Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Апробация программы моделирования случайной величины с помощью функции Коши

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава 1 Ряды распределения и функция Коши для случайных величин 5

1.1 Ряд распределения. Многоугольник распределения 5

1.2 Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 12

1.3 Функция распределения вероятностей Коши 13

Глава 2 Разработка алгоритма моделирования случайной величины 16

2.1 Описание метода кусочной аппроксимации 16

2.2 Описание алгоритма моделирования случайной величины 17

Глава 3 Реализация алгоритма моделирования случайной

величины с помощью функции Коши 18

Глава 4 Апробация программы моделирования случайной

величины с помощью функции Коши 19

Заключение 23

Список использованных источников 24

Приложение 25

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок наблюдений и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и для многих других целей.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты.

Таким образом, главной целью моей курсовой работы является рассмотрение метода Коши - функции распределения вероятностей Коши для случайных величин.

Также в ходе написания курсовой работы были поставлены цели:

Углубление теоретических и практических знаний в области методов вычислений и их оптимизации.
Закрепление практических навыков программирования, полученных на практических занятиях.
Развитие навыков самостоятельного планирования и выполнения научно-исследовательской работы.

Данная курсовая работа содержит 4 основные главы:

Первая глава – знакомство с предметной областью.
Вторая глава – постановка задачи и разработка ее решения.
Третья глава – создание программы.
Четвертая глава – апробация программы.

Курсовая работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников и приложения. В курсовой работе содержится 9 рисунков. Объем курсовой работы составляет 24 страниц и приложение.

ГЛАВА 1 РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФУНКЦИЯ КОШИ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1.1 Ряд распределения. Многоугольник распределения

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Также различают случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры прерывных случайных величин:

1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);

2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения );

3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможнее значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, …, n, …);

5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные значения 0, 1, 2, …, N, где – общее число самолетов, участвующих в бою).

Примеры непрерывных случайных величин:

1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле;

2) расстояние от точки попадания до центра мишени;

3) ошибка измерителя высоты;

4) время безотказной работы радиолампы.

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: .

Рассмотрим прерывную случайную величину с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий:

(1)

Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:

Так как несовместные события (1) образуют полную группу:

То есть сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (1). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины .

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рисунок 1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Рис. 1– Многоугольник распределения

Удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в отдельных точках сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

Рассмотрим несколько примеров прерывных случайных величин с их законами распределения:

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Рассматривается случайная величина – число появлений события в данном опыте (т.е. характеристическая случайная величина события , принимающая значение 1, если оно появится, и 0, если не появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения величины .

Решение. Величина имеет всего два значения: 0 и 1.

Многоугольник распределения изображен на рисунке 2.

Рис. 2 - Многоугольник распределения для примера 1

Пример 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.

Решение. Обозначим число выбитых очков. Возможные значения величины : .

Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов:

Многоугольник распределения изображен на рис. 3.

Рис. 3 - Многоугольник распределения для примера 2

Пример 3. Вероятность появления события в одном опыте равна . Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до первого появления события , после чего опыты прекращаются. Случайная величина – число произведенных опытов. Построить ряд распределения величины .

Решение. Возможные значения величины : 1, 2, 3, … (теоретически они ничем не ограничены). Для того, чтобы величина приняла значение 1, необходимо, чтобы событие произошло в первом же опыте; вероятность этого равна . Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы в первом опыте событие не появилось, а во втором – появилось; вероятность этого равна , где , и так далее.

Первые пять ординат многоугольника распределения для случая показаны на рисунке 4.

Рис.4- Многоугольник распределения для примера 3

Пример 4. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение. Случайная величина – число неизрасходованных патронов – имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

Ряд распределения величины имеет вид:

Многоугольник распределения показан на рисунке 1.1.5.

Рис. 5 - Многоугольник распределения для примера 4

Пример 5. Техническое устройство может применяться в различных условиях и в зависимости от этого время от времени требует регулировки. При однократном применении устройства оно может случайным образом попасть в благоприятный или неблагоприятный режим. В благоприятном режиме устройство выдерживает три применения без регулировки; перед четвертым его приходится регулировать. В неблагоприятном режиме устройство приходится регулировать после первого же применения. Вероятность того, что устройство попадет в благоприятный режим, - 0,7, что в неблагоприятный, - 0,3. Рассматривается случайная величина – число применений устройства до регулировки. Построить её ряд распределения.

Решение. Случайная величина имеет три возможных значения: 1, 2 и 3. вероятность того, что , равна вероятности того, что при первом же применении устройство попадет в неблагоприятный режим, т.е. . Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы при первом применении устройство попало в благоприятный режим, а при втором – в неблагоприятный. Чтобы величина приняла значение 3, нужно, чтобы два первых раза устройство попало в благоприятный режим (после третьего раза его все равно придется регулировать). Вероятность этого равна .

Многоугольник распределения показан на рисунке 6.

Рис.6 - Многоугольник распределения для примера 5

1.2 Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение

Рядом полных, исчерпывающих характеристик для случайной величины – так называемые законы распределения. К такими характеристиками можно отнести:

для дискретной случайной величины
а) функция распределения;
б) ряд распределения (графически – многоугольник распределения);
для непрерывной случайной величины:

а) функция распределения;

б) плотность распределения (графически – кривая распределения).

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называют числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик существенно удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин.

В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.

1.3 Функция распределения вероятностей Коши

Распределение Коши́ в теории вероятностей — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:

, (2)

Где — параметр сдвига; — параметр масштаба.

Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут . Если в (2) заменить и , то такое распределение называется стандартным распределением Коши.

Функция распределения Коши имеет вид:

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

1.4 Свойства распределения Коши

Так как интеграл Лебега не определён для , ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Распределение Коши бесконечно делимо.

Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то

Если , то

Если — независимые нормальные случайные величины, такие что , то

Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 Описание метода кусочной аппроксимации

Метод кусочной аппроксимации заключается в том, что для формирования одного случайного числа из последовательности с заданным законом распределения необходимо дважды использовать датчик случайных чисел. Процедура получения случайного числа yi сводиться к:

Случайный выбор интервала (определение значения aj)
Случайный выбор «b» из этого интервала
Формирование случайного числа в соответствии с формулой

При выборе интервала на первом шаге процедуры учитываеться плотность распределения. С этой целью ее кусочно-линейно аппроксимируют отрезками прямых, параллельных оси абсцисс (рис. 6)

Рис.6 - Кусочно-линейно аппроксимированный график плотности распределения по закону Коши.

Количество интервалов разбиения области определения случайной величины обычно выбирается достаточно большим (в связи с этим в работе было использовано разбиение на 400 интервалов).

2.2 Описание алгоритма моделирования случайной величины

Методом кусочной аппроксимации будем моделировать случайную величину, имеющую закон распределения Коши, заполнить массив из 300 точек.

Построим график плотности распределения по закону Коши ( ):

Рис. 7 График распределения Коши.

Необходимо разбить интервал от –20 до 20 на n подинтервалов (возьмем n=40) и вычислить вероятность попадания на каждый из этих подинтервалов.
Составить массив [a1,aj], так чтобы a1=0, a, , случайно сгенерировать значение числа «b» из промежутка от 0 до 1,
Найти номер интервала в который она попадет и второй раз используя датчик случайных чисел сгенерировать случайную добавку «b».

ГЛАВА 3 РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ КОШИ

Для создания программы, которая методом кусочной аппроксимации моделирует случайную величину, имеющую закон распределения Коши, заполняя массив из 300 точек будем использовать следующие переменные:

const a[40] – массив содержащий точки заданного интервала.

int i,j – переменные счетчика

float a1- случайная величина для проверки условия рапрееления

float b1[300] – выходной массив

float o[40],l[40] – массивы для выполнения промежуточных операций

ГЛАВА 4 АПРОБАЦИЯ ПРОГРАММЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ КОШИ

Результат работы программы – генерируемый массив, имеющий закон распределения Коши:

Критерием Пирсона проверим, что данный массив имеет соответствующий закон распределения.

Для построения гистограммы и нахождения числовых характеристик, необходимо составить статистический ряд.

Рис.8 - Статистический ряд

Рис. 9 Гистограмма полученного статистического ряда.

По данным статистического ряда вычислим числовые характеристики:

Числовые характеристики:

- статистическое математическое ожидание

- статистическая дисперсия

- статистическое среднеквадратическое отклонение

- скошенность

- эксцесс

Для нахождения необходимо вычислить Pi (вероятности попадания на каждый из интервалов). Вероятность попадания может быть найдена как площадь криволинейной трапеции, ограниченной концами этого интервала слева и справа, и графиком плотности распределения сверху:

По найденной частоте и вероятности, вычислим значение :

Число степеней свободы r = 7, а уровень значимости p = 0.1, следовательно значение будет равным 12.02.

Таким образом, сравнив значения и получим, что , а, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по закону Коши.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы было рассмотрено распределение Коши, которое нашло свое применение для решения следующих прикладных задач:

Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости).
В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

Можно сделать вывод, что функция Коши является эффективным инструментом анализа, применяемым в различных научных областях.

В ходе выполнения курсовой работы была написана программа, формирующая случайные величины при помощи функции Коши.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

«Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.
В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.–М.:Наука, 1969.
Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика., М.: Наука, 1979.
Ш. Феллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг prog.cpp

#include "stdafx.h"

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

int i,j;

float a1,x;

float b1[300];

float o[40],l[40];

void main(){

float a[40]={0.0008,0.0009,0.001,0.0011,0.0013,0.0015,0.0017,0.002,0.0024,

0.00287,0.0035,0.0043,0.0056,0.0074,0.01,0.015,0.024,0.045,0.102,0.25,0.25,

0.102, 0.045,0.024,0.015,0.01,0.0074,0.0056,0.0043,0.0035,0.00287,0.0024,0.002

0.0017,0.0015,0.0013,0.0011,0.001,0.0009,0.0008};

o[0]=0;

for (i=0;i<=40;i++)

o[i+1]=o[i]+a[i];

x=-20;

for (i=0;i<=40;i++)

{

l[i]=x;

x=x+1;

}

printf("Массив имеющий закон распределения Коши:");

for (j=1;j<=300;j++){

float a1=rand();

for (i=0;i<=40;i++) {

if ((a1>o[i])&&(a1<o[i+1]))

break;}

b1[j]=rand()+l[i];

printf(" b1[j]=%d",b1[j]);

if (j%10==0)printf("");

if (j%210==0)scanf;

}

Апробация программы моделирования случайной величины с помощью функции Коши 📙 Курсовая → 🆔 28126