Аппроксимация экспериментальных данных в координатах полинома n-ой степени на примере зависимости растворимости соли от температуры

МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДВУЗ  „УКРАИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ” 
 

Кафедра химической технологи неорганических веществ и экологии 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине: Математическое моделирование

на тему: аппроксимация экспериментальных данных в координатах полинома n-ой степени на примере зависимости растворимости соли от температуры 
 
 
 

Студента                                                                              Логачёв Д.Ю.

 Группы                                                                                      4– Н – 68

Руководитель практики

от университета                                                Стеба Владимир Константинович 
 
 

Днепропетровск 2010

Содержание

1.Введение………………………………………………………………………….

1.1. Корреляционно-регрессионный анализ……………………………………..

1.2. Корреляционно-регрессионный анализ и его возможности……………….

1.3. Предпосылки корреляционного и регрессионного анализа………………..

1.4. Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)…………………

1.5. Интерпретация параметров регрессии…………………………………….

2. Программа для расчёта полиномиальной корреляции……………………….

3.Расчёт , выбор полиномиальной и графической зависимости………………..

4.Список литературы…………………………………………………………….... 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Введение

       Математическая  модель, приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическая модель — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ Математическая модель позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью Математическая модель, можно подразделить на 4 этапа.

         Первый этап — формулирование  законов, связывающих основные  объекты модели. Этот этап требует  широкого знания фактов, относящихся  к изучаемым явлениям, и глубокого  проникновения в их взаимосвязи.  Эта стадия завершается записью  в математических терминах сформулированных  качеств, представлений о связях  между объектами модели.

         Второй этап — исследование  математических задач, к которым  приводят Математическая модель Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа Математическая модель, и вычислительная техника — мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе Математическая модель различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

         Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая  модель критерию практики, то  есть выяснение вопроса о том,  согласуются ли результаты наблюдений  с теоретическими следствиями  модели в пределах точности  наблюдений. Если модель была  вполне определена — все параметры  её были заданы, — то определение  уклонений теоретических следствий  от наблюдений даёт решения  прямой задачи с последующей  оценкой уклонений. Если уклонения  выходят за пределы точности  наблюдений, то модель не может  быть принята. Часто при построении  модели некоторые её характеристики  остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики  модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная  информация была сопоставима  в пределах точности наблюдений  с результатами наблюдений изучаемых  явлений, называются обратными  задачами. Если Математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке Математическая модель позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макрои микромира.

         Четвёртый этап — последующий  анализ модели в связи с  накоплением данных об изучаемых  явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки  и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей Математическая модель, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной Математическая модель 

       Типичным  примером, иллюстрирующим характерные  этапы в построении Математическая модель, является модель Солнечной  системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный  анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом  было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение  закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями  — «аксиомами» — гипотетической модели.) Модели Солнечной системы  в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

       Развитие  мореплавания поставило перед астрономией  новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математическая) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

         Следующим шагом в развитии  модели Солнечной системы были  исследования И. Кеплера (начало 17 века), который сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематическое описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

         Принципиально новым шагом были  работы И. Ньютона, предложившего во 2-й половине 17 века динамическую модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной Кеплером, так как из динамической системы двух тел «Солнце — планета» следуют законы Кеплера.

         К 40-м годам 19 века выводы  динамической модели, объектами  которой были видимые планеты,  вошли в противоречие с накопленными  к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана  уклонялось от теоретически вычисляемого  движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

         Метод математического моделирования,  сводящий исследование явлений  внешнего мира к математическим  задачам, занимает ведущее место  среди других методов исследования, особенно в связи с появлением  ЭВМ. Он позволяет проектировать  новые технические средства, работающие  в оптимальных режимах, для  решения сложных задач науки  и техники; проектировать новые  явления. Математическая модель  проявили себя как важное средство  управления. Они применяются в  самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом  в области экономического планирования  и являются важным элементом  автоматизированных систем управления. 

Корреляционно-регрессионный анализ 

     Корреляционный  анализ и регрессионный анализ являются смежными разделами математической статистики, и предназначаются для  изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин; некоторые  из которых являются случайными. При  статистической зависимости величины не связаны функционально, но как  случайные величины заданы совместным распределением вероятностей. Исследование взаимосвязи случайных величин  биржевых ставок приводит к теории корреляции, как разделу теории вероятностей и корреляционному анализу, как  разделу математической статистики. Исследование зависимости случайных  величин приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Теория вероятностей и математическая статистика представляют лишь инструмент для изучения статистической зависимости, но не ставят своей целью установление причинной связи. Представления и гипотезы о причинной связи должны быть привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно объяснить изучаемое явление.

       Формально корреляционная модель  взаимосвязи системы случайных  величин  может быть представлена в следующем виде: , где Z – набор случайных величин, оказывающих влияние на изучаемые случайные величины.

     Математические  модели строятся и используются для  трех обобщенных целей:

     • для объяснения;

     • для предсказания;

     • для управления.

     Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту  связей показателей с помощью  коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые, умеренные и  др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти  их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить  статистическую значимость модели.

     Регрессионный анализ называют основным методом современной  математической статистики для выявления  неявных и завуалированных связей между данными наблюдений. Электронные  таблицы делают такой анализ легко  доступным. Таким образом, регрессионные  вычисления и подбор хороших уравнений - это ценный, универсальный исследовательский  инструмент в самых разнообразных  отраслях деловой и научной деятельности (маркетинг, торговля, медицина и т. д.). Усвоив технологию использования  этого инструмента, можно применять  его по мере необходимости, получая  знание о скрытых связях, улучшая  аналитическую поддержку принятия решений и повышая их обоснованность.  
 
 

Корреляционно-регрессионный  анализ и его возможности 

     Корреляционный  анализ является одним из методов  статистического анализа взаимосвязи  нескольких признаков.

     Он  определяется как метод, применяемый  тогда, когда данные наблюдения можно  считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону. Основная задача корреляционного анализа (являющаяся основной и в регрессионном  анализе) состоит в оценке уравнения  регрессии.

     Корреляция  – это статистическая зависимость  между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной  из случайных величин приводит к  изменению математического ожидания другой.

1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).
2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

     Корреляционный  анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между  двумя признаками (при парной связи) и между результативным признаком  и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

     Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя  количественную характеристику тесноты  связи между признаками, дают возможность  определить «полезность» факторных  признаков при построении уравнений  множественной регрессии. Величина коэффициентов корреляции служит также  оценкой соответствия уравнению  регрессии выявленным причинно-следственным связям.

Предпосылки корреляционного  и регрессионного анализа

     Перед рассмотрением предпосылок корреляционного  и регрессионного анализа, следует  сказать, что общим условием, позволяющим  получить более стабильные результаты при построении корреляционных и  регрессионных моделей биржевых ставок, является требование однородности исходной информации. Эта информация должна быть обработана на предмет  аномальных, т.е. резко выделяющихся из массива данных, наблюдений. Эта  процедура выполняется за счет количественной оценки однородности совокупности по какому-либо одномерному или многомерному критерию (в зависимости от исходной информации) и имеет цель тех объектов наблюдения, у которых наилучшее (или наихудшее) условия функционирования по не зависящим или слабо зависящим причинам.

     После обработки данных на предмет «аномальности» следует провести проверку, насколько оставшаяся информация удовлетворяет предпосылкам для использования статического аппарата при построении моделей, так как даже незначительные отступления от этих предпосылок часто сводят к нулю получаемый эффект. Следует иметь  ввиду, что вероятностное или статистическое решение любой экономической задачи должно основываться на подробном осмыслении исходных математических понятий и предпосылок, корректности и объективности сбора исходной информации, в постоянном сочетании с теснотой связи экономического и математико-статистического анализа.

     Для применения корреляционного анализа  необходимо, чтобы все рассматриваемые  переменные были случайными и имели  нормальный закон распределения. Причем выполнение этих условий необходимо только при вероятностной оценке выявленной тесноты связи.

     Рассмотрим  простейшие случай выявления тесноты  связи – двумерную модель корреляционного  анализа.

     Для характеристики тесноты связи между  двумя переменными обычно пользуются парным коэффициентом корреляции , если рассматривать генеральную совокупность, или его оценкой – выборочным парным коэффициентом , если изучается выборочная совокупность. Парный коэффициент корреляции в случае линейной формы связи вычисляют по формуле

      ,

     а его выборочное значение – по формуле 

     При малом числе наблюдений выборочный коэффициент корреляции удобно вычислять  по следующей формуле:

     Величина  коэффициента корреляции изменяется в  интервале  .

     При между двумя переменными существует функциональная связь, при - прямая функциональная связь. Если , то значение Х и У в выборке некоррелированы; в случае, если система случайных величин имеет двумерное нормальное распределение, то величины Х и У будут и независимыми.

     Если  коэффициент корреляции находится  в интервале  , то между величинами Х и У существует обратная корреляционная связь. Это находит подтверждение и при визуальном анализе исходной информации. В этом случае отклонение величины У от среднего значения взяты с обратным знаком.

     Если  каждая пара значений величин Х и У чаще всего одновременно оказывается выше (ниже) соответствующих средних значений, то между величинами существует прямая корреляционная связь и коэффициент корреляции находится в интервале .

     Если  же отклонение величины Х от среднего значения одинаково часто вызывают отклонения величины У вниз от среднего значения и при этом отклонения оказываются все время различными, то можно предполагать, что значение коэффициента корреляции стремится к нулю.

     Следует отметить, что значение коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения  и выбора начала отсчета. Это означает, что если переменные Х и У уменьшить (увеличить) в К раз либо на одно и то же число С, то коэффициент корреляции не изменится.

         Регрессио́нный анализ (линейный) — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁,X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Цели  регрессионного анализа

1. Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)
2. Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)
3. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения  наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи  и есть предпосылка для применения анализа.

Математическое  определение регрессии

Строго  регрессионную зависимость можно  определить следующим образом. Пусть  Y, X₁,X₂,...,X_p — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_p определено условное математическое ожидание

y(x₁,x₂,...,x_p) = E(Y | X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_p) (уравнение линейной регрессии в общем виде),

то функция  y(x₁,x₂,...,x_p) называется регрессией величины Y по величинам X₁,X₂,...,X_p, а ее график — линией регрессии Y по X₁,X₂,...,X_p, или уравнением регрессии.

Зависимость Y от X₁,X₂,...,X_p проявляется в изменении средних значений Y при изменении X₁,X₂,...,X_p. Хотя при каждом фиксированном наборе значений X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_p величина Y остается случайной величиной с определенным рассеянием.

Для выяснения  вопроса, насколько точно регрессионный  анализ оценивает изменение Y при  изменении X₁,X₂,...,X_p, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X₁,X₂,...,X_p (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии). 

Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов) 

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + b_NX_N (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M — объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда Y = y(x₁,x₂,...x_N).

Для решения  задачи регрессионного анализа методом  наименьших квадратов вводится понятие  функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная  система является системой N + 1 линейных уравнений с N + 1 неизвестными b₀...b_N

Если  представить свободные члены  левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части  матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

     Для получение наилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условий Гаусса−Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) − наилучшие линейные несмещенные оценки 

Интерпретация параметров регрессии 

         Параметры b_i являются частными коэффициентами корреляции; (b_i)² интерпретируется как доля дисперсии Y, объяснённая X_i, при закреплении влияния остальных предикторов, т.е. измеряет индивидуальный вклад X_i в объяснение Y. В случае коррелирующих предикторов возникает проблема неопределенности в оценках, которые становятся зависимыми от порядка включения предикторов в модель. В таких случаях необходимо применение методов анализа корреляционного и пошагового регрессионного анализа.

         Говоря о нелинейных моделях регрессионного анализа, важно обращать внимание на то, идет ли речь о нелинейности по независимым переменным (с формальной точки зрения легко сводящейся к линейной регрессии), или о нелинейности по оцениваемым параметрам (вызывающей серьезные вычислительные трудности). При нелинейности первого вида с содержательной точки зрения важно выделять появление в модели членов вида X₁X₂, X₁X₂X₃, свидетельствующее о наличии взаимодействий между признаками X₁, X₂ и т.д. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Программа для расчёта полиномиальной корреляции 

program lab_rab;

uses crt;

var

    n,i:integer;

    ty:array[1..3,1..100] of real;

    st1,st2,st3,st4 :real;

    sy,syt1,syt2 :real;

    d,d1,d2,d3 :real;

    r,a1,a0,a2 :real; 

function opr(a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33:real):real;

begin

    opr:=a11*a22*a31+a21*a32*a13-a31*a22*a13-a21*a12*a33-a11*a32*a23;

end;

begin

clrscr;

writeln;

readln(n);

   if(n>0)and(n<101)then

begin

writeln ;

   for i:=1 to n do readln(ty[1,i],ty[2,i]);

    st1:=0;st2:=0;st3:=0;st4:=0;

    sy:=0;syt1:=0;syt2:=0;

   for i:=1 to n do

begin

    st1:=st1+ty[1,i]/n;