Автоматизация обработки экспериментальных данных

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА В ВИДЕ ГИСТОГРАММЫ
2 РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОПИСАТЕЛЬНОЙ СТАТИСТИКИ. ПРОВЕРКА         НА НОРМАЛЬНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
2.1   Расчет показателей описательной статистики.
2.2 Критерий Пирсона
2.3 Критерий Колмогорова
2.4 Критерий Мизеса
2.5 Проверка на нормальность распределения графическим методом
3 БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
4 РАСЧЕТ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ  ЗАВИСИМОСТЕЙ
5 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
6 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
7 АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В настоящее время для обработки экспериментальных данных применяются методы математической статистики и теории вероятностей, основной целью которых является получение выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений и экспериментов. Такие методы применяются в различных отраслях знаний (медицине, технике, экономике и др.).

Основные этапы обработки экспериментальных данных – это оценка значений показателей качества средств, комплексов или системы   в целом; сжатие информации о функционировании объекта, ее обобщение для последующего применения в интересах исследования подобных объектов, обоснования данных для создания новых систем; выявление закономерностей функционирования объекта в конкретных условиях эксплуатации, т.е. установление зависимостей между параметрами объекта, внешней среды и показателями качества объекта; выявление существенных параметров системы и внешней среды; изучение типологии объектов (распознавание образов, классификация объектов); прогнозирование развития объектов в интересах организационного и технологического управления.

Однако, результаты обработки экспериментальных данных не гарантируют достоверного описания неизвестных показателей или закономерностей. 

Целью курсовой работы является выполнение расчетов, связанных с оценкой факторов, влияющих на тот или иной процесс, получение его математического описания, выполнение статистического анализа имеющейся информации, определение параметров процесса и создание математической модели процесса.

Основная часть курсовой работы разбита на 6 разделов и включает                   следующие расчеты:

• построение непрерывного вариационного ряда в виде гистограммы;
• расчет показателей описательной статистики, проверка нормальности распределения случайной величины с использованием критериев Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Мизеса, а также графическим методом ;
• решение задач с использованием дискретных и непрерывных распределений случайных величин;
• расчет корреляционных зависимостей и построение регрессионной модели;
• анализ влияния факторных признаков на результирующую переменную методом дисперсионного анализа;
• анализ данных временного ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА В ВИДЕ ГИСТОГРАММЫ

 

Основой для построения гистограммы служит вариационный ряд - это представленный в виде таблицы ряд значений изучаемого признака и соответствующими частотами его встречаемости в выборке (Таблица 1).

 

Таблица 1 – Исходные данные

4040,3920	4040,4425	4040,4925	4040,5221	4040,4681
4040,3925	4040,4453	4040,4967	4040,5251	4040,4716
4040,3942	4040,4478	4040,5001	4040,5281	4040,4745
4040,3968	4040,4502	4040,5040	4040,5311	4040,4769
4040,3993	4040,4521	4040,5068	4040,5340	4040,4798
4040,4021	4040,4547	4040,5090	4040,5362	4040,4832
4040,4048	4040,4572	4040,5114	4040,5400	4040,4856
4040,4073	4040,4609	4040,5144	4040,4367	4040,4886
4040,4109	4040,4645	4040,5175	4040,4395	4040,4327
4040,4146	4040,4214	4040,5199	4040,4288	4040,4249

 

 

Находим объем выборки исходных данных: ;

Определяем число классов вариационного ряда по формуле:

 

,                                                                                            (1)

где - объем выборки.

.

Находим минимальное и максимальное значение выборки

,

.

 

 

Определяем размах выборки по формуле:

 

 ,                                                                                                 (2)

.

Рассчитываем длину интервала по формуле:

 

,                                                                                                                   (3)

где – размах выборки;

- число классов вариационного  ряда.

.

Весь диапазон изменчивости признака разбиваем на серию равных интервалов (классов вариант), подсчитываем, сколько вариант попало в каждый интервал. Результаты представлены в таблице 2.

 

Таблица 2 – Границы классовых интервалов и подсчет частот

№ интервала	Нижняя граница интервала	Верхняя граница интервала	Среднее значение признака в классе
1	4040,3920	4040,4142	4040,4031	0
2	4040,4142	4040,4365	4040,4254	9
3	4040,4365	4040,4588	4040,4477	5
4	4040,4588	4040,4811	4040,4700	9
5	4040,4811	4040,5034	4040,4922	7
6	4040,5034	4040,5257	4040,5145	6
7	4040,5257	4040,5480	4040,5368	9

 

 

На основании проведенных расчетов строим гистограмму распределения исходных значений признака.

 

Рисунок 1 – Гистограмма распределения исходных значений признака

 

Форма полученной гистограммы не соответствует нормальному закону распределения случайной величины. Вид гистограммы соответствует гистограмме с прогалами («гребенка»), которая получается когда ширина интервала не кратна единице измерения или при ошибках оператора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОПИСАТЕЛЬНОЙ  СТАТИСТИКИ. ПРОВЕРКА НА НОРМАЛЬНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 

2.1 Расчет показателей  описательной статистики

 

Параметры распределения – числовые характеристики, показывающие,       где в среднем располагаются значения признака, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака.

На основании исходных данных мы определили:

- объем выборки

 ;

- минимальное и максимальное  значения выборки

;

;

- размах выборки

.

Рассчитываем среднее значение выборки – это среднее арифметическое, рассчитанное путем сложения группы чисел и деления на количество этих чисел.

 

                                                                                                                   (4)

.

 

 

 

Рассчитываем стандартное отклонение – это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.

 

                                                                                                         (5)

.

Определяем медиану – это число, которое является серединой множества чисел. Если множество содержит четное количество чисел, то вычисляют среднее для двух чисел, находящихся в середине множества.

.

Определяем моду – это число, наиболее часто встречающееся в данном множестве чисел.

В таблице исходных данных повторяющихся значений не выявлено.

Рассчитываем дисперсию, характеризующую меру отклонения (рассеивания) результатов параллельных определений от их среднего значения.

 

                                                                                                          (6)

.

Определяем коэффициент асимметрии, характеризующий степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения       в сторону отрицательных значений.

 

                                                                                      (7)

.

Определяем коэффициент эксцесса, характеризующий относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.

 

                                                     (8)

.

Выводы:

Среднее значение и медиана незначительно отличаются друг от друга, что соответствует не симметричному, но близкому к нему распределению.

Распределение случайной величины сосредоточено на положительном направлении оси ОХ, поскольку .

Коэффициент асимметрии  , следовательно для распределения характерна левосторонняя асимметрия. Асимметрия несущественна.

Коэффициент эксцесса , следовательно распределение сглажено и       не является островершинным.

Таким образом, наблюдается несоответствие нормальному закону распределения случайной величины.

 

2.2 Критерий Пирсона

 

С помощью критерия проверим гипотезу о нормальности распределения случайной величины, при уровне значимости .

Рассчитываем значения теоретической функции нормального распределения

 с помощью функции для правых границ классовых интервалов .

Рассчитываем теоретические значения вероятности попадания случайной величины в интервал:

 

                                                                                                     (9)

Рассчитываем теоретическую частоту попадания случайной величины                в интервал по формуле:

 

                                                                                                             (10)

 

Рассчитываем взвешенные квадраты отклонения по формуле:

 

                                                                                                       (11)

где частоты классов вариационного ряда.

Подсчитываем сумму взвешенных квадратов отклонений – расчетное значение критерия . Все рассчитанные значения представлены в таблице 3.

 

Таблица 3 – Рассчитанные значения для критерия

0,259431	0,259431	12,97156	12,97156
0,438689	0,179258	8,962893	0,000154
0,631758	0,193069	9,653435	2,243187
0,795972	0,164214	8,210699	0,075876
0,906269	0,110297	5,514864	0,399942
0,964769	0,0585	2,925003	3,232684
18,92341

 

 

Определяем число степеней свободы параметров распределения:

 

,                                                                                                    (12)

где количество классов, ;

число параметров распределения, (предполагается, что распределение нормальное).

.

По справочной таблице распределения определяем .

Вывод: поскольку гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости противоречит экспериментальным данным.

 

 

 

 

 

 

2. 3 Критерий Колмогорова

 

С помощью критерия Колмогорова проверим гипотезу о том, что экспериментальные данные подчиняются нормальному распределению при уровне значимости .

Рассчитываем значения эмпирической функции распределения для всех исходных значений:

 

,                                                                                                           (13)

где объем выборки.

Рассчитываем значение теоретической функции нормального распределения с помощью функции .

Рассчитываем величины и по следующим формулам:

 

                                                                                                  (14)

 

                                                                                               (15)

Все рассчитанные значения представлены в таблице 4.

 

Таблица 4 – Рассчитанные значения для критерия Колмогорова

4040,3920	0,02	0,052016	0,032016	0,052016
4040,3925	0,04	0,053199	0,013199	0,033199
4040,3942	0,06	0,057379	0,002621	0,017379
4040,3968	0,08	0,064267	0,015733	0,004267
4040,3993	0,1	0,071481	0,028519	0,008519
4040,4021	0,12	0,08028	0,03972	0,01972
4040,4048	0,14	0,089518	0,050482	0,030482
4040,4073	0,16	0,098755	0,061245	0,041245
4040,4109	0,18	0,113255	0,066745	0,046745
4040,4146	0,2	0,129678	0,070322	0,050322
4040,4425	0,22	0,303799	0,083799	0,103799
4040,4453	0,24	0,32569	0,08569	0,10569
4040,4478	0,26	0,345761	0,085761	0,105761
4040,4502	0,28	0,365447	0,085447	0,105447
4040,4521	0,3	0,381289	0,081289	0,101289
4040,4547	0,32	0,40329	0,08329	0,10329
4040,4572	0,34	0,424739	0,084739	0,104739
Продолжение таблицы 4 – Рассчитанные значения для критерия Колмогорова
4040,4609	0,36	0,456877	0,096877	0,116877
4040,4645	0,38	0,488422	0,108422	0,128422
4040,4214	0,4	0,163996	0,236004	0,216004
4040,4925	0,42	0,721595	0,301595	0,321595
4040,4967	0,44	0,751773	0,311773	0,331773
4040,5001	0,46	0,774862	0,314862	0,334862
4040,5040	0,48	0,799781	0,319781	0,339781
4040,5068	0,5	0,816604	0,316604	0,336604
4040,5090	0,52	0,829185	0,309185	0,329185
4040,5114	0,54	0,842263	0,302263	0,322263
4040,5144	0,56	0,85766	0,29766	0,31766
4040,5175	0,58	0,872468	0,292468	0,312468
4040,5199	0,6	0,883171	0,283171	0,303171
4040,5221	0,62	0,892408	0,272408	0,292408
4040,5251	0,64	0,904139	0,264139	0,284139
4040,5281	0,66	0,914901	0,254901	0,274901
4040,5311	0,68	0,924731	0,244731	0,264731
4040,5340	0,7	0,933386	0,233386	0,253386
4040,5362	0,72	0,939422	0,219422	0,239422
4040,5400	0,74	0,948831	0,208831	0,228831
4040,4367	0,76	0,260686	0,499314	0,479314
4040,4395	0,78	0,281102	0,498898	0,478898
4040,4288	0,8	0,207477	0,592523	0,572523
4040,4681	0,82	0,52004	0,29996	0,27996
4040,4716	0,84	0,550661	0,289339	0,269339
4040,4745	0,86	0,575813	0,284187	0,264187
4040,4769	0,88	0,596403	0,283597	0,263597
4040,4798	0,9	0,620925	0,279075	0,259075
4040,4832	0,92	0,64906	0,27094	0,25094
4040,4856	0,94	0,66845	0,27155	0,25155
4040,4886	0,96	0,692062	0,267938	0,247938
4040,4327	0,98	0,232903	0,747097	0,727097
4040,4249	1	0,18377	0,81623	0,79623

 

 

Выбираем  из   рассчитанных   значений    и максимальные значения        ,  .

По справочной таблице определяем значения параметра               при заданном уровне значимости , далее рассчитываем значение модуля максимальной разности по формуле:

 

,                                                                                                          (16)

.

Вывод: поскольку расчетные величины и модуля максимальной разности больше критического значения , гипотеза о принадлежности выборки нормальному закону распределения при уровне значимости   отвергается.

 

2. 4 Критерий Мизеса

 

Проверим с помощью критерия Мизеса гипотезу о том, что экспериментальные данные подчиняются нормальному закону распределения    при уровне значимости .

Рассчитываем значения эмпирической функции распределения по формуле:

 

.                                                                                                      (17)

Рассчитываем значение теоретической функции распределения                   с помощью функции .

Рассчитываем средний квадрат отклонения по формуле:

 

.                                                                              (18)

Рассчитанные значения представлены в таблице 5.

 

Таблица 5 – Рассчитанные значения для критерия Мизеса

1	4040,3920	0,01	0,052016	1,765363	26	4040,5090	0,51	0,829185	101,8789
2	4040,3925	0,03	0,053199	0,538178	27	4040,5114	0,53	0,842263	97,50805
3	4040,3942	0,05	0,057379	0,05445	28	4040,5144	0,55	0,85766	94,65491
4	4040,3968	0,07	0,064267	0,032864	29	4040,5175	0,57	0,872468	91,48682
5	4040,3993	0,09	0,071481	0,342963	30	4040,5199	0,59	0,883171	85,94906
6	4040,4021	0,11	0,08028	0,883273	31	4040,5221	0,61	0,892408	79,75419
7	4040,4048	0,13	0,089518	1,638816	32	4040,5251	0,63	0,904139	75,1521
8	4040,4073	0,15	0,098755	2,626016	33	4040,5281	0,65	0,914901	70,17243
9	4040,4109	0,17	0,113255	3,219985	34	4040,5311	0,67	0,924731	64,88777
10	4040,4146	0,19	0,129678	3,638794	35	4040,5340	0,69	0,933386	59,23689
11	4040,4425	0,21	0,303799	8,798188	36	4040,5362	0,71	0,939422	52,63468
12	4040,4453	0,23	0,32569	9,156646	37	4040,5400	0,73	0,948831	47,88718
13	4040,4478	0,25	0,345761	9,170186	38	4040,4367	0,75	0,260686	239,4285
14	4040,4502	0,27	0,365447	9,110048	39	4040,4395	0,77	0,281102	239,0215
Продолжение таблицы 5 – Рассчитанные значения для критерия Мизеса
15	4040,4521	0,29	0,381289	8,333754	40	4040,4288	0,79	0,207477	339,3328
16	4040,4547	0,31	0,40329	8,703109	41	4040,4681	0,81	0,52004	84,07681
17	4040,4572	0,33	0,424739	8,975475	42	4040,4716	0,83	0,550661	78,03051
18	4040,4609	0,35	0,456877	11,42279	43	4040,4745	0,85	0,575813	75,17841
19	4040,4645	0,37	0,488422	14,02386	44	4040,4769	0,87	0,596403	74,85555
20	4040,4214	0,39	0,163996	51,07795	45	4040,4798	0,89	0,620925	72,4016
21	4040,4925	0,41	0,721595	97,09174	46	4040,4832	0,91	0,64906	68,08961
22	4040,4967	0,43	0,751773	103,5379	47	4040,4856	0,93	0,66845	68,40847
23	4040,5001	0,45	0,774862	105,5351	48	4040,4886	0,95	0,692062	66,53223
24	4040,5040	0,47	0,799781	108,7555	49	4040,4327	0,97	0,232903	543,3123
25	4040,5068	0,49	0,816604	106,6705	50	4040,4249	0,99	0,18377	650,0069

 

 

Рассчитываем фактическое значение статистики критерия Мизеса по формуле:

 

.                                                                                       (19)

.

Определяем по справочной таблице при заданном уровне значимости критическое значение статистики критерия Мизеса   .

Вывод: поскольку гипотеза                         о принадлежности выборки нормальному закону распределения при уровне значимости отвергается.

 

2. 5 Проверка на нормальность распределения графическим методом

 

Графический метод является наиболее простым способом проверки              на нормальность распределения. По этому методу результаты располагают              в вариационном ряду, затем для каждого результата рассчитывают накопленную частость по формуле:

 

,                                                                                                          (20)

где номер результата в вариационном ряду;

 объем выборки.

Для нормального распределения нашли квантили стандартного нормального распределения .

Результаты расчетов вносим в таблицу 6

 

Таблица 6 – Результаты расчетов

1	4040,3920	0,019608	-2,061917	26	4040,5090	0,509804	0,024577
2	4040,3925	0,039216	-1,759861	27	4040,5114	0,529412	0,073791
3	4040,3942	0,058824	-1,564726	28	4040,5144	0,54902	0,123185
4	4040,3968	0,078431	-1,415702	29	4040,5175	0,568627	0,172881
5	4040,3993	0,098039	-1,292805	30	4040,5199	0,588235	0,223008
6	4040,4021	0,117647	-1,186831	31	4040,5221	0,607843	0,273702
7	4040,4048	0,137255	-1,092736	32	4040,5251	0,627451	0,32511
8	4040,4073	0,156863	-1,007436	33	4040,5281	0,647059	0,377392
9	4040,4109	0,176471	-0,928899	34	4040,5311	0,666667	0,430727
10	4040,4146	0,196078	-0,855712	35	4040,5340	0,686275	0,485318
11	4040,4425	0,215686	-0,786845	36	4040,5362	0,705882	0,541395
12	4040,4453	0,235294	-0,721522	37	4040,5400	0,72549	0,59923
13	4040,4478	0,254902	-0,659143	38	4040,4367	0,745098	0,659143
14	4040,4502	0,27451	-0,59923	39	4040,4395	0,764706	0,721522
15	4040,4521	0,294118	-0,541395	40	4040,4288	0,784314	0,786845
16	4040,4547	0,313725	-0,485318	41	4040,4681	0,803922	0,855712
17	4040,4572	0,333333	-0,430727	42	4040,4716	0,823529	0,928899
18	4040,4609	0,352941	-0,377392	43	4040,4745	0,843137	1,007436
19	4040,4645	0,372549	-0,32511	44	4040,4769	0,862745	1,092736
20	4040,4214	0,392157	-0,273702	45	4040,4798	0,882353	1,186831
21	4040,4925	0,411765	-0,223008	46	4040,4832	0,901961	1,292805
22	4040,4967	0,431373	-0,172881	47	4040,4856	0,921569	1,415702
23	4040,5001	0,45098	-0,123185	48	4040,4886	0,941176	1,564726
24	4040,5040	0,470588	-0,073791	49	4040,4327	0,960784	1,759861
25	4040,5068	0,490196	-0,024577	50	4040,4249	0,980392	2,061917

 

 

По результатам расчетов построили точечную диаграмму (Рисунок 2), используя в качестве данных значения изучаемого признака и квантили стандартного нормального распределения. Затем добавили на диаграмму линейную линию тренда.

 

Рисунок 2 - Проверка нормальности распределения

графическим методом

 

Вывод: поскольку нанесенные на график точки не полностью укладываются вдоль линии тренда, то считается, что результаты неудовлетворительно описываются выбранным теоретическим распределением, и гипотеза о нормальном распределении случайной величины отвергается.

 

 

 

 

 

 

3 БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

 

Случайная величина Y имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений. К дискретным распределениям относят распределение Бернулли, биноминальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона.

 Биномиальное распределение. Это то же распределение Бернулли, но            в данном случае необходимо знать вероятность появления определенного числа (или не менее этого числа) успешных исходов уже при независимых событиях.

Случайная величина имеет биномиальное распределение в следующих случаях: если в каждой из попыток вероятность наступления события одна и        та же, и если все попытки независимы друг от друга.

А) Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите:                         а) вероятность того, что в течение часа 3 станка потребуют внимания рабочего;       б) наиболее вероятное число станков, которые потребуют внимания рабочего           в течение часа. Дать геометрическую иллюстрацию.

 

В данной задаче мы имеем биномиальное распределение, расчет производим с помощью функции =БИНОМРАСП(число успехов; число испытаний; вероятность успеха; интегральная)

- число успехов — количество успешных испытаний.

- число испытаний — число независимых испытаний.