МИНИСТЕРСТВО  ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ  ВПО

“НОВОСИБИРСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО  ТРАНСПОРТА” 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра информационных систем

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине “Математические модели данных, сигналов и систем”

 
 

Анализ  дискретной линейной системы во временной

  и частотной областях 
 
 
 
 
 

 
 

                                       
 
 
 
 

Новосибирск, 2009 

Курсовая  работа содержит  стр., рис.,  табл. 

Ключевые  слова: математическая модель, дискретная линейная система,

                              импульсная характеристика, переходная характеристика,

                              сигнал, системная функция, полюса системной функции,

                              амплитудо-частотная характеристика системы, фазо- 

                              частотная характеристика системы. 

Цель  работы – ознакомление с системными функциями линейных систем. 

                          Приобретение практических навыков  анализа дискретной 

                          линейной системы.

Задачи  – исследовать дискретную линейную систему, построить графики

               импульсной и переходной характеристик, АЧХ и ФЧХ системы,

                оценить устойчивость системы.

Методы  исследования – метод решения разностного уравнения для разных

                                            входных воздействий, метод преобразования

                                            разностного уравнения из временной области в Z-

                                            область, метод преобразования системной функции

                                            из Z-области в частотную.

Основные  результаты – в результате работы нашел импульсную и

                                         переходную характеристики системы,  системную 

                                         функцию, построил графики АЧХ  и ФЧХ системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 
 

                                                                                                                           

1. Введение………………………………………………………….…………….3 

2. Обзорная  часть………………………………………………………………...4                                                         

3. Основная  часть………………………………………………………………...7 

4. Заключение…………………………………………………………………...13 

5. Литература……………………………………………………………………14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Цель  работы: ознакомление с системными функциями линейных систем. Приобретение практических навыков анализа дискретной линейной системы.

 

Таблица – Значения коэффициентов системы 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок – Схема системы 

    Настоящая работа посвящена ознакомлению  с системными функциями линейных  систем, импульсными и переходными  характеристиками. Также большое внимание уделяется рассмотрению линейной системы в частотной области, где имеют место такие зависимости как АЧХ и ФЧХ системы. Кроме того, в работе проводится оценка устойчивости системы по значениям полюсов системной функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Обзорная  часть 

Системные функции 

     Поведение линейной динамической системы можно  описать во временной области, частотной или в области комплексной переменной. При этом связь выходного и входного сигналов наиболее наглядно описывается  с помощью соответствующих системных функций. При нулевых начальных условиях во временной области связь выходного и входного сигналов  выражается с помощью интеграла свертки  

               .  

     Импульсная  переходная  (весовая) характеристика w(t) линейной системы представляет  её реакцию на  входной сигнал в виде δ- функции.  Для физически осуществимой системы её реакция не может наступить раньше входного воздействия в виде δ(t), приложенного в момент t = 0. Следовательно, для реальных систем w(t)=0 для t<0 и, значит, w(t-τ) для t<τ. Для реальных систем интеграл свертки имеет вид

    .     
Предыдущее выражение интеграла свертки является более общим.

      Кроме импульсной переходной характеристики во временной области используется  также переходная характеристика системы g(t). Она представляет собой реакцию линейной системы на входной сигнал в виде единичной функции

 

            

     Так как дельта-функция может рассматриваться  как производная от единичной, то переходная и весовая функция связаны соотношением

 

        .     

     Из  этого выражения следует, что  время нарастания переходной характеристики определяется длительностью весовой функции системы.

     Отношение преобразований Лапласа выходного  и входного сигналов может быть представлено в виде

 

.   

     Системная функция  W(p)  комплексной переменой p  называется передаточной функцией системы. Она является преобразованием Лапласа импульсной переходной характеристики системы.

     Если  в выражение для W(p) в качестве аргумента подставить  p=iω, то получим системную функцию в частотной области

 

                   . 

     Поскольку для реальной системы весовая  функция  w(t) = 0  при t<0  (условие физической осуществимости или каузальности), то нижний предел интегрирования можно увеличить до  -∞, поэтому

       .    

 

     Системная функция  W(ω)  называется  амплитудно-фазовой частотной (АЧХ), или просто частотной характеристикой системы. Её называют также комплексным коэффициентом передачи. Она представляет собой преобразование Фурье от импульсной переходной характеристики системы. Входной сигнал  exp(iωt) после окончания (затухания) переходных процессов вызывает реакцию системы в виде W(ω)exp(iωt).

     Вместе  с тем из приведенных выше рассуждений  следует, что частотная характеристика системы есть значение передаточной функции на мнимой оси.

     Модуль  комплексного числа

              

                  
является амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении его через систему.

     Аргумент  комплексного числа

         

 

представляет  фазово-частотную характеристику (ФЧХ) системы, показывающую изменение фазы гармоники на выходе системы.

     Амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной системы могут быть измерены путём подачи на вход гармонического сигнала и регистрации входного и выходного сигналов в установившемся режиме. Такие измерения на практике весьма распространены.

     Поскольку импульсная переходная и частотная  характеристики системы связаны преобразованием Фурье, то на них распространяется действие принципа неопределенности теории сигналов. В соответствии с этим принципом, чем больше длительность импульсной характеристики  (или время нарастания переходной характеристики ), тем уже полоса пропускания системы и наоборот. При этом полоса пропускания системы определяется как интервал частот, в котором коэффициент передачи (значение АЧХ) отличается от максимального значения не более, чем на заданную величину, равную, например, 0,707 (3 дБ) от максимума

 

Полюса  и нули системной функции

 

     Как уже показано выше, передаточная функция  линейной системы имеет вид отношения  двух многочленов, т.е.

 . 

     В соответствии с основной теоремой алгебры  любой многочлен степени  n может быть представлен единственным образом в виде произведения постоянной и n  линейных множителей, а именно

 

     Корню  p_k  кратности m_k  соответствует m_k  множителей  (p-p_k).  Каждая пара комплексно сопряженных множителей  [ p - (α _k + i β_k )] и [ p - (α _k - i β_k )]  может быть объединена в действительный квадратичный множитель  [ (p - α _k )² + β_k² )].

     Таким образом, в результате факторизации многочленов функция W(p) может быть записана в виде

                . 

     В такой форме  W(p)  полностью определена с точностью до константы  K  корнями многочленов числителя и знаменателя. Корни многочлена – числителя p_zi  являются нулями  W(p), корни знаменателя p_pj  - полюсами. Такое представление W(p)  называют  полюсно - нулевым представлением.

     Коэффициенты  дифференциального уравнения реальной системы являются действительными числами, поэтому полюсы и нули в комплексной плоскости переменной  p=σ+iω  располагаются либо на действительной оси, либо в виде в виде комплексно сопряженных пар симметрично относительно оси σ .

 

      В виду наглядности диаграммы полюсов и нулей широко используются  на практике. Например, для устойчивости системы необходимо, чтобы передаточная функция  W(p)  имела полюса только в левой полуплоскости переменной  p. Действительно, устойчивость системы заключается в том, что после прекращения внешнего воздействия (возмущения) система должна возвратиться в исходное состояние. Для этого процессы (колебания) в системе должны быть затухающими. Следовательно, для линейного однородного уравнения системы

                        ,   
имеющего решение вида

                       ,       
где  λ_i – корни характеристического уравнения

                       ,     
корни  λ₁ ,λ₂ , …λ_n  (полюса системы) должны быть или отрицательными действительными величинами, или комплексными с отрицательными действительными частями. Таким образом, по расположению полюсов передаточной функции можно судить об устойчивости системы. Отметим, что во временной области необходимым и достаточным условием устойчивости системы при нулевых начальных условиях является абсолютная интегрируемость импульсной переходной характеристики, т.е.

      

При этом ограниченному входному сигналу  будет соответствовать ограниченный выходной сигнал.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основная  часть

 

1. Разностное уравнение системы – зависимость между дискретными сигналами X(n) и Y(n):

 

 

Подставим в полученное уравнение значения коэффициентов:

 

 

2. Импульсная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде дискретной D функции – W(n):

 

   D(n) = D(n) – D(n – 2) – D(n – 3) – 0.2W(n – 1) + 0.4W(n – 2)

 

где D – дискретная дельта-функция

 

_{n = 0….20}

 
 
 

Таблица 2– Вывод значений ИХ

 
 
 

Рисунок 2– График импульсной характеристики

 

3. Переходная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде дискретной функции единичного скачка G(n):

 

G(n) = H(n) – H(n – 2) – (n – 3) – 0.2G(n – 1) + 0.4G(n – 2)

 

где H(n) – дискретная функция Хевисайда

 

 
 

 

Рассчитаем значения G(n) при n=0,1,2…20, построим график:

 
 

 

Таблица 3 –  Вывод значений для ПХ

 
 

Рисунок 3 – График переходной характеристики

 
 
 
 
 
 
 

4. Найти реакцию системы на входной сигнал вида:

 
 

путем решения  разностного уравнения

 

Рассчитаем значения Y(n) при n=0,1…15, построим график:

 

n = 0…20

 
 

Таблица 4 – Вывод значений реакции системы

 
 

 

Рисунок 5 – График реакции системы

 
 

5. Найти системную функцию. Построить графики АЧХ и ФЧХ системы.

 

Преобразуем исходное разностное уравнение в область  комплексной переменной Z, получим:

 

Y(z) = X(z) – X(z)∙z^-2 – X(z)∙z^-3 – 0.2∙Y(z) ∙z^-1 + 0.4∙Y(z) ∙z^-2

 
 

По определению  системная функция – отношение выходного и входного сигналов в области z, равная

 

 
 

6. Для построения АЧХ (амплетудно – частотной) и ФЧХ (фазово – частотную характеристику) перейдем в область круговых частот ω:

 

где j – √-1 – мнимая единица

 
 

 

 

 
 
 
 

Рисунок 6 – АЧХ системы

 

 

Рисунок 7 – ФЧХ системы

 

7. Оценка устойчивости системы (связана с её способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели её из этого состояния).

 

Необходимо вычислить полюса системной функции W(z), т.е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим

 

,

Умножим правую и левую часть на z²

 

.

Решаем  квадратное уравнение и находим его корни z₁ и z₂

 

Найдем полюса системной функции, т.е. значения Z из уравнения:

 

z² + 0.2z – 0.4 = 0

 

Решив уравнение, получим:

 

z₁= 0.54

 

z₂= -0.74

 

Так как  z_1,2 < 1, то система является устойчивой.

 

Заключение

 

      В результате проделанной работы  можно сделать выводы о том,  что:

 

1. АЧХ дискретной  линейной системы является периодической  и четной  

    функцией.

 

2. ФЧХ дискретной  линейной системы является периодической  и нечетной  

    функцией.

 

3. Устойчивость системы можно оценить по значениям полюсов этой

     системы,  а именно: если значение хотя  бы одного из полюсов системы  по   

     модулю  больше 1, то система не будет  являться устойчивой.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованных источников

 

1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А.И. Солонина,   

    Д.А.  Улахович, С.М. Арбузов и др. –  СПб.: БХВ-Петербург, 2003.– 608 с.

 

2. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы.– М.: Мир, 1988. – Ч.1. – 336 с.

 

3. Голышев Н.В. Математические модели данных, сигналов и систем: методические указания к курсовой работе / Н.В. Голышев, Д.Н. Голышев. – Новосибирск: Новосиб. гос. акад. вод. трансп., 2007.

 

4. Голышев Д.Н. Презентация Математические модели данных, сигналов и систем, 2009 год.