Анализ воспроизводства процессов в обрабатывающей промышленности (дискретный случай)

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ

ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ 
 
 
 

                     Кафедра ММиИТЭ

Дисциплина: «Теория оптимального управления» 
 
 

Курсовая  работа

на тему: «Анализ воспроизводства процессов в обрабатывающей промышленности (дискретный случай)». 
 
 

студентки гр. 5ММЭ – 41

Соколовой Н.С.

Проверил: Летавин М.И.

Дата  сдачи:    «___» __________

Дата  защиты: «___» __________

Оценка: 
 
 

Череповец

2010г.

Цель  работы:

Продемонстрировать  навыки

1. формулирования экономических задач в терминах теории оптимального управления (ТОУ),
2. решения задач ТОУ в аналитической и численной форме
3. анализа и интерпретации результатов решения задач в терминах ТОУ и в терминах исходной экономической задачи.

 

Задание курсовой работы:

1. Для заданной экономической проблемы сформулировать и проинтерпретировать задачу оптимального управления как
1. задачу быстродействия,
2. задачу с интегральным целевым функционалом,
3. задачу с терминальным целевым функционалом.
2. Сформулировать и проинтерпретировать ограничения на фазовые и управляющие переменные в виде
1. поточечных ограничений,
2. интегральных ограничений,
3. терминальных ограничений.

3.  Провести  агрегирование исходной задачи  до размерности фазового    пространства равной двум и  размерности пространства управляющих векторов равной двум.

• Для агрегированной модели провести исследование задач ОУ аналитическими методами
1. сформулировать необходимые условия оптимальности в форме Лагранжа-Понтрягина,
2.    найти процессы, удовлетворяющие необходимым условиям,

4.3   выбрать оптимальный процесс,

4.4 дать  экономическую интерпретацию найденному  оптимальному решению и множителям  Лагранжа.

5. Для  полной модели провести исследование  задач ОУ численными методами

5.1 разработать  программный модуль, позволяющий  вводить исходные данные модели и получать решение задачи ОУ,

5.2  дать экономическую интерпретацию  полученного решения.

6. Оформление  работы предусматривает

6.1 текстовый  файл в редакторе MS Word и его распечатку (включая инструкцию по работе с программным модулем),

6.2  файл программного модуля. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

1. Формулировка и описание  модели_______________________________5

2. Формулировка и  интерпретация модели как задач ТОУ____________7

    2.1. Задача быстродействия  для модели__________________________7    

    2.2. Задача с интегральным  целевым функционалом_____________ 8

    2.3. Задача с терминальным  целевым функционалом_____________9

3. Исследование задачи теории оптимального управления аналитическими методами. _______________________________________9

4. Решение задачи  на принцип максимума_________________________ 11

Список  использованной литературы______________________________ 14

Приложение 1___________________________________________________15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Формулировка  и описание  модели

 

     Реформирование налоговой системы является необходимым условием перехода к устойчивому экономическому росту, без этого невозможны рост инвестиций в экономику и восстановление необходимых воспроизводственных циклов.

     Большинство аналитиков признают существующую в настоящее время номинальную налоговую нагрузку на предприятия чрезмерной. Под номинальной налоговой нагрузкой понимается доля налогов в добавленной стоимости, которая должна быть выплачена исходя из действующих законов и норм.

     Высокая номинальная налоговая нагрузка нарушает нормальные воспроизводственные процессы на предприятии, способствует росту теневого сектора экономики и снижению фактических налоговых поступлений.

     Целью данной работы является определение  таких воспроизводственных процессов основных фондов и оборотных средств, которые бы могли обеспечить нормальное функционирование предприятия.

     Задача  данной курсовой работы - оценить влияние различных налогов на работу предприятия в зависимости от их структуры затрат и добавленной стоимости.

     Добавленную стоимость, произведенную предприятием за время, равное продолжительности производственного цикла, запишем с помощью производственной функции:

     

      В качестве производственной функции Dct возьмем производственную функцию Кобба-Дугласа: 

     Динамическая  система уравнений выглядит следующим образом: 

       

     При начальных условиях К₀>0, V₀>0.

     Рассмотрим  для начала целевой функционал. Данная задача разрешима на промежутке от 0 до ∞, однако здесь удобнее сократить  плановый горизонт до отрезка времени  [0,10].

      Далее рассмотрим параметры, входящие в динамическую систему.

     Данная  задача будет решаться относительно двух фазовых переменных:

1. V_t – оборотные средства;
2. К_t – капитал.

     Поэтому в качестве управления в данной задаче будут приняты две величины:

     1) а12 - часть амортизационных отчислений используемых для восстановления основных средств;

     2) а13 – часть чистой прибыли для восстановления основных средств.

     Все оставшиеся параметры считаются  экзогенно заданными для всех t=0,1,… Рассмотрим их идентификацию.

     А_t – амортизационные отчисления;

     Р_t – чистая прибыль;

     Т_t - налоги;

       I_t – внешние инвестиции;

     W_t – затраты на оплату труда;

     D_ct – добавленная стоимость;

      a₂₂ – доля чистой прибыли, используемая для пополнения оборотных средств; 
 

     n-норма амортизации;

     i-ставка дисконтирования.

     Полученная  модель является дискретной.

   Итак, из всего вышесказанного следует, что модель максимизации добавленной стоимости является альтернативой максимизации прибыли. Необходимо найти такой процесс, который максимизирует чистую прибыль на шаге T при условии погашения задолженности по всем обязательствам.

 

2. Формулировка и интерпретация  модели как задачи ТОУ.

2.1 Задача быстродействия.

     Математическая  интерпретация задачи быстродействия:

    - целевой функционал:                                   ;

     - фазовые переменные (уравнения состояния):

                                                                                    , t [0, T] 

    - терминальные ограничения, то  есть ограничения на начало  и конец промежутка:

    K(0) = K₀ > 0,

    V(0) = М₀ > 0,

    K(T) > 0,

    V(T) > 0.

    Эти условия показывают, что предприятие,  как на начало, так и на конец рассматриваемого периода, располагает некоторым количеством капитала и также некоторым количеством оборотных средств.

    - поточечные ограничения на управления а12 и а13:

      

    Интегральных  ограничений в данной задаче нет. 

      2.2 Задача с интегральным целевым функционалом.

    Суть  данной задачи сводится к нахождению максимального значения за период t [0, T].

    Таким образом, целевой функционал примет вид:

      

    Фазовые переменные (уравнения состояния):    

                                                                                                                 

    

                                                                                                       ,t [0, T]. 

    Сформулируем  ограничения для данной задачи:

• поточечные ограничения на фазовые переменные и управление:

    K> 0,

    М > 0,

      
 

            Все параметры модели должны быть больше 0, поскольку предприятие обладает ими в каком-то размере.

    Интегральных  ограничений в данной задаче нет. 

      2.3 Задача с терминальным целевым функционалом. 

    Задачу с терминальным целевым функционалом можно определить как максимизацию прибыли предприятия на временном интервале t [0, T].

     То есть целевой  функционал задачи будет определяться следующим образом: 

     При этом уравнения  состояния и ограничения на фазовые, управляющие переменные и коэффициенты модели будут аналогичны задаче с интегральным целевым функционалом. 

    3. Исследование задачи теории оптимального управления аналитическими методами.

    Для решения задачи с интегральным целевым функционалом аналитическими методами и нахождения оптимальной траектории процесса обновления капитала сформулируем необходимые условия оптимальности в форме Лагранжа-Понтрягина.

    Составим функционал Гамильтона (гамильтониан):

    H (t, x, u, p, λ) = pφ – λf.

    Применительно к  нашей задаче гамильтониан будет  иметь вид:

      

     Терминант выглядит следующим образом: 

    Далее для нахождения и продифференцируем полученный гамильтониан по фазовым переменным, то есть по К и М:

      
 

     Из данной системы необходимо выразить p_1(t+1), p_2(t+1). Получаем: 
 
 

      Принцип максимума  для управления a13- часть чистой прибыли для восстановления основных средств, выглядит следующим образом: 

     Отсюда  получаем аналитическое выражение  для управления n: 

       
 
 

     Итак, данная система полностью исследована. Это динамическая дискретная система, которая постоянно развивается во времени.

     Далее будет рассмотрено решение данной системы численно, при заданных параметрах.  Предприятие должно так управлять переменными, чтобы делать максимальную прибыль. 

     4. Решение задачи на принцип максимума

     В файле программный модуль задачи ТОУ представлено численное решение  задачи ТОУ с интегральным целевым  функционалом. Поставленная задача решена в MS Excel с помощью процедуры «Поиск решения».

     В блоке исходных данных представлены переменные заданные экзогенно, постоянные модели, фазовые и управляющие переменные. В этом блоке можно менять начальные значения капитала  K и  оборотные средства V. Кроме того, можно вводить условия на управляющие переменные. Параметры модели, заданные экзогенно можно изменять, вводя значения в соответствующие столбцы таблицы. Горизонт планирования можно взять любой, в данном программном модуле рассмотрен горизонт планирования T=10.

    Чтобы получить оптимальное решение задачи потребителя, необходимо устремить  к максимуму целевой функционал системы. В данной задаче необходимо получить ответ на вопрос, что нужно сделать предприятию, чтобы максимизировать прибыль.

      В качестве начальных условий зададим  K=35200 и V=28900. На управление наложим следующие ограничения: часть амортизационных отчислений используемых для восстановления основных средств а12 [0,09;0,4] и часть чистой прибыли для восстановления основных средств а13 [0,06;0,5].

      При использовании процедуры поиск  решения в качестве целевой функции указываем функционал Dct задачи ТОУ. 

      

      В качестве изменяемой части будут  выступать p₁(0), p₂(0) а также столбец а12. Ограничения возьмём следующие: p₁(0)=0, p₂(0)=0, а12>0.

      При таких условиях и ограничениях мы получим, что максимальная сумма  добавленной стоимости, произведенная предприятием за период T=10, месяцев будет равна 6147032,23 руб.

      Модель  максимизации прибыли позволяет  обосновать соотношение между затратами  и выгодами при долгосрочном и  краткосрочном планировании. Добавленная стоимость включает в себя затраты на заработную плату, налоги, амортизацию, прибыль предприятия. Модель добавленной стоимости — это долгосрочная концепция, направленная на максимизацию выгоды всех лиц, имеющих отношение к организации: управляющих, рабочих, акционеров.