Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Античная математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра практической психологии

Античная математика

КУРСОВАЯ РАБОТА

по специальности 050706

«Педагогика и методика начального образования»

Выполнила: студентка 3 курса 1 группы

очной формы обучения

психолого-педагогического факультета

Скосарь Дарья

Научный руководитель:

ВОРОНЕЖ 2013

Содержание

Введение ……………………………………………………………………….3

Теоретический анализ развития математики в эпоху античности

Понятие математики как науки…………………………………………...5
Понятие античности как отдельной эпохи………………………………8
Рождение математики в Элладе…………………………………………14
Афинское содружество ученых: школа Платона……………………….16
Математическая вселенная Евклида……………………………………20
Наследники Евклида: Эратосфен и Архимед…………………………..23
Закат греческой математики……………………………………………..25

Заключение …………………………………………………………………..28

Список используемой литературы ………………………………………….29

Введение

Античная философия продемонстрировала, как можно планомерно развертывать представление о различных типах объектов и способах их мысленного освоения. Она дала образцы построения знаний о таких объектах. Это поиск единого основания (первоначал и причин) и выведение из него следствий (необходимое условие теоретической организации знаний). Эти образцы оказали бесспорное влияние на становление теоретического слоя исследований в античной математике.

Разработка теоретических знаний математики проводилась в античную эпоху в тесной связи с философией и в рамках философских систем. Практически все крупные философы античности — Демокрит, Платон, Аристотель и др. — уделяли огромное внимание математическим проблемам. Они придали идеям пифагорейцев, отягощенным многими мистико-мифологическими наслоениями, более строгую рациональную форму. И Платон, и Аристотель, хотя и в разных версиях, отстаивали идею, что мир построен на математических принципах, что в основе мироздания лежит математический план. Эти представления стимулировали как развитие собственно математики, так и ее применение в различных областях изучения окружающего мира. В античную эпоху уже была сформулирована идея о том, что язык математики должен служить пониманию и описанию мира. Как подчеркивал Платон, “Демиург (Бог) постоянно геометризирует”, т.е. геометрические образцы выступают основой для постижения космоса. Развитие теоретических знаний математики в античной культуре достойно завершилось созданием первого образца научной теории — евклидовой геометрии. В принципе ее построение, объединившее в целостную систему отдельные блоки геометрических задач, решаемых в форме доказательства теорем, знаменовали формирование математики в особую, самостоятельную науку.

Целью моей курсовой работы является изучить особенности формирования математики в эпоху античности.

В соответствии с целью курсовой работы были поставлены следующие задачи:

Провести теоретический анализ литературы по теме работы.
Сделать выводы, опираясь на полученные результаты.

Объект – математика как наука.

Предмет – математика античности.

Гипотеза – эпоха античности повлияла на становление математики как отдельной науки.

В работе использовался метод сбора теоретической информации: анализ, синтез, обобщение и систематизация имеющихся в литературе научных представлений по теме курсовой работы.

При написании работы соблюдалась следующая структура.

Курсовая работа посвящается теоретическому анализу понятия математика, античность, философских точек зрения эпохи античности, адекватных теме исследования.

Теоретический анализ развития математики в эпоху античности

Понятие математики как науки

Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное" [4].

Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что "книга природы написана на языке математики", как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Для представлений о науке, как они сложились к XVII-XVIII вв., особенно у философов эпохи Просвещения, характерно убеждение в том, что наука по своему существу противоположна религии. Это представление отражает тот период в развитии науки, когда ученым приходилось вести борьбу с религией за возможность свободного научного исследования. Но применительно к другим периодам развития науки это представление оказывается не всегда справедливым. Исторически научное знание вступало в самые различные - и порой весьма неожиданные - отношения с мифологической, религиозной и художественной формами сознания. Так, перемещение математических исследований из сферы практически-прикладной в сферу философско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистического восприятия мира, послужило тем историческим фактором, благодаря которому математика превратилась в теоретическую науку.

Прежде чем появилась математика как теоретическая система, возникло учение о числе как некотором божественном начале мира, и это, казалось бы, не математическое, а философско-теоретическое учение сыграло роль посредника между древней восточной математикой как собранием образцов для решения отдельных практических задач и древнегреческой математикой как системой положений, строго связанных между собой с помощью доказательства. Вот почему нам кажется неправомерной попытка некоторых историков науки принципиально отделить пифагорейских математиков эпохи Платона от ранних пифагорейцев.

Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления.

Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения [6].

Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения)[9].

У представителей науки начала 19 века, не являющихся математиками, можно найти такие общедоступные определения математики.

"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира" [3].

"Математика - наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. Математика может быть чистой и прикладной [2].

Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" [1].

Современная математика насчитывает множество математических теорий: математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование, численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория множеств, аналитическая и проективная геометрия, математический анализ и т.д.

Несмотря на то, что математических теорий достаточно много и они, на первый взгляд, могут и не иметь ничего общего, внутренняя эволюция математической науки упрочила единство ее различных частей и создала центральное ядро. Существенным в этой эволюции является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический метод". В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, с помощью которых образуются утверждения, называемые аксиомами.

Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и определений выводятся теоремы. Теория становится рекурсивно структурированной, ее можно представить в виде матрешки, в которой понятия и их свойства как бы являются вложенными друг в друга. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, т.е. объединяющим началом математики является "дедуктивное рассуждение". Развитие математической теории в таком стиле - это первый шаг по направлению к ее формализации.

Открытие неевклидовых геометрий и создание теории множеств привели к перестройке всего здания математики и созданию совершенно новых ее отраслей. Важное значение приобрела в современной математике математическая логика. Методы математики широко используются в точном естествознании. Применение ее в биологии и общественных науках до последнего времени носило случайный характер. Создание (под непосредственным влиянием практики) таких отраслей, как линейное программирование, теория игр, теория информации, и появление электронных математических машин открывают здесь совершенно новые перспективы. Философские вопросы математики (характер и происхождение математической абстракции, ее особенности) всегда являлись ареной борьбы между материализмом и идеализмом. Особенно важное значение имеют философские вопросы, возникшие в связи с проблемами оснований математики [4].

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Понятие античности как отдельной эпохи

Термин античность - употребляется для обозначения всего, что было связано с греко-римской древностью, от гомеровской Греции до падения Западной Римской империи, возник в эпоху Возрождения [5]. Тогда же появились понятия "античная история", "античная культура", "античное искусство", "античный город" и т.д. Понятие "древнегреческая наука", вероятно, впервые было обосновано П. Таннери в конце XIX в., а понятие "античная наука" - С. Я. Лурье в 30-х годах ХХ века [8].

Своим появлением наука обязана стремлением человека к повышению производительности своего труда и, в конечном итоге, уровня жизни. Постепенно, еще с доисторических времён накапливались знания о природных явлениях и их взаимосвязи.

Одной из первых наук стала астрономия, результатами которой активно пользовались жрецы и священнослужители. В число древних прикладных наук входили геометрия - наука о точном измерении площадей, объёмов и расстояний - и механика. В состав геометрии входила и география.

В Древней Греции к VI в. до н. э. сложились наиболее ранние теоретические научные системы, стремившиеся объяснить действительность набором основных положений. В частности, появилась широко распространившаяся на территории Европы система первоэлементов, а философы Левкипп и Демокрит создали первую атомистическую теорию строения вещества, впоследствии развитую Эпикуром. Долгое время наука не была в полной мере отделена от философии, а была ее составной частью. Однако уже древние философы выделяли в составе философии космогонию и физику: системы представлений о происхождении и устройстве мира соответственно [17].

Один из ярчайших представителей древнегреческой философии является Аристотель. Проведя огромное количество наблюдений и составив весьма подробное описание своих представлений о физике и биологии, он тем не менее не проводил экспериментов.

До эпохи научных революций считалось, что создаваемые человеком искусственные условия опыта не могут дать результатов, которые бы адекватно описывали явления, происходящие в природе.

Понятие античной науки

Среди ученых-науковедов наблюдаются две крайние точки зрения в самом понятии науки, находящиеся в радикальном противоречии друг с другом.

Первая точка зрения говорит о том, что наука в собственном смысле слова родилась в Европе лишь в XVI-XVII вв., в период, обычно именуемый великой научной революцией. Ее возникновение связано с деятельностью таких ученых, как Галилей, Кеплер, Декарт, Ньютон [10]. Именно к этому времени следует отнести рождение собственно научного метода, для которого характерно специфическое соотношение между теорией и экспериментом. Тогда же была осознана роль математизации естественных наук - процесса, продолжающегося до нашего времени и теперь уже захватившего ряд областей знания, которые относятся к человеку и человеческому обществу [9].

Античные мыслители, строго говоря, еще не знали эксперимента и, следовательно, не обладали подлинно научным методом: их умозаключения были в значительной степени продуктом беспочвенных спекуляций, которые не могли быть подвергнуты настоящей проверке. Исключение может быть сделано, пожалуй, лишь для одной математики, которая в силу своей специфики имеет чисто умозрительный характер и потому не нуждается в эксперименте. Что же касается научного естествознания, то его в древности фактически еще не было; существовали лишь слабые зачатки позднейших научных дисциплин, представлявшие собой незрелые обобщения случайных наблюдений и данных практики. Глобальные же концепции древних о происхождении и устройстве мира никак не могут быть признаны наукой: в лучшем случае их следует отнести к тому, что позднее получило наименование натурфилософии (термин, имеющий явно одиозный оттенок в глазах представителей точного естествознания) [11].

Другая точка зрения, прямо противоположная только что изложенной, не накладывает на понятие науки сколько-нибудь жестких ограничений. По мнению ее адептов, наукой в широком смысле слова можно считать любую совокупность знаний, относящуюся к окружающему человека реальному миру. С этой точки зрения зарождение математической науки следует отнести к тому времени, когда человек начал производить первые, пусть даже самые элементарные операции с числами; астрономия появилась одновременно с первыми наблюдениями за движением небесных светил; наличие некоторого количества сведений о животном и растительном мире, характерном для данного географического ареала, уже может служить свидетельством первых шагов зоологии и ботаники. Если это так, то ни греческая и ни любая другая из известных нам исторических цивилизаций не может претендовать на то, чтобы считаться родиной науки, ибо возникновение последней отодвигается куда-то очень далеко, в туманную глубь веков [13].

Обращаясь к начальному периоду развития науки, мы увидим, что там имели место различные ситуации. Так, вавилонскую астрономию следовало бы отнести к разряду прикладных дисциплин, поскольку она ставила перед собой чисто практические цели. Проводя свои наблюдения, вавилонские звездочеты меньше всего интересовались устройством вселенной, истинным (а не только видимым) движением планет, причинами таких явлений, как солнечные и лунные затмения. Эти вопросы, по-видимому, вообще не вставали перед ними. Их задача состояла в том, чтобы пред вычислять наступление таких явлений, которые, согласно взглядам того времени, оказывали благоприятное или, наоборот, пагубное воздействие на судьбы людей и даже целых царств [2]. Поэтому несмотря на наличие огромного количества наблюдений и на весьма сложные математические методы, с помощью которых эти материалы обрабатывались, вавилонскую астрономию нельзя считать наукой в собственном смысле слова.

Прямо противоположную картину мы обнаруживаем в Греции. Греческие ученые, сильно отстававшие от вавилонян в отношении знания того, что происходит на небе, с самого начала поставили вопрос об устройстве мира в целом. Этот вопрос интересовал греков не ради каких-либо практических целей, а сам по себе; его постановка определялась чистой любознательностью, которая в столь высокой степени была присуща жителям тогдашней Эллады [12]. Попытки решения этого вопроса сводились к созданию моделей космоса, на первых порах имевших спекулятивный характер. Как бы ни были фантастичны эти модели с нашей теперешней точки зрения, их значение состояло в том, что они предвосхитили важнейшую черту всего позднейшего естествознания -- моделирование механизма природных явлений.

Нечто аналогичное имело место и в математике. Ни вавилоняне, ни египтяне не проводили различия между точными и приближенными решениями математических задач. Любое решение, дававшее практически приемлемые результаты, считалось хорошим. Наоборот, для греков, подходивших к математике чисто теоретически, имело значение прежде всего строгое решение, полученное путем логических рассуждений. Это привело к разработке математической дедукции, определившей характер всей последующей математики [14]. Восточная математика даже в своих высших достижениях, которые долгое время оставались для греков недоступными, так и не подошла к методу дедукции.

Итак, отличительной чертой греческой науки с момента ее зарождения была ее теоретичность, стремление к знанию ради самого знания, а не ради тех практических применений, которые могли из него проистечь. На первых этапах существования науки эта черта сыграла, бесспорно, прогрессивную роль и оказала большое стимулирующее воздействие на развитие научного мышления [15].

Признаки и специфика античной науки

Существуют четыре основных признака античной науки. Эти признаки также являются признаками ее отличия от ненауки предшествующей истории:

1. Наука, как род деятельности по приобретению новых знаний. Для осуществления такой деятельности необходимы определенные условия: специальная категория людей, средства для ее осуществления и достаточно развитые способы фиксации знаний;

2. Самоценность науки, ее теоретичность, стремление к знанию ради самого знания;

3. Рациональный характер науки, что прежде всего выражается в доказательности ее положений и наличии специальных методов приобретения и проверки знаний;

4. Систематичность (системность) научных знаний, как по предметному полю, так по фазам: от гипотезы до обоснованной теории.

Античная наука понимала значение опытного познания, о чем свидетельствует Аристотель, а до него еще Демокрит [19]. Античные ученые умели хорошо наблюдать окружающую природу. Они достигли высокого уровня в технике измерений длин и углов, о чем мы можем судить на основании процедур, разрабатывавшихся ими, например, для выяснения размеров земного шара (Эратосфен), для измерения видимого диска Солнца (Архимед) или для определения расстояния от Земли до Луны (Гиппарх, Посидоний, Птолемей) [22]. Но эксперимента как искусственного воспроизведения природных явлений, при котором устраняются побочные и несущественные эффекты и которое имеет своей целью подтвердить или опровергнуть то или иное теоретическое предположение,- такого эксперимента античность еще не знала. Между тем именно такой эксперимент лежит в основе физики и химии - наук, приобретших ведущую роль в естествознании Нового времени. Этим объясняется, почему широкая область физико-химических явлений осталась в античности во власти чисто качественных спекуляций, так и не дождавшись появления адекватного научного метода [24].

Одним из признаков настоящей науки является ее самоценность, стремление к знанию ради самого знания. Этот признак, однако, отнюдь не исключает возможности практического использования научных открытий. Великая научная революция XVI-XVII вв. заложила теоретические основы для последующего развития промышленного производства, направления нового на использование сил природы в интересах человека. С другой стороны, потребности техники явились в Новое время мощным стимулом научного прогресса. Подобное взаимодействие науки и практики становится с течением времени все более тесным и эффективным. В наше время наука превратилась в важнейшую производительную силу общества.

1.3 Рождение математики в Элладе

Появление этой науки в 6 веке до н.э. до сих пор кажется чудом. В течение 20 или 30 предыдущих веков народы Древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии. Но единую математическую науку они не создали, да и не пытались ее создать. Эллинам же это удалось с первой попытки, в течение одного столетия. Что подготовило их к такому подвигу?

На полтораста лет раньше - в середине 8 века до н.э. - эллины пережили культурную революцию. Под влиянием финикийцев они изобрели свой алфавит, включив в него гласные буквы. Тогда же были записаны поэмы Гомера. Они стали первым учебником культуры, доступным каждому эллину - даже неграмотному. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть! В ту же эпоху начались Олимпийские игры. На этих "съездах доброй воли" раз в 4 года встречались и дружески общались самые активные и просвещенные граждане из всех городов Эллады. Число таких городов с середины 8 века начало быстро расти, за счет заморской колонизации.

Скудная почва Эллады приводила к перенаселению каждого быстро развивающегося города. Тогда несколько десятков или сотен семей вместе переправлялись за море и селились на берегу - рядом с местными "варварами". У них эллины покупали зерно и различное сырье, в обмен на продукты своего ремесла. Разведав окрестные моря и земли, эллины знакомились с культурой соседних народов, учились у них и сами пытались их просветить. Все это происходило в форме народной самодеятельности, без приказа властей. Жители городской республики - полиса - ежедневно обсуждали на улицах и площадях все волнующие их вопросы: от видов на урожай и настроения окрестных варваров до заморских вестей, привезенных заезжим купцом.

Самые интересные вести приходили из царств Ближнего Востока: из Египта и Ассирии, а после гибели Ассирийской державы - из поделивших ее владения Вавилонии и Мидии. В середине 6 века до н.э. все эти земли попали под власть нового народа - персов, которые установили прочный мир в своей огромной империи. Теперь многие любознательные эллины смогли безопасно путешествовать по землям Персидской державы: одни - с торговыми целями, другие - в надежде приобщиться к мудрости древних египтян и вавилонян.

Дома такой путешественник возбуждал жадное любопытство сограждан. Но не во всем ему верили на слово. Например, он говорил, будто в Египте стоят рукотворные холмы из камня - гробницы древних царей, высотою в 200 или 300 локтей каждая. Неужели он сам измерил их высоту? Как он это сделал? Пусть докажет, что его слова - правда!

И еще: он сказал, что мудрые египтяне умеют предсказать срок будущего затмения Луны или Солнца. Пусть объяснит, как они это делают! И когда мы увидим очередное затмение в нашем городе?

Видимо, первым греком, который научился убедительно отвечать на такие вопросы, стал Фалес из города Милета; он жил между 625 и 547 годами до н.э. Известно, что в 585 году до н.э. Фалес впервые предсказал эллинам солнечное затмение. Позднее эллины признали Фалеса одним из семи великих мудрецов основателей греческой культуры и науки. Сделал ли Фалес какие-то новые открытия в математике? Может быть, и нет. Не исключено, что все приписываемые ему теоремы были прежде известны, как факты, египтянам и вавилонянам. Но заслуга Фалеса в том, что он превратил эти сведения и рецепты в доказанные теоремы. Таким образом, Фалес превратил древнюю и священную ученость в предмет сомнений и доказательных споров. Искушенные в спортивных состязаниях, эллины не знали до той поры сложных интеллектуальных игр, вроде шахмат. С легкой руки Фалеса, геометрия стала первой такой игрой. Вскоре она сделалась в Элладе почетным и увлекательным занятием, как бы национальным видом спорта - наравне с политикой. В геометрии появились "гроссмейстеры", которые превзошли достижения Фалеса и начали открывать такие математические истины, которые не снились древним мудрецам [7].

Первым в ряду этих героев оказался Пифагор с острова Самос: он жил примерно с 580 по 500 год до н.э. Около 540 года до н.э. Пифагор основал в греческом городе Кротоне на побережье Южной Италии первый "математический клуб", больше похожий на тайное религиозное братство.

1.4Афинское содружество ученых: школа Платона

В Афинах с 511 года до н.э. процветала демократическая республика. Здесь не было никаких секретов, обсуждению подвергалось все: от сообщений о том, что с неба выпал железный дождь, до преданий о том, как финикийцы за три года проплыли вокруг Африки и вернулись в Средиземное море мимо Геркулесовых столпов (так эллины называли горы по берегам пролива Гибралтар). Высочайший накал культурной жизни и научных споров привлекал в Афины самых талантливых ученых Эллады. Среди них был Анаксагор из Клазомен - последний питомец научной школы Милета. Он жил примерно в 500-428 годах до н.э. и около 460 года до н.э. переехал в Афины, где стал другом прославленного политика Перикла.
По складу ума Анаксагор был противоположен Пифагору: не математик, а физик, предпочитающий измерения и расчеты строгим логическим доказательствам. Он не верил ни в каких богов, кроме (может быть) Мирового Разума, а все небесные тела считал подобными Земле (то есть - не идеальными). Например, Солнце - это раскаленный камень, а метеориты - осколки Солнца, упавшие на Землю.

Очень просто: нужно спросить купцов, прибывающих в Афины вскоре после солнечного затмения! В каких городах Эллады видели полное затмение, а в каких - частичное? Расстояния между городами нам известны; по ним мы рассчитаем размер лунной тени на Земле, равный диаметру самой Луны или Солнца! Сказано - сделано. На основе опросов и расчетов Анаксагор заключил, что диаметр Луны или Солнца примерно равен диаметру полуострова Пелопоннес, где расположена Спарта. Так впервые стереометрия была успешно применена в астрономии и стала самостоятельной наукой - хотя не столь полной и строгой, как планиметрия. Например, связь между площадью круга и объемом шара оставалась не известна еще 200 лет - пока ее не выяснил Архимед [1].

Мы знаем теперь, что Анаксагор ошибся в оценке диаметра Луны примерно в 5 раз, а в оценке размера Солнца - еще больше, поскольку Солнце дальше от Земли, чем Луна. Однако математическая основа метода Анаксагора безупречна - если учесть зону частичного (а не только полного) солнечного затмения. Но современников Анаксагора волновали иные проблемы. Астроном подвергся осуждению благочестивых афинских граждан. Как он смеет измерять размеры бога Гелиоса (Солнца) и богини Гекаты (Луны)? Это - кощунство и богохульство! Астронома привлекли к суду, и даже заступничество Перикла не помогло; Анаксагор предпочел покинуть Афины. Вскоре после его изгнания в Афинах родился мальчик Аристокл; позднее он стал учеником Сократа и получил прозвище Платон - "Широкоплечий" [13].

Античная математика 📙 Курсовая → 🆔 27883