Аппроксимация функции методом наименьших квадратов с помощью MathCAD и электронных таблиц Microsoft EXCEL

 

Министерство образования Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет (Горный)

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине                                    Информатика

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно  учебному плану)}

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:               Аппроксимация функции методом  наименьших квадратов 

 

 

 

Автор: студент  гр.     НД-11-2            _______________                / Посохов А.А./

                          ^{(подпись)                               (Ф.И.О.)}

 

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата:

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель  проекта     доцент_            ________________           /Чиргин А.В./

                 ^{(должность)        (подпись)                                            (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cанкт - Петербург

2012

 

Министерство образования  Российской Федерации
Национальный минерально-сырьевой университет (Горный)
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой   Доц. Маховиков А.Б.      /_________ / "___"__________2012г.

 

 

Кафедра Информатики и  компьютерной технологии

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине __________________Информатика_______________

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

 

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы :            НД-11-2                                                Посохов А.А.

        ^{(шифр группы)                                                      (Ф.И.О.)}

1.Тема проекта: Аппроксимация  функции методом наименьших квадратов  с помощью MathCAD и электронных таблиц Microsoft EXCEL.

2.Исходные данные: Вариант №12, табличные данные.

3.Содержание пояснительной записки: пояснительная записка включает в себя задание на выполнение курсовой работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно текст пояснительной записки, заключение, список используемой литературы.

4. Перечень графического материала: графики функций.

5. Срок сдачи законченного проекта: 01.12.2012 год.

Руководитель проекта      доцент                                                  / Чиргин А.В./

                                                       (должность)                       (подпись)                                            (Ф.И .О.)

 

Дата выдачи задания: 24.09.2012 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аннотация.

 

Пояснительная записка представляет собой отчёт о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы построения эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) средствами пакета Microsoft Excel  и решение данной задачи в MathCAD , Delphi. По окончании выполнения работы необходимо решить, каким методом задача решается лучше всего, а также определить каким средством это легче сделать: посредством Microsoft Excel или MathCAD, Delphi.

Страниц 33, таблиц 9, рисунков 4, приложений 6.

 

 

Summary.

The explanatory note represents the report on performance of course work. In it (her) questions of construction of empirical formulas by a method of least squares means of package Microsoft Excel and MathCAD, Delphi. Upon termination of performance of work it is necessary to solve, what method the problems solved in the best way end also to define what means it more easy to make: by means of Microsoft Excel or MathCAD, Delphi .

Pages33, tables 9, figures 4, appendices 6.

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

Введение.

 

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и MathCAD.

Специалисты в области автоматизации технологических процессов и производств имеют дело с большим объёмом экспериментальных данных, для обработки которых используется компьютер.

При рассмотрении различных задач  в этой области возникает, в частности, необходимость выявления некоторых эмпирических закономерностей, решения систем уравнений, первичной статической обработки экспериментальных данных.

Для решения многих задач, исходные данные и полученные результаты вычислений которых могут быть представлены в табличной форме, используют табличные процессоры (электронные таблицы) и, в частности, MS Excel. Имеется также множество инженерных задач, для решения которых требуется применить язык программирования.

Для решения поставленных задач  был использован математический редактор MathCad, для отладки программы и сравнения результатов – MS Excel, для создания отчёта – MS Word. Табличный и текстовый редактор взяты из пакета MS Office.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Постановка задачи.

 

1. Используя метод  наименьших квадратов функцию  , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени  ;

б) многочленом второй степени  ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости  вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить  линию тренда.

5. Используя функцию  ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики  зависимости  от .

6. Сравнить свои вычисления  с результатами, полученными при  помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая  из полученных формул наилучшим  образом аппроксимирует функцию  .

8. Написать программу на одном  из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

 

2.Общие сведения

 

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и у , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений :

x	x1	x1		xi		Xn
у	y1	y1		yi		Yn

 

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых x, (независимая величина) задается экспериментатором, а у, получается в результате опыта. Поэтому эти значения у,будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

y = f (x; a₁,a₂,...,a_m),                                                                  (1)

(где a₁,a₂,...,a_m - параметры), значения которой при x = x, возможно мало отличались бы от опытных значений у, (i = 1,2,...,п).

Обычно указывают класс функций ( например, множество линейных, степенных, показательных и т.п. ) из которого выбирается функция f (x) , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные x,, то получим теоретические значения

Y^T_i = f (x_i;  a₁, a₂…… a_m), где i = 1,2,...,n .

Разности y_i^T – у_i, называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек M_i до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a₁,a₂,...,a_m считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

               (2) 

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел (x_i,y_i) из исходной таблицы определяет точку M_i на плоскости XOY . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов a₁,a₂,...,a_m можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов a₁,a₂,...,a_m таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек M_i (x_i,y_i) до графика функции (1) была наименьшей (рис.1).

Рис.1

 

Построение эмпирической формулы  состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости  между данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов a₁,a₂,...,a_m входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известным аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентовa a₁,a₂…..a_m, которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных.

В результате получим нормальную систему  для определения коэффициентов a_i (i = 1,2,...,m):

…………  ₍₃₎

 
Таким образом, нахождение коэффициентов a_i сводится к решению системы (3). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров a_i, тогда система (3) - будет линейной.

Линейная зависимость

Конкретный вид системы (3) зависит  от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости y = a₁ + a₂x система (3) примет вид:

                                                                                (4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

Квадратичная зависимость

 

В случае квадратичной зависимости y = a₁ + a₂x + a₃x² система (3) примет вид:

        (5) 

Экспоненциальная зависимость

 

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую  неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

y = a₁* e^a2x   (6)

где a₁ и a₂, неопределенные коффициенты.

Линеаризация достигается путем  логарифмирования равенства (6), после  чего получаем соотношение

ln y = ln a₁ + a₂x (7)

Обозначим ln у и ln a_x соответственно через t и c , тогда зависимость (6) может быть записана в виде t = a₁ + a₂х, что позволяет применить формулы (4) с заменой a₁ на c и у_i на t_i

Элементы теории корреляции

 

График восстановленной функциональной зависимости у(х) по результатам измерений (х_i,у_i), i = 1,2,K ,n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности n_iJ- тех пар (х,у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры х_i (соответственно у_i) этих интервалов и числа n_iJ- в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой  линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется  по формуле:

                        (8)

где  , , и - среднее арифметическое значение соответственно х и у.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе |р| к 1, тем теснее линейная связь между х и у.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется  по формуле:

 

                                                    (9)

 

 

где n_i = ,  n_f = ,   а числитель характеризует рассеяние условных средних у, около безусловного среднего y .

Всегда . Равенство = 0 соответствует некоррелированным случайным величинам; = 1 тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь междуy и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина - ρ ² используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика — коэффициент детерминированности.

Для его описания рассмотрим следующие  величины. - полная сумма квадратов, где среднее значение .

Можно доказать следующее равенство 

Первое слагаемое равно S_{ост =} и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных от теоритических.

Второе слагаемое равно S_{регр =}   и называется регрессионной суммой

 квадратов и оно характеризует  разброс данных.

Очевидно, что справедливо следующее  равенство S_{полн =} S_{ост +} S_регр.

Коэффициент детерминированности  определяется по формуле:

                                                                                                       (10)

 

Чем меньше остаточная сумма квадратов  по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r² , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y

Коэффициент детерминированности  всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется  равенство r² = то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

3. Исходные данные

 

Вариант 12. Функция  задана  рисунком 1.

 

 

                                                            

 

                                                                       рис. 1.

 

 

4. Расчет аппроксимаций в Excel

Для проведения расчетов воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel. И данные расположить как показано на рисунке 2.

 

 

 

Рис 2

 

Для этого заносим:

• в ячейки A6:A30 заносим значения x_i.
• в ячейки B6:B30 заносим значения у_i.
• в ячейку C6 вводим формулу =А6^{^}2.
• в ячейки C7:C30 эта формула копируется.
• в ячейку D6 вводим формулу =А6*В6.
• в ячейки D7:D30 эта формула копируется.
• в ячейку F6 вводим формулу =А6^4.
• в  ячейки F7:F30 эта формула копируется.
• в ячейку G6 вводим формулу =А6^2*В6.
• в ячейки G7:G30 эта формула копируется.
• в ячейку H6 вводим формулу =LN(B6).
• в ячейки H7:H30 эта формула копируется.
• в ячейку I6 вводим формулу =A6*LN(B6).
• в ячейки I7:I30 эта формула копируется.
• в ячейку А33 вводим формулу =СУММ(А6:А30).
• в ячейку B33 вводим формулу =СУММ(В6:В30).
• в ячейку C33 вводим формулу =СУММ(С6:С30).
• в ячейку D33 вводим формулу =СУММ(D6:D30).
• в ячейку E33 вводим формулу =СУММ(E6:E30).
• в ячейку F33 вводим формулу =СУММ(F6:F30).
• в ячейку G33 вводим формулу =СУММ(G6:G30).
• в ячейку H33 вводим формулу =СУММ(H6:H30).
• в ячейку I33 вводим формулу =СУММ(I6:I30).

Аппроксимируем функцию y = f (x) линейной функцией y = a₁ + a₂x . Для определения коэффициентов a₁ и a₂ воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A33, B33, C33 и D33, запишем систему (4) в виде

              (11) 
решив которую, получим  a₁ = -252,141  и a₂ = 122,7882

Таким образом, линейная аппроксимация  имеет вид y= -252,141  + 122,7882х (12)

Решение системы (11) проводили, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты  на рисунке 3:

     

Рис 3

В таблице в ячейках B38:C39 формула {=МОБР(A35:B36)}. В ячейках C41:C42 формула {=МУМНОЖ(B38:C39,C35:C36)}.

 

Далее аппроксимируем функцию y = f (x) квадратичной функцией y = a₁ + a₂x + a₃x². Для определения коэффициентов a₁, a₂ и a₃ воспользуемся системой (5). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A33, B33, C33, D33, E33, F33 и G33 запишем систему (5) в виде:

                (13)

 

Решив которую, получим  a₁ = -32,53488, a₂ = -5,948689 и a₃ = 12,79611     (14)

Таким образом, квадратичная аппроксимация  имеет вид:

у = -32,53488 - 5,948689 х + 12,79611 х²  

Решение системы (13) проводили, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты на рисунке 4.

Рис.4

В таблице в ячейках A50:C52 формула {=МОБР(A45:C47)}. В ячейках F50:F52 формула {=МУМНОЖ(A50:C52,D45:D47)}.

 

Теперь аппроксимируем функцию y = f (х) экспоненциальной функцией y = a₁e^a2x. Для определения коэффициентов a₁ и a₂ прологарифмируем значения y_i и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A33, C33, H33 и I33 получим систему:

       (15)

 

где с = ln(a₁).

Решив систему (10) найдем с = 1,372 , a₂ = 0,67 .

После потенцирования получим a₁ = 3,943 .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация  имеет вид y = 3,943*e^0,67x

Решение системы (15) проводили, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты представлены  на рисунке 5.

 

                   

Рис. 5

В таблице в ячейках A57:B59 записана формула {=МОБР(A54:B55)}. В ячейках E57:E58 записана формула {=МУМНОЖ(A58:B59,С54:С55)}. В ячейке E59 записана формула =EXP(E57).

 

Вычислим среднее арифметическое x и у по формулам:

; 

Результаты расчета x и y средствами Microsoft Excel представлены на рисунке 6.

                                         

Рис. 6

В ячейке B61 записана формула    =A33/25. В ячейке B62 записана формула    =B33/25. Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблице 2.

Рис.7

 

Поясним как таблица на рисунке 7 составляется.

Ячейки A6 :A33 и B6 :B33 уже заполнены (см. рис. 2).

Далее делаем следующие шаги:

• в ячейку J6 вводим формулу =(A6-$B$61)*(B6-$B$62).
• в ячейки J7:J30 эта формула копируется.
• в ячейку K6 вводим формулу =(А6-$В$61)^{^}2.
• в ячейки K7:K30 эта формула копируется.
• в ячейку L6 вводим формулу =(В1-$В$62)^2.
• в ячейки L7:L30 эта формула копируется.
• в ячейку M6 вводим формулу =($C$41+$Е$42*А6-В6)^2.
• в ячейки M7:M30 эта формула копируется.
• в ячейку N6 вводим формулу =($F$50 +$F$51*A6 +$F$52*A6 -В6)^2.
• в ячейки N7:N30 эта формула копируется.
• в ячейку O6 вводим формулу =($Е$59*ЕХР($Е$58*А6)-В6)^2.
• в ячейки O7:O30 эта формула копируется..
• в ячейку J33 вводим формулу =CУMM(J6:J30).
• в ячейку K33 вводим формулу =СУММ(К6:К30).
• в ячейку L33 вводим формулу =CУMM(L6:L30).
• в ячейку M33 вводим формулу =СУММ(М6:М30).
• в ячейку N33 вводим формулу =СУММ(N6:N30).
• в ячейку O33 вводим формулу =СУММ(06:030).

 

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для  линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами Microsoft Ехcеl представлены на рисунке 8.

Рис.8

В таблице  в ячейке B64аписана формула =J33/(K33*L33)^(1/2). В ячейке B65записана формула =1- M33/L33. В ячейке B66записана формула =1- N33/L33. В ячейке B67записана формула =1- O33/L33.

 

Получение числовых характеристик  линейной зависимости.

 

  _{Для построения  числовых характеристик  необходимо создать  табличную форму,  которая будет  занимать 5 строк  и 2 столбца. В  этот интервал  требуется ввести  функцию ЛИНЕЙН. Для  этого выполняем следующую последовательность действий:}

1. _{Выделим область А75:В79.}
2. _{Вызовем функцию ЛИНЕЙН.}
3. _{Определим аргументы функции}
• _{В качестве изв_знач_у укажем B6:B30.}
• _{В качестве изв_знач_х укажем A6:A30.}
• _{Третье поле Константа оставим пустым.}
• _{В четвертом поле стат наберем истина.}

 

      _{4. Нажмем кнопку ОК.}

 

      _{5. Установим курсор в строку формул.}

  _{Нажмем комбинацию  клавиш Ctrl+Shift+Enter, это обеспечит ввод табличной формулы.}

  _{В результате  должны заполниться  все ячейки интервала  А75:В79 (рис.9)}

 

                      

_Рис.9

                                                                                      

_{В ячейках А75:В79 введена формула {=ЛИНЕЙН(B6:B30;A6:A30;ИСТИНА;ИСТИНА)}.}

_{Пояснения к табл. 8 :}

_{А77- коэффициент детерминированности}

_{А78- F-наблюдаемое значение.}

_{В78- число степеней свободы.}

_{А79- факторная сумма квадратов.}

_{В79- остаточная сумма квадратов.}

 _{Рассмотрим назначение функции ЛИНЕЙН.}

 _{Эта функция использует метод наименьших квадратов, чтобы определить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.}

 

Получение числовых характеристик  экспоненциальной зависимости.

1. _{Выделим область А88:В92.}
2. _{Вызовем Мастер функций.}
3. _{Выберем функцию ЛГРФПРИБЛ.}
4. _{Определим аргументы функции}
• _{В качестве изв_знач_у укажем B6:B30.}
• _{В качестве изв_знач_х укажем A6:A30.}
• _{Третье поле Константа оставим пустым.}
• _{В четвертом поле стат наберем истина.}
5. _{Нажмем кнопку ОК.}
6. _{Установим курсор в строку формулу.}