебраїчних систем * і .

1.2 Групоїди,півгрупи,моноїди,групи.

Нехай G- деяка не порожня множина,на якій задана бінарна алгебраїчна операція «*».

Означення. Множина G,на якій задано бінарна алгебраїчна операція «*» називається гру поїдом.

Цей групо їд позначається (G;*).

Наприклад,(N;+)- групоїд натуральних чисел відносно додавання.

Означення. Групоїд (G;*) називається півгрупою,якщо операція «*» асоціативна:

 

Прикладами асоціативних групоїдів є групоїди (N;+),(N;,(Z;+). Отже,ці групоїди є півгрупами.

Приклад. Довести,що групоїд (R;*),де a*b=a+b-ab для довільних дійсних чисел,є півгрупою.

Розв’язання. Треба довести  рівність для довільних дійсних чисел За означенням операції «*» маємо:

a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc

(a*b)*c=(a+b-ab)*c=a+b-ab+c-(a+b-ab)=a+b+c-ab-ac-bc+abc

Отже, і (R;*)- півгрупа.

Зауваження. Наявність асоціативного  закону у півгрупі говорить про те,що дужки при виконанні операцій можна розставляти довільно або ж опускати їх зовсім і операцію виконувати послідовно,рухаючись у виразі зліва на право.

 Означення. Елемент е групоїда називається нейтральним,якщо він задовольняє умову: .

Якщо у групоїді операція «*» є додавання,то нейтральний елемент е називають нульовим елементом,а якщо операція «*» є множення - то е називають одиничним елементом.

Означення. Півгрупа (G;*) з нейтральним елементом називається коноїдом.

Приклад. Довести,що (Z;*) є коноїдом,якщо a*b=a+b-3 для довільних цілих чисел a і b.

Розв’язання. Безпосередньо  з означення випливає,що2*» є  бінарною алгебраїчною операцією на Z,причому асоціативною. Справді, (a*b)*c= (a+b-3)*c= a+b-3+c-3=a+(b+c-3)-3= a*(b*c).

Знайдемо нейтральний  елемент. Маємо .

Звідси - нейтральний елемент. Отже, (Z;*)-моноїд.

Теорема. Якщо групоїд (G;*) містить нейтральний елемент,то він лише один.

Доведення. Нехай - два нейтральні елементи групоїда (G;*). Тоді і теорему доведено.

Означення. Моноїд (G;*) з нейтральним елементом елементи якого задовольняють умову називається групою.

Елемент х,про який йдеться в означенні,називається симетричним до елемента а. При додаванні його називають протилежним,а при множенні-оберненим елементом до елемента а і позначають відповідно –а та а^-1.

Таким чином,аналізуючи наведені вище означення,можна дати означення  групи без використання понять групоїда,півгрупи і моноїда,що найчастіше і роблять в алгебрі.

Означення. Алгебраїчна система (G;*) називається групою,якщо:

1)

2)

3)

4)

Якщо крім аксіом 1)-4) виконується  аксіома

5)то група називається комутативною або абелевою.

Звертаємо увагу на запис  пункту 1). В ньому вираз читається так: «існує єдиний елемент множини ».

Якщо множина  нескінченна,то група (G;*) називається нескінченною;якщо множина G скінченна,то група (G;*) називається скінченною. Число елементів групи називається її порядком і позначається . Запис = означає,що група нескінченна,а запис означає,що група скінченна.

Зауваження. Якщо за текстом  зрозуміло,яка операція розглядається  у групі (G;*),то знак «*» опускається і говорять просто:група G.

Теорема. У групі (G;*) кожний елемент має лише один симетричний елемент.

Доведення. Нехай a*x₁=x₁*a=e і a*x₂=x₂*a=e.Тоді

x₁=x₁*e=x₁*(a*x₂)= (x₁*a)*x₂ =e*x₂= x₂.

Теорему доведено.

Означення. Алгебраїчна система (G;*) називається групою,якщо:

1)

2)

3) )

Групи з операцією додавання  називається адитивними,а з операцією  множення-мультиплікативними.

Добуток n елементів групи,кожен з яких дорівнює елементу а,називається n –м степенем елемента а і позначається аⁿ. Для нуля та цілих від’ємних чисел а⁰=е, аⁿ=( а^-n)^-1. При цьому очевидно,що

а^m аⁿ=a^m+n, (a^m)ⁿ=a^mn.

 Якщо a^k=e для деякого числа k,то виберемо серед усіх натуральних чисел з цією умовою найменше і позначимо його n. Тоді число n називається порядком елемента а і позначається . Якщо a^ke для будь-якого натурального числа k,то а називається елементом нескінченого порядку. При цьому записується .

Якщо порядки всіх елементів  групи скінченні,то група називається  періодичною. Якщо порядки всіх неодиничних  елементів групи скінченні,то група  називається групою без скруту. Група  називається мішаною,якщо вона містить  неодиничні елементи як скінченного  так і нескінченного порядків.

Приклад1.Алгебраїчні системи (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+) є нескінченними абелевими групами без скруту.

Приклад2. Алгебраїчні системи  (Q\{0},),(R\{0},),(C\{0},) є нескінченними мішаними абелевими групами.

Елементом порядку 2 в кожній з цих груп є число -1,бо (-1)²=1. Прикладом елемента нескінченного порядку в кожній з цих груп є число 0,3 бо (0,3)ⁿ≠1 для будь-якого числа n.

Алгебраїчна система (Z\{0},)- моноїд,але не група,бо якщо

Означення. Підмножина Н групи G називається підгрупою цієї групи,якщо Н є групою відносно операції,яка визначена в групі G.

Запис H<G означає,що Н- підгрупа групи G.

Теорема.(Критерій підгрупи). Підмножина Н мультиплікативної групи G тоді і тільки тоді є її підгрупою,коли Н замкнена відносно множення та взяття обернених елементів.

Доведення. Необхідність умов теореми очевидна. Доведемо їх достатність. Якщо Н містить добутки своїх  елементів та їх обернені елементи,то одиничний елемент е=а*а^-1,де а^{. Асоціативний закон для елементів множини Н виконується,бо Н- підмножина групи} G. Теорему доведено.

У випадку,коли група адитивна,критерієм  підгрупи буде замкненість підмножини відносно додавання та взяття протилежних  елементів.

У будь-якій групі G її підгрупами є сама група G та підмножина,що містить лише один нейтральний елемент. Всі інші підгрупи групи G,якщо вони існують,називаються нетривіальними підгрупами групи G. Нетривіальна або одинична підгрупа називається власною підгрупою.

Приклад підгрупи. Z<Q<R<C (операція «+»). Нехай m N,mZ=. Тоді mZ<Z (операція «+»).

Приклад. Нехай G- довільна мультиплікативна група. Візьмемо будь-який її елемент g і позначимо <g> множину всіх цілих степенів цього елемента,тобто <g>=.

Ця множина утворює  підгрупу. Її прийнято називати циклічною підгрупою,породженою елемента g. Не виключена можливістю того,що G=<g>.Тоді приходимо до такого означення.

Означення. Група G (мультиплікативна) називається циклічною групою,породженою елементом g,якщо будь-який елемент групи є цілим степенем елемента g. При цьому елемент g називають твірним елементом і записують G=<g>.

Будь-яка  циклічна група є абелевою,але не кожна абелева група є циклічною. Наприклад,(R\{0},- абелева група,але не циклічна.

1.3 Означення і найпростіші властивості кілець і полів.

Нехай К- деяка не порожня множина,на якій задано дві бінарні алгебраїчні операції:додавання «+» і множення «».

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається півкільцем,якщо:

1. півгрупою півкільця (К;+;);
2. (К;+-абелева підгрупа (вона називається адитивною (К;- групоїд;

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається кільцем,якщо:

 1)(К;+-абелева група (вона називається адитивною групою кільця (К;+;);

2) (К;- групоїд;

 3).

В застосуваннях теорії кілець досить часто розглядається кільця,в  яких аксіома 2) замінюється однією з більш сильних насткпних умов:

4)(К;-півгрупа;

5) (К;-комутативний групоїд;

6) (К;-комутативна підгрупа;

7) (К;-моноїд з одиницею е.

8) (К;-комутативний моноїд з одиницею е.

В цих випадках матимемо відповідно означення асоціативного  кільця,комутативного кільця,асоціативного  і комутативного кільця,кільця з  одиницею,асоціативного і комутативного  кільця з одиницею.

З аксіоми 1) означення кільця випливає,що будь-яке кільце має  нульовий елемент (його позначаємо 0).

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається тілом,якщо:

1. (К;+;-кільце;
2. K\{0}(K\{0};- група.

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається полем,якщо:

1)(К;+;-кільце;

2)K\{0}(K\{0};- комутативна група.

Таким чином,поле-це комутативне  тіло.

Зауваження. 1)Якщо за текстом  зрозуміло,які операції розглядаються  в кільці  (К;+;,то знак операції опускається і говорять просто: кільце К.

2)Якщо (-b)- протилежний елемент до елемента b кільця К,то замість a+(-b) пишуть a-b.

Виходячи з означення  кільця,легко доводиться наступна теорема.

Теорема. Для-будь-якого кільця К і будь-яких елементів a,b,c мають місце властивості:

1)у кільці лише один  нульовий елемент;

2)кожний елемент кільця  має лише один протилежний  елемент;

3)0*a=a*0=0;

4)a(-b)=(-a)b=-ab;

5)(a-b)c=ac-bc˄c(a-b)=ca-cb.

Доведення. Властивості 1),2) випливають з того,що кільце є адитивною  групою.

3). Справді,враховуючи дистрибутивний  закон та властивості нуля,маємо  0*a=a(0+0)=0*а+0*а

Додамо до обох частин рівності -0*а і одержимо 0=0*а. Аналогічно доводиться рівність а*0=0.

4). З рівності ab+a(-b)=a(b+ (-b))=а*0=0 одержуємо a(-b)=-ab. Аналогічно одержуємо (-a)b=-ab.

5). Враховуючи 2) і означення різниці a-b маємо

(a-b)c=(a+(-b)c)=ac+(-b)c=ac+(-bc)=ac-bc.

Аналогічно одержуємо  рівність  c(a-b)=ca-cb. Теорему доведено.

Означення. Елементи a, b кільця К називається дільниками нуля,якщо a≠0,b≠0, але ab=0.При цьому кільце К називається кільцями з дільниками нуля.

Приклад. Будь-яке тіло Т (в тому число і поле) є областю цілісності.Справді,нехай a,bT,a Одержимо b=0,що суперечить умові. Отже,ab≠0 і твердження доведено.

Означення. Підмножина Н кільця К називається підкільцем кільця К,якщо вона є кільцем відносно операції,заданих у К.

Аналогічно означаються  підтіла і підполя.

З цього означення випливає,що підкільце кільця К є підгрупою його адитивної групи і підгрупоїдом його мультиплікативного групоїда. Зрозуміло також,що коли F-підкільце Н,а Н-підкільце К,то F-підкільце К.

Теорема(Критерій підкільця). Непорожня підмножина Н кільця К тоді і тільки тоді є його підкільцем,коли

.

Доведення. Необхідність умов теореми очевидна. Доведемо їх достатність. Для будь-яких елементів за умовою а-а=0,

0-а=-а ,а+b=(a-(-b)) .Закони додавання і множення,що виконується в к,матиме місце і для елементів з Н. Отже,Н є підкільцем кільця К. Теорему доведено.

Приклади підкілець є:

1)кільце mZ цілих чисел,кратних натуральному числу m-підкільце кільця цілих чисел Z. В свою чергу Z- підкільце кільця Z[],а останнє – підкільце поля Q[]. Поле Q є підполем поля R,а R – підполе C.

2)кільце функцій,неперервних  на відрізку [0,1], є підкільцем кільця функцій,неперервних на відрізку [a,b] ,де a

3)кільце квадратних матриць  порядку n з цілими елементами є підкільцем кільця матриць такого порядку з раціональними елементами,яке в свою чергу,є підкільцем кільця матриць n-го порядку з дійсними елементами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ2

Упорядковані  алгебраїчні системи.

 

 

Упорядкована алгебраїчна  система є складним математичним об’єктом,який одночасно наділений алгебраїчною структурою(півгрупи,групи,півкільця,кільця,поля тощо) і структурою упорядкованої множини,які між собою певним чином узгоджуються.

Витоки упорядкованих  алгебраїчних систем лежать в геометрії,алгебрі  та функціональному аналізі. Поняття  упорядкованої групи вперше виникло  в кінці 19-го століття у зв’язку  з питанням обґрунтування математики і,в першу чергу,при побудові аксіоматичної  теорії дійсних чисел у роботах  Р.Дедекінда.

У процесі розвитку абстрактної  теорії упорядкованих алгебраїчних систем було відкрито той факт,що існування  відношення порядку (особливо лінійного) в тій чи іншій алгебраїчній системі,узгодженого  з її алгебраїчними операціями,пов’язане  з чисто алгебраїчними властивостями  цієї системи. Це буде ілюструватися  уже в цьому розділі.

2.1Упорядковані півгрупи і групи.

Означення1.Алгебраїчна система ( називається упорядкованою півгрупою,якщо виконуються наступні умови(аксіоми):

1.-півгрупа;

2.-упорядкована множина;

3.-аксіома монотонності відношення «≻» відносно операції «*».

Якщо замість пункту 1 в означенні1 виконуються умова (аксіома)

1. -група,то система називається упорядкованою групою.

Якщо відношення «≻» є відношенням часткового (лінійного) порядку,то система відносно називається частково (лінійно) упорядкованою групою чи півгрупою.

Приклад.1)(N;+;>) строго лінійно упорядкована півгрупа;

2)( N;-нестрого лінійно упорядкована півгрупа;

3)(-строго лінійно упорядкована група;

4)система ({0,1};.;≻),де 00=0 є лінійно упорядкованою півгрупою. При цьому відношення порядку «≻» не є ні строгим ні нестрогим;

5)(N;-частково і не строго упорядкована півгрупа.

Означення2.Нехай -упорядкована півгрупа.Елемент g називають додатним (від’ємним),якщо ggg і gg≻g (відповідно

g≻ gg).

Теорема1. Нехай -лінійно і строго упорядкована півгрупа і нехай елемент g задовольняє умову ggg. Тоді елементи g,2g= =gg,3g= ggg,… всі різні і тому півгрупа нескінченна.

Доведення. Оскільки за умовою півгрупа є лінійно і строго упорядкована і g2g= gg,то або 2g≻g або g≻2g. Дослідимо перший випадок (другий випадок розглядається аналогічно). За аксіомою монотонності з умови 2g≻g випливає 2g*g≻g*g,тобто 3g≻2g≻g. Застосовуючи далі інструкцію по n легко одержуємо,що (n+1)g≻g для .

Далі інструкцією по k при довільному фіксованому m встановлюється істинність твердження .

Звідси для довільних  чисел m,n N з умови nm випливає,що ng≻mg. А оскільки G –строго і лінійно упорядкована  півгрупа,то з умови ng≻mg випливає ngmg.

Отже,якщо nm,то ngmg і півгрупа G містить нескінченну кількість елементів виду ng,де nі тому є нескінченною. Теорему доведено.

Наслідок. Лінійно і строго упорядкована група нескінченна.

Теорема2.Нехай -лінійно і строго упорядкована група з нейтральним елементом e. Елемент a додатний тоді і тільки тоді,коли .

Доведення. Нехай . Тоді за аксіомою монотонності

. З умови  випливає,що . Тоді з лінійності порядку має місце одна з двох умов: або . Якщо то ,що неможливо. Отже,і теорему доведено.

2.2Упорядковані півкільця,кільця,тіла  і поля.

Означення. Алгебраїчна система (K;+;>) називається упорядкованим півкільцем,якщо виконуються наступні умови(аксіоми):

1. (K;+;)-півкільце;
2. (K;>)- упорядкована множина;

В аксіомі 4)- не порожня множина додатних елементів. Нагадаємо,що елемент с додатний,якщо с+с ≠ с˄с+с

Упорядковане півкільце (K;+;>) називається упорядкованим кільцем (тілом,полем),якщо алгебра (K;+;) є кільцем (відповідно тілом,полем).

Означення. Нехай К=(K;+;>)- упорядковане півкільце (кільце,тіло,поле). Відношення «>» системи К називається архімедовим  порядком,а система К-архімедівськи упорядкованим півкільцем (кільцем,тілом,полем),якщо виконується умова (аксіома Архімеда):

                                          (1)

Якщо виконується заперечення  умови (1),тобто:

                                            (2)

то порядок називається  неархімедовим,а система К-неархімедівськи упорядкованою системою.

Приклад.

1)( N;+;>)- лінійно,строго і архімедівськи упорядковане півкільце;

2)Розглянемо кільце (Q[x];+; многочленівнад полем раціональних чисел. Введемо в ньому відношення порядку «≻» наступним образом: для двох многочленів

f(x)=,

g(x)=

вважаємо,що  f(x)≻g(x)

Легко перевірити,що відношення «≻» є відношенням строгого лінійного порядку на множині Q[x],яке є монотонним відносно операцій додавання і множення многочленів. Отже, (Q[x];+;- лінійно і строго упорядковане кільце. Проте аксіома Архімеда для нього не виконується. Наприклад,для двох многочленів f(x)=x²≻0 і g(x)=x+1≻0 і для будь-якого числа n маємо x²≻n(x+1);

3)система (Q[x];+;,де (Q[x];+;- поле раціональних дробів, а відношення «≻» задане так:   є неархімедівськи лінійно упорядкованим полем.

Далі розглянемо лише лінійно  упорядковані алгебри з двома  алгебраїчними операціями.

Теорема3. Нехай (K;+;>)- лінійно і строго упорядковане кільце. Тоді:

1)

2)

3)

Доведення. За аксіомою монотонності з умов випливає,що . Звідси за транзитивністю .

Далі при b=d=0,a>0 і c>0 одержимо,що a+c>0.

За аксіомою 4 означення  маємо: b=0: a>0 c>0⇒ ac>0˄ ca>0.

Нехай a>b. За аксіомою 3 означення маємо: a+(-b)>b+(-b),тобто a-b>0. Навпаки,якщо a-b>0,то (a-b)+b>0+b,a>b і теорему доведено.

Теорема4.(Критерій строгої і лінійної упорядкованості кільця).

Кільце К тоді і тільки тоді є строго лінійно упорядкованим  кільцем,коли для його елементів  означена властивість «бути додатним елементом»,яка задовольняє наступні умови:

1);

2)

3)

Доведення. Нехай (K;+;>)- лінійно і строго упорядковане кільце. Тоді виконання умови 10 критерію випливає зі зв’язності відношення «» та аксіоми №0 означення,а виконання умов 2) і 3) доведено в теоремі 4.

Навпаки,нехай виконується  умови 1)-3) теореми. Покажемо,що кільце К строго і лінійно упорядковане.

Для будь-яких елементів а,b

a-b>0∨ a-b=0 ∨ -a+b>0

Звідси за властивостями  кільця і умовою 3) a>b ∨ a=b∨ b>a.

Отже,відношення «>» є зв’язним.

Нехай a>bі b>c. Тоді a-b>0, b-c>0 і (a-b)+(b-c)=a-c>0 за умовою 2). Отже,відношення «>» є транзитивним.

Монотонність відношення «>» відносно операцій додавання і множення доводиться так:

a>b⇒ a-b>0⇒a-b=(a+c)-(b+c)>0⇒a+c>b+c;

(a>b˄c>0)⇒(a-b>0 ˄c>0)⇒ac-bc>0⇒ac>bc/

Антирефлексивність  і асиметричність відношення «>» випливає з того,що нуль кільця не може бути додатним елементом за означенням. Теорему доведено.

Зауваження. Множину додатних елементів кільця К позначають і називають додатною частиною кільця. Якщо така частина в кільці існує,то кільце можна лінійно і строго упорядкувати,якщо її немає,то не можна. Якщо таких додатних частин декілька,то і лінійний порядок можна ввести в кільці відповідним числом різних способів.

Теорема5.(Критерій однозначності строгого лінійного  порядку).

Нехай (K;+;0)- кільце,яке можна лінійно і строго упорядкувати хоча б одним способом і нехай - додатні частини двох порядків. Тоді ⬄

Доведення. Нехай  і Тоді і тому або і ,або і . У другому випадку і і тоді і ,що неможливо за означенням додатного елемента. Отже, і і тому і .

Якщо ,то очевидно,що . Теорему доведено.

У лінійно упорядкованих  кільцях можна розглядати модуль або абсолютне значення елемента за таким означенням.

Означення. (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце і a– довільний елемент К. Модулем (абсолютним значенням) елемента  a називається max {a,-a} і позначається .

Отже,= a,якщо a>- a і =- a, якщо - a> a. Але a>- a⬄a>0 і

-a>a⬄0>a. Тому

 

Приклад. В кільці (Q[x];+;,візьмемо f(x)=3x²-5x+6,

g(x)=-5x³+7x-8. Тоді f(x)≻0,g(x)≺0 і тому

 ,

Теорема6. Нехай (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце і a,b– довільні елементи К. Тоді:

2. a≠0;
3. ;

 Теорема7. У лінійно упорядкованому кільці немає дільників нуля.

Доведення. Нехай (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце для деяких його елементів a та виконуються умова a≠0 і b≠0